三角函数的诱导公式(一)

1、 三角函数的诱导公式(一) 浮习目标1.了解三角函数的诱导公式的意义和作用2理解诱导公式的推导过程3能运用 有关诱导公式解决一些三角函数的求值、化简和证明问题. 知识植理自主学习 知识点一诱导公式一四 (1) 公式一：sin( a+ 2k n# sin a, cos(a+ 2k n# COS a, tan( a+ 2k n) tan a,其中 k 乙 (2) 公式二： sin( n a = sin a, cos( + a) = cos a, tan( * a)= tan a. (3) 公式三： sin( %)=一 sin a, cos( a)= cos a, tan( a) = tan a.

2、(4) 公式四： sin( a = sin a, cos( a = cos a, tan( a)= tan a. 思考1任意角a与n+ a, a, n a的终边之间有怎样的对称关系 思考2设任意角a的终边与单位圆交于点P(Xo, yo)，分别写出n+ a, a, n a的终边 与单位圆的交点坐标. 知识点二诱导公式的记忆 2kn+ a(k 乃,n+ a, n a , a的三角函数值，等于 a的同名函数值,前面加上一个把a 看成锐角时原函数值的符号.简记为函数名不变，符号看象限”. 思考你能用简洁的语言概括一下诱导公式一四的作用吗 爭点突锻 h题型探究 题型一给角求值 例1求下列各三角函数值.

3、(1)si n( 8 n； 19 (2)C0S _ n; (3)sin(2n + 1)旷|n - 8 2 (1)sin( 3 n ) sin 3 n= sin(2 n 3 n) =sin 3 n= sin( 7t 3) 7t =sin 3 = 197 (2)cos n= cos(2 + $ 兀) /兀 =cos(灶 6)= cos 7t 6= 2 2 (3)sin(2 n + 1) 3 n = sin2 n n+ ( n 3 n ) 冗 =sin 3 跟踪训练1求下列三角函数值. (1) sin 眷冗； (2)cos 詈 n;(3)tan( 855 . 解(1)sin 43437 6 n si

4、n $ nisin(6 -k $ n) .7 =sin $ n= sin 1 计 6 =sin 6= 2; 295 (2)cos 6 n= cos(4 + 6 n) 5 冗 =cos 6 n=cos n 6 7t =cos 6 = (3)tan( - 855 = tan 855 =-tan(2 x 360 135) =-tan 135 =- tan(180 45 = tan 45 = 1. 题型二给值求值问题 1 例2已知COS(a 75) = 3，且a为第四象限角， 求 sin(105 a 的值. 1 解/ COS( a- 75= 30,且a为第四象限角， a- 75是第三象限角. -sin

5、( a 75 ) = 、: 1 cos?a 75 -12 / sin(105 + a= sin180 a 75 =sin( a 75) = 跟踪训练2 已知 COs( a) = 5, n2n,求 Sin( a 3 n COs(a n的值. - cos( a= cos a= -COs a= 5, na2 , 3 - a2 n, sin a= 4 5. -sin( a 3 n cos( a n = sin(3 a) + cos( a) =sin( a) + ( COs a) = sin a COs a =(sin a+ COs a)= 1 5. 题型三三角函数式的化简 例3化简下列各式. tan

6、2 n a sin 2 n a COS 6 n a COSa n sin 5 n a (2) 土2sin 290 cOs 430 sin 250 羊 cos 790 . sin 2 n a sin a COs a ，”、 COs 2 n a (1)原式=: COS na sinna sin a sin a COS a sin a ;=tan a. COS a COS a Sin a COS a 、寸1 + 2sin 360。 70 cos 360 + 70 )原式=sin 180 + 70 + cos 720 + 70 Qi 2sin 70 cOs 70 |cos 70 sin 70 | si

7、n 70 + cos 70 = cos 70 sin 70 sin 70 cos 70 = cos 70 sin 70 sin 跟踪训练3化简：(1)四 540 + a COS tan a 180 (2) 22 COS 0+ 4 n COS B+ n sin B+ 3 n sin 0 4 n sin 5 n+ 0 cos2 n+ 0 (1)原式= sin 360 + tan 180 + a COS a 180 a _ sin 180 + a COS a tan a sin 况 cos a =；=CO a. sin a COS a ,、 cos 0 cos2 0 sin2 B (2)原式=辽 s

8、in 0 sin 0 cos 0 =cos 0. 例4证明: 2sin a+ n n cos a n n sin a+ n n + sin a nn =(十讼 a，n* 乙 证明 当n为偶数时，令n = 2k, k Z, 左边= 2sin a+ 2k n cos sin a+ 2kn + sin a 2k n a 2k n 2sin acos a 2sin 久cos a cos a. sin a+ sin a 2sin a 右边=(1)2kcos a= cos a, 左边=右边. 当n为奇数时，令n= 2k 1, k Z, 2sina+ 2k nn cos a2k n+ n 左边= sina+

