京江考研(概率)讲义

1、第一章随机事件和概率 内容概要与重难点 “随机事件” 与“概率”是概率论中的两个基本概念， “独立性”与“条件概率”是概率论中特有的概念， “条件概率”在不具有独立性的场合扮演重要角色，它是一种概率 了解样本空间（基本事件空间）的概念， 理解“随机事件”的概念，并要熟练掌握“随机事件”的 关系与运算 法则，理解“概率”、“条件概率”的概念， 掌握概率的基本性质； 古典型概率（有限等可能概率模型）与几何型概率（“无限等可能” 概率模型）是两个特定简单概率模型中直接计算随机事件概率的方法 在“古典概率”的计算中还英熟悉排列与组合的知识 概率的五个基本公式： 加法公式、乘法公式、减法公式、全概率公式

2、与贝叶斯公式是。应用 他们再结合事件运算与概率的基本性质，可以解决有关随机事件概率 的计算问题 理解随机事件的“独立性”与“独立重复试验”概念，掌握计算有关 事件概念的方法， 其中“伯努利公式”是在虽然满足 有限性，但不具备“等可能性”条 件是，计算概率的重要公式， 它适合于描述n次独立重复试验的n重 伯努利概型，是区别于古典概型与几何概型的又一个重要概率模型 二项分布就是描述 n重伯努利概型的随机变量 排列组合相关知识点 加法原理（两种方法均能完成此事）m+n 乘法原理（两个步骤分别不能完成这件事）mn 排列组合公式：兀 山cm旦 （m -n）!n! （m丄 n !） 一.随机事件的关系与运

3、算 （一）样本空间与随机事件的概念 1随机试验 满足（1）试验可以在相同条件下重复进行 （2） 每次试验的可能性不止一个，并且能够事先明确试验所 有可能结果； （3）进行一次试验之前不能确定哪一个会出现 记为：字母E或Ei,E2, 2样本空间 随机事件E的所有可能的结果组成的集合称为E的样本空间， 记为：11 样本空间的元素，即E的每个结果，称为 样本点 3.随机事件 试验E的样本空间 门的子集称为E的随机事件，简称事件 4事件的发生 在每次试验中，当且仅当这一子集中的一个样本点出现时，事件 就发生了 5. 基本事件 一个样本点组成的单点集（掷筛子为例） 6. 必然事件 样本空间门,它是门自身

4、的子集，它包含所有样本点，在每次试 验中都发生，称为必然事件。 7. 不可能事件 空集 也作为样本空间的子集，它不包含任何样本点，在每次试 验中都不发生。 事件是一个集合，因而事件之间的关系与事件的运算自然按照集 合论之间的关系和集合的运算来处理。 （二）事件间的关系与运算 事件间的关系与运算的语 言描述 集合论的表示法 概率中的含义 事件A包含事件B A二 B（或Au B） 事件B发生， 则事件A发生 事件A和B相等（或等价） A = B 事件A发生，事件 B 一定发生，反之 亦然 事件间的关系与运算的语 言描述 集合论的表示法 概率中的含义 事件A与B之和（或并） 或 A + B） 两个事

5、件A或B至少 有一个发生 有限个事件 Ai,A2,ULlAn的 nn Ua 或 2 A 屯i 事件AA山塔 和或并 至少有一个发生 可列个事件A,A2,曲An山 QOQO Ua 或 z A 洼i AAlfflAn 山 至少有一个发生 事件A与B之积（或交） Q （或 AB） 两个事件A或B同时 发生 有限个事件 4,人2，山代的 积（或交） n 事件AA，山宀同 时发生 可列个事件A,A2,UllAn山 的积（或交） Aa 7 同时发生 事件A与B之积（或交） （或 AB） 两个事件A或B同时 发生 有限个事件 A,A2,UL!An的 积（或交） n AA i# 事件 A,A2,UU,An 同

6、 时发生 可列个事件A1,A2lAnLL 的积（或交） AA i# 同时发生 事件间的关系与运算的语言 描述 集合论的表示法 概率中的含义 事件A与B的差 AB 事件A发生， B不发生 事件A的逆事件 A 0 -A 事件A发生，当 且仅当A不发生 事件A与B互不相容(互斥) 召B=Q 事件A与B的不 可能同时发生 事件A , A2，LUJ An疋 个兀备 时间足 Op AA Aj A，A2山An仅发 生，且发生其中之 事件的运算性质 (1) 吸收率 A B,则 AUB=B,AB=：A (2) 交换律 (3) 集合率 (4) 分配率 A( BUAB A;A( BC 址 A B A C (aIJc

