人教版八年级上册12.2全等三角形常见模型讲义设计

1、全等三角形常见模型 要点梳理 要点一、全等三角形的判定与性质 一般三角形 直角三角形 判定 边角边（SAS 角边角（ASA 角角边（AAS 边边边（SSS 两直角边对应相等 一边一锐角对应相等 斜边、直角边定理（HL） 性质 对应边相等，对应角相等（其他对应元素也相等，如对应边上的 高相等） 备注 判定三角形全等必须有一组对应边相等 要点二、全等三角形的证明思路 找夹角 SAS 已知两边找直角 HL 找另一边 SSS 边为角的对边 已知一边一角 边为角的邻边 找任一角AAS 找夹角的另一边 SAS 找夹边的另一角 ASA 找边的对角 AAS 已知两角 找夹边 ASA 找任一边AAS 类型一：

2、角平分线模型应用 1角平分性质模型：（利用角平分线的性质） 辅助线：过点 G作GE丄射线AC b 人教版八年级上册12.2全等三角形常见模型讲义设计 例题解析 例 1 :（ 1）如图 1，在 ABC 中，/ C=90 ,AD 平分/ CAB, BC=6cm , BD=4cm，那么点 D 到直线 AB的距离是 cm. (2)如图 2,已知，/ 1= / 2,7 3= / 4，求证：AP 平分/ BAC. 19 / 16 【答案】2 (提示：作DEL AB交AB于点E) 12 PM PN 34 PN PQ PM PQ, PA 平分 BAC 变式1:如图，在四边形 ABCD中，BCAB , AD=C

3、D , BD平分/ BAC. 求证： A C 180 变式2:已知如图，四边形 ABCD中，7 B+ 7 D=180 ,BC=CD ,求证：AC 平分7 BAD 变式3:如图1, RtA ABC中，7 ACB=90 ,CD丄AB,垂足为 D , AF平分7 CAB ,交CD于 点E,交CB于点F. (1)求证：CE=CF. 将图1中的 ADE沿AB向右平移到 A D E的位置，使点E落在bc边上，其他条件不 变，如图2所示，是猜想：BE于CF又怎样的数量关系？请证明你的结论. R 变式4：如图, Z A 90 , AD II BC , P 是 AB的中点, PD平分Z ADC求证：CP平分Z

4、DCB 变式5:如图8, AB AC, Z A的平分线与 BC的垂直平分线相交于 D,自D作DEI AB, DF丄 AC垂足分别为 E, F.求证：BE=CF 变式6:如图9所示，在 ABC中，BC边的垂直平分线 DF交厶BAC的外角平分线 AD于 点D，F为垂足，DE丄AB于E,并且 ABAC。求证：BE AC=AE。 F 变式7: 如图10, D、E、F分别是 ABC的三边上的点，CE=BF,且厶DCE的面积与厶DBF 的面积相等，求证： AD平分/ BAC。 类型二：角平分线模型应用 2角分线，分两边，对称全等要记全 两个图形的辅助线都是在射线OA上取点B,使OB=OA，从而使 OAC

5、OBC. 例题解析 例 1:在厶 ABC中，/ BAC=60，/C=40,AP平分/ BAC交 BC于 P, BQ平分/ ABC交 AC于 Q 求证：AB+BP=BQ+AQ 证明：如图(1),过 O作 OD/ BC交 AB于 D,./ ADON ABC=180 -60-40=80 又/ AQON C+Z QBC=80 ,:丄 ADON AQO 又/ DAOZ QAO OA=AOADOA AQO/ OD=O Q AD=AQ 又 OD/ BP,/ PBOZ DOB 又 tZ PBOZ DBODBOZ DOB - BD=OD 又 tZ BPA=Z C+Z PAC=70 , /BOPZ OBA+Z B

