吉林大学材料力学附录A平面图形的几何性质要点

1、 附录A平面图形的几何性质 A.1静矩和形心 A.2惯性矩、惯性半径、惯性积 A3平行移轴公式 A.4转轴公式.主惯性矩 拉压 扭转 厂 Fn Fn 1 = ， = 1 A 问题的提出 M9 _ 匚，唤旳，_G打 截面有关, e. e则与受力、截面.材料有关. 可见，构件的尺寸和形状是影响 构件承载能力的最重要因素之一。 二什么叫平面图形的几何性质? 式中AJpWpvp均为与横截面大小和 形状有关的几何量. 横截面 平面图形 事实表明，对弯曲而言，其应力 不仅与截面的大小、形状有关； 而且还与截面如何放置有关，所以 要全面研究平面图形的几何性质。 二、形心 可根据静矩确立形心坐标: 2 AA

2、量纲：长度3 S与面积的大小.分布均有关 3与参考轴的位置有关 例A1 求直径为d的半 12 4 S= 0轴过形心 三、组合图形的静矩和形心 静矩： =谢X，Sy二马勺 形心: 例A2求形心坐标 y = 0 7 一为人 时埠）+也学 划+却2 三、极惯性矩 定义： 乙=f Ap dA o 结论：图形对任意一对互相垂直 的惯性矩之和等于它对该两轴交 点的极惯性矩。 惯性积 定义： !yz = f A yA 1.量纲：长度彳 2 Iyz 0 特点：两个坐标轴中只要一个为 图形的对称轴，则必有/=0 惯性积一定是对一对互相垂直 坐标轴而言。 i的计算 -3已知h和b， 求 bW 12 hb3 z 1

3、2 Iy=AdA = 例A-5已知直径Dd,求/ I i i y y z D A f A.3平行移轴公式 Zc z Zc 丿二几+ z=ze+a A Lb =f A(zc+a)2dA =JAzc：dA + 2aj AzcdA+a2| AdA 上式中的三个积分为： AzcdA=Syc=O JAdA=A y： 由以上关系可知 I =/、 + / A y y c I =I + b2A 二 Zc I =I. _ + cibA b有正.负； 结论：对所有平行轴而言，对形心轴 的惯性矩取最小值。 应用：1可计算平行轴的惯性矩. 惯性积； 2可计算组合图形的惯性矩、 惯性积。 解: bh3 +叫）2 例A

4、- 6已知bjl，求lyjyz 3 lyZ“+bh （片）時） b2h2 2 2 I、 Yc 例A-7求I 解：取通过矩形II的形心且 平行于底边的参考轴 y,则 A1Z1+A2z A】+ A2 0.14x 0.02x 0.08+ 0.1 x 0.02x 0 0.14x0.02+0.1x0.02 =0.046 加 形心位置确定后，使用平行移轴公式分别 算出矩形I和矩形II对y(轴的惯性矩，即 I： = x 0.02 x 0.143 + (0.08 - 0.0467 )2 x 0.02 x 0.14 = 7.69xl06m4 I1 = x 0.1 xO.O23 + O.(M672 x0.1 x0

5、.02 去12 = 4.43xl0m4 所以，整个图形对人轴的惯性矩应为 I =v +r yc yc = 7.69x10 +4.43x10% =12.12x10 m4 ! A.4转轴公式主惯性矩 (I)公式推导： 已知Iy、， 求/ J J y z yzi yj = ycosa+zsina z = zcosa y sina 4(zcosa-jsina)2rfA =cos2 aj Az2dA + sin2 aj Ay2dA -2sinacosaj AyzdA =Ivcos2a + Izsin2a-I sin2a y iy 把 cos2 a = (l + cos2a) 和 sin2a = -(l-

6、cos2a) 上式，得 2 I + Iv 17 I. = + cos 2a 1佗 sin 2a yi 22” 同理 Iv +17 【w 一 L, I7 =cos 2a -1 w sin 2a ly cos 2a 一【z sin 2a +1 2 (ID几个概念： 1主轴一惯性积等于零的一对轴 2主惯性矩一对主轴的惯性矩 3形心主轴一过形心的主轴 4形心主惯性矩一对形心主轴的惯性矩 可坯看出： 极值惯性矩主惯性矩 平面图形对坐标原点不变的任何一对 正交轴的惯性矩之和为一常数，即 iy+lz 叫 +I/C （常数） 小 1轴轴关系 对称轴 形心轴 (过形心) 主惯性轴 (iyz = ) r形心主惯 性轴 (过形心,1=0 ) 2轴面关系 (1) 形心一个 (2) 形心轴无穷个 (3) 主轴一般情况过一点只有一对, 整个截面上有无穷对。 （