三角函数辅助角公式化简

1、三角函数辅助角公式化简 4.设函数f x 3cos2x sinxcosx 3 2 、解答题 2 2 1 .已知函数 f xsin x cos x , x R 3 (1 )求f x的对称中心; (1)求函数f x的最小正周期T及最大值; (2)讨论f x在区间一，上的单调性 3 4 2 .已知函数 f x4sinxcos x 3 (1 )将f x化简为f x As in x 的形式，并求f x最小正周期; (2)求函数f x的单调递增区间 nnn 5.已知函数 f x cos 2x2sin xsin x 344 (I )求函数f x的最小正周期和图象的对称轴方程; (2)求f x在区间 ,上的最

2、大值和最小值及取得最值时x的值. 4 6 (n )求函数f x在区间，-上的值域. 12 2 3 .已知函数 x4tanxsin x cos x 3 . 23 6.已知函数 , 3sinxcosx cos2x (1 )求f x的最小正周期; (2)求f x在区间 , 上的单调递增区间及最大值与最小值. (I )求函数f x的对称中心; (n)求f x在0,上的单调区间 (2) 的内角，,所对的边分别是，若，百，且歸疝的面积为离，求甘的值. (n)讨论f x在0,上的单调性。 7 .已知函数 f x 4cosxsin x1，求 6 (1 )求f x的最小正周期； (2)求函数f x的单调递增区间

3、 (3)求f x在区间 一，一 上的最大值和最小值 6 4 10 .已知函数:心：mm-A； (1) 求-的最小正周期； (2)若关于 的方程+ 1 = 0在X E o：上有两个不同的实根，求实数 2 的取值范围 8设函数f x sinx 、3cosx ?cos x 2 tanx 2 11.设 f x sinxcosx cos x 4 (1 )求f x的最小正周期; (1)求f x的单调递增区间; (2)讨论f x在区间 0,上的单调性 2 Al 锐角 ABC中，角代B,C的对边分别为a,b,c，若f 0 , a 1 , bc . 3，求b 2 c的值. 12.已知函数 nn7 = sinsi

4、njtcosx-siri sin x 36 9 .已知函数 f x 2,3sinxcosx 2cos2x 1， (1)求函数，的单调增区间; (I)求f x的最大值和对称中心坐标; 4n, 13.设函数 3 (1)求丨的最大值，并写出使取最大值时 的集合; (2)已知二耳忙中，角的边分别为，若厂；.1：求 的最小值 2 14.已知f x 1 . 3sin x cos x cos x，其中 2 0,若f x的最小正周期为4 (1)求函数f x的单调递增区间； (2)锐角三角形ABC中, 2a c cosB bcosC，求f A的取值范围 15.已知 a= (sinx, cosx), (cos.

5、2 sin) (| (2) (3) 18.已知函数，. (A 0,0,-)的部分图象如图所示 如何由函数 若U (1 )求函数卜弋詔在I订上的单调递增区间; (2) tt 7n3养 ，亠 且，求的值 19.已知 f x 2cosx sin x 、3sinx cosx sin2x , 6 20. 已知函数 f x cos x 3cosx cosx 2 (1 )求f x的最小正周期和最大值； 3 (2)讨论f X在 ，3上的单调性. 44 21. 已知 f x 2.3cos2x sin2x 3 1 x R，求: (1) f x的单调增区间； (2 )当x,时，求f X的值域. 4 4 /n.代 2

6、2.已知函数为偶函数，且函数乍-：卜图象的两相邻对称轴间的距离为 . (1 )求 的值； (2)函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不 |6 变，得到函数y -:的图象，求g 的单调递减区间. (1)求函数y f x的单调递增区间; uuv uuivL (2 )设厶ABC的内角A满足f A 2，而AB AC , 3，求边BC的最小值. z44 23. 已知函数 f x cos x sin2x sin x. (1) 求函数f x的递减区间； (2) 当x 0, 时，求函数f x的最小值以及取最小值时 x的值. 2 24. 已知函数 f x 2 3sin