6、AO=70 , /BOP=Z BPO - BP=OB AB+BP=AD+DB+BP=AQ+OQ+BO=AQ+BQ 解题后的思考： (1) 本题也可以在 AB上截取AD=AQ连OD构造全等三角形，即“截长法”。 (2) 本题利用“平行法”的解法也较多，举例如下： 如图(2),过O作OD/ BC交AC于 D,则厶ADOA ABO从而得以解决。 如图过0作咬AB于D,仝恥于E,则AaDOAAQO 起。稔色AEO从而帑以解茯. 如图.过P作PDMBQ主AB的延长线于D*则4APD出色APC从而 得以唤 如图（5）,过P作PD/ BQ交AC于 D,则厶ABPA ADP从而得以解决。 小结：通过一题的多种

7、辅助线添加方法，体会添加辅助线的目的在于构造全等三角 形。而不同的添加方法实际是从不同途径来实现线段的转移的，体会构造的全等三角形在 转移线段中的作用。从变换的观点可以看到，不论是作平行线还是倍长中线，实质都是对 三角形作了一个以中点为旋转中心的旋转变换构造了全等三角形。 例2：如图所示，在 ABC中，AD是 BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任意 点，试比较PB PC与AB AC的大小，并说明理由. PB PC AB AC，理由如下. 如图所示，在 AB的延长线上截取 AE AC，连接PE . 因为AD是BAC的外角平分线， 故 CAP EAP . 在 ACP和 AEP 中，AC AE

8、 , CAP EAP, AP 公用, 因此ACP也AEP, 从而PC PE . 在 BP E 中, PB PE BE , 而 BE BA AE AB AC , 故 PB PC AB AC . 例3:在 ABC中，AB AC , AD是 BAC的平分线.P是AD上任意一点. 求证：AB AC PB PC . 在AB上截取 AE AC，连结EP，根据SAS证得 AEP也ACP,PE PC , AE AC又 BEP 中，BE PB PE, BE AB AC ,二 AB AC PB PC 变式练习 1、如图，在 ABC中，AD丄BC于D, CD= AB + BD,Z B的平分线交 AC于点E,求证：

9、点E恰好在BC的垂直平分线上。 2、如图，已知 ABC中，AB= AC,/ A = 100 ,ZB的平分线交 AC于D, 求证：AD + BD= BC 3、如图，已知 ABC中, 求证：AC+ CD = AB BC= AC，/ C= 90 ,ZA 的平分线交 BC 于 D, 4、已知：在 ABC中， B的平分线和外角ACM的平分线相交于 ？,?/?交AC于 E,交AB于F,求证：EF BF CE 5、在 ABC中，AB 2AC,AD平分 BAC，E是AD中点，连结CE，求证：BD 2CE 6、已知：在厶 ABC中， B 2 C,BD平分 ABC，AD BQ于D, 求证：BD -AC 2 7、已

10、知：如图，在四边形 ABCD中, AD/ BC,BC=DC,CF平分/BCD,DF/ AB,BF的延长线交 DC 于点 E. 求证：(1) BF=DF;(2) AD=DE. 8、已知如图，在四边形 ABCD中, AB+BC=CD+DA/ ABC的外角平分线与/ CDA的外角平分 线交于点 P.求证：/ APB= / CPD 9、如图，在平行四边形 ABCD （两组对边分别平行的四边形）中，E, F分别是AD , AB边 上的点，且 BE、DF交于G点，BE=DF,求证：GC是/ BGD的平分线。 10、如图，在 ABC中，/ ACB为直角, CM丄AB于M AT平分/ BAC交CM于 D,交B

11、C于 T,过 D作 DE/ AB交 BC于 E,求证：CT=BE. 11、如图所示，已知 ABC中，AD平分 BAC，E、F分别在BD、AD 上. DE CD , EF AC . 求证：EF / AB S EDC 12、如图，在 ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF / AD交CA的延长线于 点F，交AB于点G，若BG CF，求证：AD为 BAC的角平分线. 类型三：等腰直角三角形模型 1、在斜边上任取一点的旋转全等： 操作过程：（1 ）将厶ABD逆时针旋转90,使AACMABD,从而推出厶ADM为等腰直 角三角形（但是写辅助线时不能这样写）（2）过点C作MC丄BC,连AM导出上述