9、 2k n n + sina 2k n+ n 2sina n cos a+ n sina n + sin a+ n 2 sin a cos a sin a + sin a 2sin aos a 2sin a 右边=(1)2k 1 COS a= COS a, 左边=右边. (1)ncos a, n Z成立. 2sin a n n cos a n n sin a+ n n + sin a n n -当堂检测自童自纠 1. sin 585的值为( ) A. c. .3 2 2 16 n 16 n 2. cos( 3 )+ sin( 3 ）的值为（ ) A. 1 + V3 2 3.记 cos( 80=

10、 k,那么 tan 100 等于() B. ：1 - k2 k 4 .化简: cos 180 + a sin a+ 360 sin a 180 cos 180 a 霁课时精练 、选择题 1 1. cos 600 的值为（） C. 2. sin?( n a) cos( * acos( a + 1 的值为() A. 1B. 2sin2 aC. 0D. 2 5 3 .已知cos（a nA 13,且a是第四象限角，贝ysin a等于（） 12 13 12 D.知 4 .若 sin( 110 = a，则 tan 70 等于() sina3 n + cosna , +、了 5. tan(5 +a)= 口则

11、 sin -a- cosn+a 的值为( C. 1D. 1 6 .若 sin( 1 a)= log8 4, a n 2, 0，则cos（ + a的值为（ B. c出 C. 3 D.以上都不对 3 、填空题 n 7 .已知 cos 6+ 0 5 n 则cos百0 = 1 3 8 .右 cos( n a = 2， 2 n 585 + sin 570 )的值等于 . 10. 已知函数 f(x)= asin(册 a) + bcos( n+ 3，且 f(4) = 3,贝U f(2 017)的值为 三、解答题 197 (1)sin( 3 n )cos6 n; 11. 化简下列各式. (2) sin( 96

12、0 )cos 1 470 cos(240 )sin( 210 . 12 .若 cos( a n ) 3，求 a3 n cos a3 n n a cos a 4 n sin a 2 n + sin cos n a cos 当堂检测答案: 1答案 A 解析 sin 585 sin(360 225= sin(180 45 =sin 45 = 2 .答案 C 解析原式 16 n .16 n 4 n .4 n cos 丁sin 丁=cos T sin T cos n+ sin 3 n 卫二1 3 2- 3 .答案 B 解析 / cos( 80= k, cos 80 k, sin 80 1 k2. tan

13、 80 tan 100 =tan 80 = k 4 .化简: cos 180 + a sin a+ 360 sin a 180 cos 180。一 a COs a sin a sin aCOs a sin a COs a 1. 解 原式 sin a+ 180 cos 180 + a Sin aCOs a sin a+ 180 cos 180 + a 课时精炼答案 、选择题 1 答案 D 解析 cos 600 = cos(360 + 240= cos 240 1 =cos(180+ 60)=- cos 60 = 2 .答案 D 解析 原式=(sin a)2 + cos acos( a+ 1 =s

14、in2 a+ cos2 a+ 1 = 2. 3 .答案 A 解析 T cos(a n ) cos( a)= cos a= cos a= 13,又 a是第四象限角, a0,贝U sin a= 1 cos2 a= 12 13. 4 .答案 B 解析/ sin( 110= sin 110 = sin(180 =sin 70 a, / sin 70 a, cos 70 = 1a2 =寸 1 a2, 70 / tan 70 sin 70 二 _ a cos 70 J1 a2 5 .答案 A 解析 _ sin a cos a_ tan a+ 1 _ m + 1 原式 sin a cos a tan a 1

15、 m 1 6 .答案 B 解析 sin( a = sin a = log232 2 = cos( na= cos a=寸1 sin2 一广9 V 二、填空题 7 答案它3 5 nn 解析 cos e= cos n 6 + 0 cos n+ e =彳. &答案 2 解析 由 cos( n 1 a= 2， 得cos 1 故 sin( a 2 n)= sin a= （a为第四象限角）. 9答案，：2 + 2 解析 原式= cos 360 + 225 八式=sin 360 + 225 sin 360 + 210 cos 225 sin 225 sin 210 2 + 2. cos 45 sin 180

16、 + 45 sin 180 + 30 10.答案 3 解析 t f(4) = asin(4 水 a) + bcos(4 刖 3) =asin a+ bcos 3= 3, f(2 017)= asin(2 017 + 沪 bcos(2 017 + 3 =asin(十 a) + bcos(灶 f)= asin a bcos 3 =3. 三、解答题 197 11.解(1)sin( 3 n )cos6 n . nn n n 3 =sin(6 十 3)cos(毗 6) = sin 亍cos 6 = 4. (2)sin( 960 cos 1 470 cos 240 sin( 210 =sin(180 60+ 2X 360)cos(30 4X 360) + cos(180 + 60)sin(180 半 30 =sin 60 cos 30 cos 60 sin 30 =1. 12.解 原式= sin 2 na sin 3 n+ a cos 3 n a cos a cos a cos a sin a sin 况cos