7、xcosx 2sin2x 1. (1) 求函数f x的对称中心和单调递减区间； 1 (2) 若将函数f x图象上每一点的横坐标都缩短到原来的 -(纵坐标不变)，然后把所得图象向左平移 一个 2 6 单位长度，得到函数 g x的图象，求函数 g x的表达式. 参考答案 1.( 1)对称中心为 ,0 , k Z ； (2)增区间为 12 ，减区间为，一 6 436 上的增区间为 3，4 ,，减区间为一，一 6 436 2. (1) f X 2sin 2x ；(2) x Xmin x max 2. 【解析】试题分析：(1)由三角函数的公式化简可得 f x2sin 2x，由周期公式 3 可得答案；(2

8、)由x的范围可得2x 6 函数在该区间的单调性，可得最值及对应的 试题解析： 的范围，可得f (x)的范围，结合三角 3 3 x值. (1) f x 4sinx cosxcos sinxsin 33 G 2sinxcosx 2/3sin2x V3 【解析】试题分析：利用降幕公式和辅助角公式将已知函数解析式转化为正弦型函数，根据 正弦函数的性质来求对称中心 ，其对称中心能使函数值为 0,从而角的终边在x轴上；(2)首 先求出函数的单调区间，再根据自变量的取值范围来求落在给定范围上的的单调区间. 试 题 解 析： 1 ) 由 已 1 2x 2 f x 1 cos2x cos 3 3 si n2x

9、1 cos2x -sin 2x 2 2 4 4 2 6 令2x k ，得x k ,k Z ，对称中心为 k -,0 , k Z . 6 2 12 2 12 (2)令 2k 2x 2k k Z 2 6 2 得k x k k Z,增区间为 k ,k ,k Z 6 3 6 3 令2k 2x 2k 3 -,k Z 2 6 2 得k x k 5 k Z,增区间为 k 5 ,k ,k Z 36 3 6 sin2x 、3cos2x 2sin 2x 2 所以T 2. 2 （2）因为x 5 所以 一 2X2 4 6 6 33 1 所以 一 sin 2x 1，所以 1 f x 2， 2 3 当2x，即 36 X

10、时， 4 f X min1， 3 当2X 3 I，即X石时，f 乂“山2. 3. （1）（2） f X最大值为-2,最小值为1. 【解析】试题分析：（1）化简函数的解析式得 2sin 2x ，根据 T 3 周期；（2）先求出函数 X的单调递增区间，再求其与区间 的交集即可；根据 4 4 2x的取值范围确定函数在 3 试题解析： 上的最大值与最小值。 44 (1) x4ta nxcosxcos x 3 4sin xcos x 3 4sinx 1 cosx 2 . sinx 2 .3 2sinxcosx 2.3sin2x 3 sin 2x3 1 cos2x .3 sin2x 、3cos2x 2si

11、n 2X I 所以f x的最小正周期T （2 ）令 z 2x ，函数y 2sinz的单调递增区间是 2k - 2k ,k Z 3 2 2 由 一 2k2x 2k，得 kx k ， k Z . 2 3 2 12 12 设A , ， B x| k X 5 k ,k Z，易知A B 12,4 4 4 12 12 所以，当 x 4，4 时， f x在区间一，上单调递增。 12 4 x 4 4， 5 2x 6 36 1 . sin 2x - 1, 2 3 .1 2si n 2x 2 f X最大值为2,最小值为-1. 点睛：解题的关键是将函数化成 f(x) = Asin汁0)的形式后，把$看成一个整体去处

12、理， 特别是在求单调区间的时候，要注意复合函数单调性规律同增异减”，如果30,那么一 定先借助诱导公式将 3化为正数，防止把单调性弄错. 5 4. (1) T，最大值为 1 (2)k , k kZ 12 12 【解析】试题分析：(1)先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数形式， 再根据正弦函数性质求最小正周期T及最大值；(2 )根据正弦函数性质 列不等式 2k 2x 2k k Z，解得函数 f x的单调递增区间. 2 3 2 试题 解 析：解：f 、3 1 cos2x din2x 二 x 2 2 2 1 sin2x cos2x sin 2x 2 2 3 (1) T 当 2x2k