12、结论. 2、定点是斜边中点，动点在两直角边上滚动的旋转全等: 操作过程：连AD. (1) .使 BF=AE (AF=CE),导出 BDFA ADE. (2) .使/ EDF+ / BAC=180 ，导出 BDFA ADE. 例题解析 例1:两个全等的含 30, 60的三角板ADE和三角板ABC如图所示放置, E、A C三点 在一条直线上，连接 BD,取BD得中点M连接ME MC试判断 EMC的形状，并证明你的 结论。 证明：方法 连接 AM,证明 MDEA MAC.特别注意证明 (1) (2) Z MDE= Z MAC. 方法二：过点M作MN丄EC交EC于点N ,得出MN为直角梯形的中位线，

13、从而导出厶MEC 为等腰直角三角形. 例2:已知：如图所示，Rt ABC中，AB=AC BAC 90 , O为BC中点，若MN分别在 线段AC AB上移动，且在移动中保持 AN=CM. （1）是判断 OMN勺形状，并证明你的结论. (2)当M N分别在线段 AC AB上移动时，四边形 AMON勺面积如何变化? 思路：两种方法: 例3:在正方形 ABCD中, 8 BE=3 , EF=5 , DF=4，求/ BAEK DCF为多少度. 提示如右图: 类型四：三垂直模型(弦图模型) 尅 E 由厶ABE BA BCD导出 由厶ABEBA BCD导出 例1 :已知：如图所示，在 由厶ABEBA BCD导

14、 出 EC=AB-CD BC=BE+ED=AB+CD ABC 中，AB=AC BAC 90 , d 为 AC 中点，AF丄 BD于 E, 交BC于F,连接DF。求证：ZADB= /CDF. 思路： 方法一：过点C作MCI AC交AF的延长线于点 CMF即可. M.先证 ABDBA CAM,再证 CDF 方法二：过点A作AM丄BC分别交BD、BC于H、M.先证 ABHA CAF,再证 CDF也 ADH即可. 方法三：过点 A作 AM丄BC分别交 BD、BC于H、M.先证 Rt AMF也RtA BMH,得出 HF/ AC.由M、D分别为线段 AC、BC的中点，可得MDABC的中位线从而推出 MD

15、/ AB,又由于 BAC 90，故而md丄AC, MD丄HF,所以MD为线段HF的中垂线.所以 / 1= / 2.再由/ ADB+ / 1= / CDF+ / 2，则/ ADB= / CDF . 变式1:已知：如图所示，在 ABC中，AB=AC AM=CN AF丄BM于 E,交BC于F,连接NF. 求证：/ ADB玄 CDF. BM=AF+FN 思路：同上题的方法一和方法二一样 变式2 :其他条件不变，只是将 PB= PF+AF. BM 和FN分别延长交于点P,求证： PM=PN, 思路：同上题的方法一和方法二一样 类型五：手拉手模型 1. ABE和厶ACF均为等边三角形 结论：(1) . A

16、BFA AEC (2) .Z BOE=BAE=60 “八字模型证明”)(3) .OA平分Z EOF 拓展： 条件： ABC和厶CDE均为等边三角形 结论：(1 )、AD=BE ( 2)、Z ACB= Z AOB (3 )、 PCQ 为等边三角形 (4)、PQ/ AE (5)、AP=BQ (6)、CO 平分 Z AOE ( 7)、OA=OB+OC (8)、OE=OC+OD (7), (8)需构造等边三角形证明) 2.AABD和厶ACE均为等腰直角三角形 结论：(1 )、BE=CD ( 2)BE丄 CD 3.ABEF和ACHD均为正方形 结论：(1 )、BD丄 CF (2 )、BD=CF 例题解析 例1如图在直线 ABC的同一侧作两个等边三角形ABD与 BCE，连结AE与CD, 证明(1) ABE DBC (2) AE DC ( 3) AE与DC之间的夹角为60 (4) AGB DFB (5) EG