7、)(bIJc)= abUc A 门(口人)二 U(AAQ (5) 对偶率 Aj B二 AB |A B IJA B 随机事件的概率 (一) 概率的公理化定义 设随机试验E的样本空间为?,对于E的每一事件 A赋予一个 实数，记为P(A)，称为事件 A概率 如果集合函数P(J满足下列条件： (1) 非负性:P(A) _0 (2) 规范性：对于必然事件 -j，P(.i)=1 (3) 可列可加性：人，九吐入，两两互不相容， 即对于 i = j,AiAj -G,i, j =12 则 P(A U A2U ) =P(A) P(A2) (二) 概率的基本性质 性质1.P()=0 性质2有限可加性Ai,A2出代，

8、两两互不相容，则 P(AiUA2U U An )=P A 1 幵 A( 2十)+P A () 性质3乘法公式若A与B是任意事件 贝V： P(A-B)二P(A) -P(AB) 特别的： A_：B, P(A - B) =P(A) - P(B) ; P(A) _P(B) 性质4对于任一事件 A有，P(A)乞1 性质5逆事件的概率：P(A) =1 P(A) 性质 6加法公式：P(AUB) =P(A) P(B) P(AB) p(aLJbUc)二 P(A) P(B) P(C)_P(AB)_P(AC)_P(BC) P(ABC) (三) 古典概型与几何概型 古典概型(等可能概型)： 满足(1)只有有限个基本事

9、件(样本点) (2)每个基本事件(样本点)发生可能性都一样 P(A) 事件A所含基本事件的个数 基本事件总数 几何概型：(1)样本空间门是一个可度量的几何区域 (2)每个样本点发生的可能性都一样，即样本点落入Q 的某一度量的子区域 A的可能性大小与A的几何度量成正比。 p(a)_Sa的几何度量 门的几何度量 (四)条件概率 设A,B是两个事件，且P(A) 0,则称已知事件 A发生的条件下事件 B发生的概率为条件概率记为P(B A)，并定义P(B A)二巳 注意：(1)条件概率p|a)0也是一种概率，概率的一切性质和重 要结论对条件概率适用 (1-1 ) P(B A) _0 (1-2 ) P(A

10、) =1, P(A A) =1 P(B A) =1 _P(B A) (1-3 )_ (注意：P(B A) +P(B A)不一定等于1) (1-4 )当事件Bi,B2, ,Bn, 两两互不相容时, qQqQ P(UBi A) =P(B A) 1i 计算条件概率的两种情况：样本空间不变；缩减样本空间 (五)计算概率的公式 1 .乘法公式 P(AB)- P(A)P(bA)，P(A)0 P(B)P(AB), P(B)0 P(AA2 代)=P(A)P(A2 A)P(Aa AA2)P(“ A A2 An) 2. 全概率公式 若事件A,A2,An构成一个完备事件组，即两两互不相容，其 和为门,P(A) 0,

11、则对任何事件B，有 n P(B) P(A)P(B A) i 特别：n = 2, A1记为A, A2记为A, P(B) =P(A)P(B A)+P(A)P(BA 3. 贝叶斯公式 如果事件A，a2,An构成一个完备事件组，并且 P(A)0,i=1,2,n P(B)0，则对任何正数 i P(A B)二込= P(nB)P(BA) P(B)送 P(B A) i 1 三事件的独立性与独立重复试验 (一)事件的独立性 1. 独立性的定义 1- 1 .事件 A与事件B相互独立，满足 P(AB)二P(A)P(B) 1- 2.三个事件A,B,C相互独立，满足 P( A B= R A H B P( A q= R

12、A H 0 p(bc)=hbrc)P(ab() PAPBPC 1- 3.三个事件两两独立 P(AB) =P(A)P(B)P(AQ= P( A P( C) P(BC) =P(B) P(C) 2. 独立性的性质 2- 1 .若A1,A2,An相互独立，则他们任何一部分也相互独立 2- 2 .若A,B相互独立，则 A,B A,B A, B相互独立 2-3 .若 A,B 相互独立， A 二 B，贝U P(A) =0 或 P(B) =1 2- 4 若A,B相互独立，不相容，则P(A),P(B)至少有一个是零 3. 独立性判断 3- 1 .直观判断，如：甲乙连个试验结果相互独立(如：射击) 袋中有放回的摸球 3- 2 .充要条件(A, B相互独立) P(AB) =P( A)P(B) u P(A B) = P(A B) = P(A)(0v P(B) V1) =P(B A)二 P(B|A)二 P(B)二 P(B A) P(B A)=1 (二)独立重复试验与伯努利公式 1独立重复试验 如果在两个或多个实验中与各试验相联系的事件之间相互独立，