13、32 即xk k Z时 12 f x取最大值为1 (2 )令2k 2 2x2k k Z 32 f x的单调增区间为 5 12 k , k 12 5. (1)答案见解析； 【解析】试题分析： (1) 整理函数的解析式可得f xsin 2x舌,则函数的最小正周期为T ;对 称轴方程为x k k Z ； 3 (2) 结合函数的定义域和(1)中整理的函数的解析式可得函数的值域为-,1 . 2 试题解析： (1)Q f x cos 2x2sin x sin x 344 cos2x -sin2x sinx cosx si nx cosx 2 2 !cos2x sin2x 2 2 sin x cos x 2

14、 2 1 cos2x 辽 sin2x cos2x sin 2x 2 2 6 周期T 2 2 由2x k k Z ,得x k k Z 6 2 2 3 函数图象的对称轴方程为x k k Z 3 (2)Q x 2x - 5 12 2 6 3 6 因为f x sin 2x - -在区间 上单调递增，在区间 上单调递 6 12 3 3 2 减， 所以 当 x - 时， f x取最大值1 3 又 Q f f - 1 ，当x 时，f X取最小值 12 2 2 2 12 2 所以函数f x在区间 12 2 上的值域为 6. 袒1 ,k z, 试题分析 3sinxcosx cos x 1 sin 2x - 2

15、6 2x - 6 k 解得 x 即可（n） 求f x在 0, 上的单调 2k 2x - -2k -解得x,对k赋值得结果. 2 6 2 试题解析： 二 1 cos2x 1C, (I ) f x sin2x sin 2x1 2 2 2 6 令2x - k , 得x - k 6 2 12 故所求对称中心为 k ,1 ,k Z 2 12 (n)令 2k 2x - 2k ，解得kx k -,k Z 2 6 2 6 3 又由于x 0, ，所以x 0,- 5 3 6， 故所求单调区间为 0,- 5 3 6 , 点睛：三角函数的大题关键是对 f（x）的化间，主要是三角恒等变换的考查, y Asin wx 类

16、型, 把 wx+ 看成整体进行分析 区间， 化简成 7.( 1)T ；（2）单调递增区间为k -,k - ,k Z ；（3） 36 x miax 2. 【解析】试题分析：（1 ）由和差角公式及二倍角公式化简得: x 2sin x min 2x 1 , ，进而 得最小正周期； （2）由2k 2x 2k -,k Z可得增区间; 6 2 （3 ）由 X得 -2x - 2 2 ，根据正弦函数的图象可得最值. 64 6 6 3 试题解析: (1) Q f x 4cosxsin x 1 4cosx sinx -cosx 1 2 . 3sinxcosx 2cos2x 1 6 2 2 、3sin2x cos2

17、x 2si n 2x 6 . f x 的最小正周期 T. （2 ）由 2k 2x - 2k ,k Z 6 2 解得k x k ,k Z 3 6 函数 f x 的单调递增区间为 k -,k - ,k Z 36 Q - x 6 4 2x 3 2 2 一 2x 6 63 当2x 时， x f x min1 6 6 6， min 当2x 时，x f x i2. 6 2 6， miax 点睛：三角函数式的化简要遵循三看”原则 （1）一看 角”这是最重要的一环，通过看角之间的区别和联系，把角进行合理的拆分， 从而正确使用公式； （2） 而看 函数名称”看函数名称之间的差异，从而确定使用公式，常见的有切化弦

18、” （3） 三看 结构特征”，分析结构特征，可以帮助我们找到变形的方向，如遇到分式通分 等 (n) 递增区间：0,和 2 12 3 ;递减区间: 【解析】试题分析：(1)由正弦的倍角公式和降幕公式，f(x)可化简为f x2sin 2x , 6 可知最大值为 2,对称中心由2x k ，解得x可求。(2)先求得f(x)最大增区间与减 6 区间，再与 0, 做交，即可求得单调性。 试题解析：(I ) f x 2sin 2x ，所以最大值为2，由2x k ，解得 6 6 kk x=3兀,所以对称中心为：云k Z ； (n)先求 f(x)的单调增区 间， 由一2k 2x 2k ,k Z ,解 2 6 2

