勾股定理竞赛试卷(含解答)

1、八年级数学勾股定理竞赛试卷 （时间：120分钟，总分：120分） 一、选择题（每小题 5分，共25分） 、 ABC周长是24, M是AB的中点 MC=MA=5则厶ABC的面积是（） A. 12; B . 16; C . 24; D . 30 2、如图，在正方形 ABCD中, N是CD的中点，M是AD上异于 D的点，且/ NMBM MBC贝U AM AB=（） A. 1; B .虫;C . 1; D .二 3326 第（1）题图第（2）题图 3、如图，已知 0是矩形ABCD内一点，且 0A=1 OB=3 OC=4,那么 第（5）题图 2;.3 ; 4、如图，P为正方形 ABCD内一点，PA=PB

2、=10并且P点到CD边的距离也等于10,那么，正方形 ABCD勺 面积是（） A. 200; B . 225; C . 256; D . 150+10、2 5、如图，矩形 ABCD中, AB=20, BC=1Q若在 AB AC上各取一点 N M,使得BM+MN勺值最小，这个最小 值为（） A. 12; B . 10 . 2 ; C . 16; D . 20 、填空题（每小题 5分，共25 分） 6、如图， ABC中，AB=AC=2 BC边上有10个不同的点P1, P2, R0，记 10 ）,那么， MiAPi2 PB PiC ( i = 1 , 2 , M1 M 2 M 10 =o 第（6）题

3、图 7、如图，设/ MPN=20 , A为0M上一点，OA=V3 , D为ON上一点，0D=过 0作GHL DC于 G,交AB于H 设 CF=x, FB = y, AH = s, HB = x, 所以 OG=x, DG = s 所以 OF2 =OB2 - BF 2 =0 2. 12; 3. 5. 6, 8, 10或 5, 12, 13 解答： 1.如图，作 AD丄 BC于 D,在 Rt ABD和 Rt ARD 中，AB2 =AD2 +BD2 AR2 AD2 RD2 所以 AB AR2 AD2 BD2 (AD2 RD)2 BD 2 RD2 (BD RD)(BD RD) RC RB 所以 AR2

4、RC RB AB24 所以 Mj 4 所以 Mj M2M1040 1.如图，作A关于ON的对称点A, D关于OM的对称点D, 连结 ab, CD,则 AB=AB C D=CD 从而 AB+BC+CD=屈+BC+CD AD 因为/ AON=/ MONK MOD=20，所以/ AOD=60 又因为 oA=oa=4J3 , oD=od=8运, 所以OD=2oA 即厶oDa为直角三角形，且/ oAd=90 所以 ad= ,OD2 OA2. (8 3)2(4.3)212 所以，折线 ABCD的长的最小值是12 3. 如图，作 RML AB于 M, RN1BC于 N, 设 AB = m, RM = x,

5、RN = y ，贝V x2 y24(1) x2 (m y)21(2) 2 2 (m x) y 9(3) 由(2 )、(3 )分别得， x2m22myy21(3) 2 2 2 ym2mxx9(4) 将（1）代入（4）得 m2 2my 30 2m 将（1）代入（5）得 m2 2mx 50 2 m 5 x 2m 把x,y的表达式分别代入（1 ）得m4 10m2170 46 2 因为m2 0 所以m2 =5+2 2 所以 AB=m 5 2 . 2, BC .52 一 2 , AD 所以Sabcd 】(AD BC) AB 153 2 242 4如图, AB=12, AC=2 BD=3,且 AB丄 AC,

6、 AB丄 BD, P 在 AB上且 PA=x PB=y,连 PC PD, b2 c2(1) (2) 代 入（ 2, 2,ab 1)得 a b (a 2 因为 ab 工0 所以 ab - 4a - 4b + 8 所以 a 4 8 （a,b为正整数） b 4 所以 b -4 =1 , 2, 4, 8, 所以 b = =5 , 6, 8, 12; =0 a = 12 , 8, 6, 5; b)2 即 ab(ab 4a 4b 8)0 4 在 Rt CAP和 Rt DBP中 PC.AC2 PA2x2 4, PDBD2 PB2y2 9 如图，P点在P0位置时，PC+PD勺值最小，为线段 CD的长度，而 C

7、D= (2 3)212213 所以x 4 y29的最小值为13。 5.设三边长为a,b,c，其中c是斜边，则有 c= 13 , 10, 10, 13, 所以，三边长为 6, 8, 10或5, 12, 13 三、解答题 1.如图,连结 PA,PB, PC,设 BD=x CE=y AF=z, 则 DC=17-x , EA=18 - y , FB = 19- z 在 Rt PBD和 Rt PFB 中, PD2 2 (19 z) PF 同理有: y2 PE2(17 z2 PF2(18 x) 2 y)2 PD2 PE2 将以上三式相加，得 z2(17 2 x) (18 y)2 2 (19 z) 即 17

8、x + 18y + 19z = 487 又因为x + y + z = 27, 所以x = z - 1, 所以 BD + BF = x + (19 2.如图，作CE! AB于 则 CE=AEAC 2 所以 BE=AB-AE=2 - + 19 2 2 2 又 BC CE BE 所以 BC= . CE2 BE2 再过D作DF丄BC,交CB延长线于F , 并设 DF=CF=x 贝U BF= x - BC = x + 1 -. 6 又 Rt DFB Rt CEB 所以 DF: BF=CE BE,即 x: (x + 1 - 所以x = 3 2.6 2 所以 S BCD 1BC DF - ( 61)32 6

9、- 2224 2.如图，构造一个边长为(a + b) 、(c + d)的矩形ABCD 在 Rt ABE中, BE=jAE2 AB2 d / 所以 BE=Ja2 (c d)2 Ja2 c2 d2 2cd c 在 Rt BCF中, BF=.BC2 CF2 (a b)2 d2一 a2 b2 d2 2ab 在 R t DEF中，EF= , DE2 DF2. b2 c2 心 BEF 中，BE+EFBF 即 一 a2 c2 d2 2cd . b2 c2 .a2 b2 d2 2ab 3.如图，过 A作 AE/ BC交 CD于 E,则/ 1=45,/ 2=60, 过B作BF丄AE于F,作CGL AE于G, 则

10、Rt ABF为等腰直角三角形，BCFG为矩形, 又因为 AB= _ 6 , BC=5- 3 , 所以 BF=AF=2 AB=、3，所以 CG=BF= 3 , 所以 CE= 2 CG=2 EG= 1 3- 3 CG=1 所以 AE=AF+FG+GE=AF+BC+GE=6 DE=CD-EC=6-2=4 过D作DM丄AE延长线于M / MED=180 - / AED=180 - / BCD=180 -120 =60 所以 EM=1 DE=2 DM仝 DE=2 3 2 2 在 Rt AMD中, AD=、AM2 DM 2(6 2)2 (2 3)2 2 19 5.如图，以 A为中心，将 ABE旋转60到厶AMN连NB, MB贝U AE+EB+EC=