勾股定理的九种证明方法(附图)(20201222073303)

1、勾股定理的证明方法 、传说中毕达哥拉斯的证法（图1） 供参考 图1 左边的正方形是由1个边长为“的正方形和1个边长为一：的正方形以及4个直 角边分别为、：，斜边为】的直角三角形拼成的。右边的正方形是由1个边长为 丨的正方形和4个直角边分别为、丨，斜边为】的直角三角形拼成的。因为这两 个正方形的面积相等（边长都是-；），所以可以列出等式 a2 +b2+0） ，化简得I ： - -。 二、美国第20任总统茄菲尔德的证法（图 1 3） 这个直角梯形是由2个直角边分别为“、一：，斜边为1的直角三角形和1个直 角边为一 的等腰直角三角形拼成的。因为3个直角三角形的面积之和等于梯形的面积，所 亠就迟沁也3

2、,. 以可以列出等式，化简得；二；L。 三、相似三角形的证法： 4.相似三角形的方法：在学习了相似三角形以后，我们知道在直角三角 A人形中，斜边上的高把这个直角三角形所分成的两个三直角角形与原三 N角形相似。 C ： 如图，Rt ABC中，/ ACB=90。作CD丄AB，垂足为D。贝U BCDBAC , CAD BAC。 由厶 BCD sBAC 可得 BC2=BD X BA , 由厶 CAD sBAC 可得 AC2=AD X AB。 我们发现，把、两式相加可得 2 2 BC +AC =AB( AD+BD)， 而 AD+BD=AB ， 因此有bc2+ac2=ab2，这就是 2,2 2 a +b

3、=c 。 这也是一种证明勾股定理的方法，而且也很简洁。它利用了相似三角形的知识。 四、古人的证法: 如图，将图中的四个直角三角形涂上深红色，把中间小正方形涂上白色，以弦 为边的正方形称为弦实，然后经过拼补搭配，令出入相补，各从其类”，他肯定 了勾股弦三者的关系是符合勾股定理的。即 勾股各自乘，并之为弦实，开方除 之，即弦也”。赵爽对勾股定理的证明，显示了我国数学家高超的证题思想，较 为简明、直观。 五、项明达证法: 作两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为a、b (ba)， 斜边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形，使 E、 A、C三点在一条直线上. 过点Q作

4、QP/ BC,交AC于点P. 过点B作BM丄PQ，垂足为M ;再过点 F作FN丄PQ,垂足为N. / BCA = 90 QP / BC， / MPC = 90， BM 丄PQ， / BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即/ MBC = 90. / QBM + / MBA = / QBA =90 / ABC + / MBA = / MBC = 90 , / QBM = / ABC , 又 / BMP = 90, / BCA = 90, BQ = BA = c, Rt BMQ Rt BCA. 同理可证 Rt QNF Rt AE即 aA2+bA2=cA2 六、欧几里德射影定理证法： 如图，Rt

5、AABC中，/ ABC=90 , AD是斜边BC上的高，通过证明三角 形相似则有射影定理如下： 1) (BD )A2;=ADDC, (2) (AB ) a2;=AD -AC , (3) (BC)A2;=CDAC。 由公式(2) + (3)得： (AB) A2；+ (BC) a2；=AD AC+CD AC = (AD+CD) AC= (AC)八2；, 即 (AB) A2；+ (BC) A2；= (AC) 2 七、杨作玫证法: 供参考 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a b (ba)，斜 边长为c.再做一个边长为c的正方形.把它们拼成如图所示的多边形.过A作 AF丄AC , A

6、F交GT于F, AF交DT于R.过B作BP丄AF ,垂足为P.过D作 DE与CB的延长线垂直，垂足为 E, DE交AF于H. / BAD = 90o,Z PAC = 90o, / DAH = / BAC. 又 / DHA = 90o,Z BCA = 90o, AD = AB = c , RtA DHA 也 Rt BCA. DH = BC = a, AH = AC = b. a H P 4 5 3 6 c c Q 8 R 9 c 2 由作法可知，PBCA是一个矩形， 所以 RtA APB 也 Rt A BCA.即 PB = CA = b, AP= a,从而 PH = b a. RtA DGT 也

7、 RtA BCA , RtA DHA 也 Rt A BCA. RtA DGT 也 RtA DHA . DH = DG = a，/ GDT = / HDA . 又 / DGT = 90o,Z DHF = 90o, / GDH = / GDT + / TDH = / HDA+ / TDH = 90o, DGFH是一个边长为a的正方形. GF = FH = a . TF丄 AF , TF = GT GF = b a . TFPB是一个直角梯形，上底 TF=b a,下底BP= b,高FP=a + （b a）. 用数字表示面积的编号（如图），则以c为边长的正方形的面积为 2 b1 ab 2 , c =

8、S1 S2 S3 S4 S5 S8S3S4 =1 b 亠b - a 1 * a 亠b -a 1 S5 = S8 S9 S3S4 =b2 1 _2ab 一S8= b2 -Si -S8 把代入，得 2 2 c = Si S2 b - Si - S8 S8 S9 =b +SS9 = b2+a2 2 2 2 a b c . 八、陈杰证法： 设直角二角形两直角边的长分别为 a、b （ba），斜边的长为c.做两个边长 分别为a、b的正方形（ba）,把它们拼成如图所示形状，使 E、H、M三点在 一条直线上.用数字表示面积的编号（如图）. 在EH = b上截取ED = a,连结DA、DC, 则 AD = c.

9、 EM = EH + HM = b + a , ED = a , .DM = EM ED =（b + a）_a = b. 又 / CMD = 90o, CM = a, RtA AED / EAD = / ADE + / ADE + / AED = 90o, AE = b, 也 RtA DMC. DC = AD = c. / MDC , / ADC+ / MDC =180o, / MDC = / ADE + / EAD = 90o, / ADC = 90 o. . 作AB / DC, CB / DA，则ABCD是一个边长为c的正方形. / BAF + / FAD = / DAE + / FAD

10、= 90o, ./ BAF= / DAE. 连结FB,在A ABF和A ADE中， AB =AD = c , AE = AF = b，/ BAF= / DAE , .A ABF 也 A ADE. / AFB = / AED = 90o, BF = DE = a. 点B、F、G、H在一条直线上. 在 RtA ABF 和 RtA BCG 中， AB = BC = c , BF = CG = a, RtA ABF 也 Rt A BCG. c2 = S2 S3S4 S5 b2 =3S2S6 a2 -S3S7 S| = S5 = S4 = S6 S7 2 2 a bS3S7S1S2S6 =S2S3S1S6S7 =S2 S3S4S5 =c2 a2 +b2 =c2 X 小2 ab a b2 ab 11 a a b b b 九、辛卜松证法: A a C 设直角三角形两直角边的长分别为 a、b,斜边的