19、 k -k ,k Z，在 0, 上的增区间有 0,和 5 o 6 3 3 6 同理可求得 f(x)的单调减区间 k , k ,k Z , 在 0, 上的减速区间有 3 6 5 3 , 6. 递增区间： 5 0,和5 ;递减区间：一 5 36 3 6 10. (1) 丁 a ； ( 2)的取值范围为 * 1) u J 3 + 13) 【解析】试题分析： (1)由题意结合诱导公式和同角三角函数基本关系整理函数的解析式为： 2si n，结合三角函数的周期公式可知 T= n 原问题等价于结合函数的图象可得、或., 不等式可得a的取值范围为卜申號玄 试题解析： n (1) f(x)= 2cosxco$x

20、B )田 sin2x+ sinxcosx =1 cos2x+ sin xcosx-si*x+ sin xcosx =I cos2x+ sin2x =2sin , 二 T= n (2) - r：; : 一口- - n 0 厂I jC 画出函数在x力的图像，由图可知W3a-12 故a的取值范围为”界恥S 11. (1) k , k k Z (2) b c x 3 1 4 4 1 【解析】试题分析：(1 )由三角恒等变换化简得f x sin2 x丄 2 2k 2x 2k ,k Z可解得增区间(2)由f0得sinA , cosA 2 2 2 弦定理得、3bc b2 c21，即 3 2 bc = b c

21、 21即得b c (1 )由题意知 1 cos 2x si n2x2 x sin2x 1 sin2x .1 si n2x 2 f(x) = 求解 ,由 由余 试题解析： 由 2k 2x 2k , k Z可得 - -kx - -k ,k Z 2 2 4 4 所以函数 f x 的单调递增区间是一k , kk Z 4 4 (2 )由 f A 0得si nA 1 ,又A为锐角， 所以eosA 更 2 2 2 由余弦定 理得： eosA 口 222 = inxcosx - -sin x = -sin 2x + -| - 【解析】试题分析：(1 )由化一公式得222剳4 nn n -一 4 2kn 2x

22、+ - 4 2kn 26 2,得结果; (2) n 1r - S = - absiinC = j3 6 2 ,.=2总，再由余弦定理得2. 化简可得: (1 )由 得: (2) / 4 ，即 2 I 6 J 4 4 sin|2C + = l 可得 1 - s= sbsinc= pm 由余弦定理可得： x|x - kntk e 2 13. 6, (2)a最小值为1. 【解析】试题分析：（1）利用二倍角公式和两角和差公式将原式子化一; (2) f(e + q = - 2得 H 1 cos2A - -) = A = 32 ；由余弦定理得14最小为i ； 4nj4n f(x) = cos(2x ) +

23、 2cosx = (ooslxsin-11 sin2xsin一) (i)Fl 1 Qn os2x sin2x+ 1 = cos(2x+ ) +1 2 23 -的最大值为2. nn cos(2x + -) = lr2x + - = 2kn(k z) 31m 71 故笊的集合为 k I = kn - -Tk 12 6 要使取最大值 n3 n 1 f(BC) = cos(2 (BCl - +1 =- cos(2a- 2A + -)=- (2) 32 3 2 + (1 + cos2-6(-)f 2A - = ,A =. 33 3 ，只有 3 33 化简得 a =* ibccas- = (b + c)

24、- 3bc 3 在八竄中，由余弦定理, 点睛：(1)要求三角函数的最值, (2)巧妙利用三角函数值求得角 当：；：.L 1时等号成立，H最小为1. 就要化成，一次一角一函数的形式； A,再利余弦定理得边的关系，得到最值; 14. (1) 4k ,4k 3 3 ,k Z (2)子 f A 【解析】试题分析：(1) 先根据二倍角公式以及辅助角公式将函数化为基本三角函数: x sin 2 x , 6 再根据正弦函数周期性质求 ，并根据单调性性质求单调增区间 cosB 丄，即得 2 A的取值范围. (2)先根据正弦定理将边化为角，由诱导公式及两角和正弦公式化简得 B 3，根据锐角三角形得A取值范围，根

25、据正弦函数性质求 试题解析：(1) f x乜sin2 2 -cos2 2 sin 2 x 6 ，最小正周期为 2k 2k - 2 .1 sin x - 2 6 4k ,k 3 的单调递增区间为4k 3,4k ,k Z. (2) / 2a c coSB bcosC , 2sinA si nC cosB sinBcosC， 整理得: 2sinAcoSB sinA, cosB B , /锐角三角形ABC , 0 3 1 A 2 6 12 ,k Z ; ( n ) a - 15. ( I ) f (x) =sin (x+ ), 2k , 2k 36 【解析】试题分析：(1)利用向量的坐标运算得到 f(

26、x) n sin(x ),再由 f ( -x) =f (x) 可知函数f (X)的图象关于直线 角函数的性质求解单调区间即可; 71 x=对称，所以 n 丘+ = +kn,进而得到 TT ，利用三 (2)将f (x)的图象向右平移 单位得 g (x) = sinx, 即卩 sinx+1ax+cosx在 x 0, 3 T 上恒成立，利用数形结合分别研究h (x) =sinx-cosx和 (x) = ax1即可. 试题解析： /f (x) = ?-=sinxcos+osxsin= n (x+ ), 再由f ( -x) =f (x)可知函数f (x)的图象关于直线 n x=对称, Tl 71 + =

27、 +k n, k Z,又 | 71 /, 7C 3 = n n H 由 2k n- 0), _(X_丑” 则函数 f(x) =-?： =2cog +2、sin - ?cos =cos w x+1+ sin w x=2sin w x+ ) +1, T f (x)的最小正周期为n, n二.解得 w =2 7T f (x) =2sin (2x+) +1; 717171 (2)令-2 +2knW 2x+ 2 +2kn, k Z, 7T K 即一 +kx y = $in y =辛in(倾 +护人再E卅 F = Jsinfw 4, .r c /? 廉1Y成梵|粧毛捡個ai j itK i i 11卜g *

28、1 Hit束的A晴 5n (OH (m) 18. (1) 和 【解析】试题分析: 整理函数的解析式为 3.3-4 f(x) = sin(2x - 一) 6 利用正弦函数的单调性可得函数在氏e上的单调递增区间是 n 5TT (0H (一M 3和6 (2)由题意可得 试题解析： rt 4 cos(2a 5弓，则 n n 3j3- = sinK2a) + - = (2)amin- 4 2 3/3 1 2sin 2x 一 6 【解析】试题分析：利用和差角及二倍角公式对函数化简可得 2k:兀 71 ，解不等式可得 答案；(2)由 f A 2sin 2A - 6 及Ov Av n可得 2k n 6 n +

29、 71 T “卡，(k2) TT f (A)二二2*兀 故所求单调递增区间为 (2 )由 址鼠=月，即|bccosA=V3, a bc=2, 又 ABC 中 ， a=b + c_2bccosA=b + c V3tc2bcV3c=(2_V3)be 晅 n 5n5n 3n_ 20.n 12在河,12上单调递增；在12 ,4 上单调递减. 【解析】试题分析： (1)整理函数的解析式 x sin 2x3，则函数的最小正周期为 32 ，最大值为 5 结合中函数的解析式和三角函数的性质可得函数在 一， 上单调递增；在 4 12 5 3 12，4 上单调递减. ，利用向量数量积的定义可得，bc=2,利用余弦

30、定理可得可得又 ABC ，从而可求 a=b +c 2b c co s A= b + c n/3c 2bc_V3c=( 2V3)be 题解： yT f(I)=2cosx (_2sini+_2*;osx) + 73sin cosx-si n x 3siascosx+cosxsi nx/3sin2z+4os2x=2sin(2 试题解析： (1)f(x)= cosxs inx:cos2x =cosxs in x(1 + cos2x) 1 JI JI =sin2xcos2x , ft 晅 =sin(2xj ) / , 因此f(x)的最小正周期为n,最大值为 1 2 n 3nrt n 7n (2)当 x :，:时，！ 2. n n nnSri 易知当，；2 ,即时，f(x)单调递增, n n 7n 5n 3n 当2 ,即I, - -1 引为偶函数, 对:川叮.7厂 儿:恒成立, n 亠阳 * d 亠=2kn + r* 即： 市