02椭圆及其标准方程

1、椭圆及其标准方程 、教学目标 （一）知识教学点 使学生理解椭圆的定义，掌握椭圆的标准方程的推导及标准方程 （二）能力训练点 通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法 解决几何问题的能力 （三）学科渗透点 通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力 二、教材分析 1重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程 （解决办法：用模型演示椭圆，再给出椭圆的定义，最后加以强调；对椭圆 的标准方程单独列出加以比较 ） 2难点：椭圆的标准方程的推导 （解决办法：推导分 4 步完成，每步重点讲解，关键步骤加以补充说明 ） 3疑点：椭圆的定义中常数加以限制的原因 （解

2、决办法：分三种情况说明动点的轨迹 ） 三、活动设计 提问、演示、讲授、详细讲授、演板、分析讲解、学生口答 四、教学过程 （一）椭圆概念的引入 前面，大家学习了曲线的方程等概念，哪一位同学回答： 问题 1：什么叫做曲线的方程？求曲线方程的一般步骤是什么？其中哪几个 步骤必不可少？ 对上述问题学生的回答基本正确，否则，教师给予纠正.这样便于学生温故而知新, 在已有知识基础上去探求新知识. 问题2：当日0时，是同解方程吗? 当日0吋耳誥）二 J+ =二a* 提出这一问题以便说明标准方程推导中一个同解变形. 问题3:圆的几何特征是什么？你能否可类似地提出一些轨迹命题作广泛的 探索？ 一般学生能回答：“

3、平面内到一定点的距离为常数的点的轨迹是圆”.对同学提出的 轨迹命题如： “到两定点距离之和等于常数的点的轨迹 “到两定点距离平方差等于常数的点的轨迹 “到两定点距离之差等于常数的点的轨迹 教师要加以肯定，以鼓励同学们的探索精神. 比如说，若同学们提出了“到两定点距离之和等于常数的点的轨迹”，那么动点轨迹 是什么呢？这时教师示范引导学生绘图： 取一条一定长的细绳， 把它的两端固定在画图板上的F1和F2两点（如图2-13），当 绳长大于F1和F2的距离时，用铅笔尖把绳子拉紧，使笔尖在图板上慢慢移动， 就可以画出一个椭圆. 教师进一步追问：“椭圆，在哪些地方见过？ ”有的同学说：“立体几何中圆的直观

4、 图有的同学说：“人造卫星运行轨道”等 ” 在此基础上，引导学生概括椭圆的定义: 平面内到两定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的点的轨迹叫做椭 圆.这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做焦距. 学生开始只强调主要几何特征一一到两定点F1、F2的距离之和等于常数、教师在 演示中要从两个方面加以强调： (1)将穿有铅笔的细线拉到图板平面外， 得到的不是椭圆，而是椭球形，使学 生认识到需加限制条件：“在平面内”. 这里的常数有什么限制吗？教师边演示边提示学生注意：若常数=|F1F2| , 则是线段F1F2；若常数V |F1F2|，则轨迹不存在；若要轨迹是椭圆，还必须加上 限制条

5、件：“此常数大于|F1F2|”. (二) 椭圆标准方程的推导 1 .标准方程的推导 由椭圆的定义，可以知道它的基本几何特征，但对椭圆还具有哪些性质，我们还一无 所知，所以需要用坐标法先建立椭圆的方程. (1)建系设点；点的 如何建立椭圆的方程？根据求曲线方程的一般步骤，可分: 集合；(3)代数方程；(4)化简方程等步骤. 建系设点 建立坐标系应遵循简单和优化的原则，如使关键点的坐标、关键几何量(距离、直线 斜率等)的表达式简单化，注意充分利用图形的对称性，使学生认识到下列选取 方法是恰当的. 以两定点Fi、F2的直线为x轴，线段FiF2的垂直平分线为y轴，建立直角坐 标系(如图2-14).设|

6、FiF2|=2c(c 0) , M(x, y)为椭圆上任意一点，则有Fi(-1 , 0) , F2(c , 0). - M 图 -14 点的集合 由定义不难得出椭圆集合为: P=M|MF i|+|MF2|=2a . 代数方程 VIMFi|= J(x + c)2 +y2, I呱I =, 得方程 J 仗+ c)2+y2 + &好 +y2 =2a. 化简方程 化简方程可请一个反映比较快、书写比较规范的同学板演，其余同学在下面完成，教 师巡视，适当给予提示： 原方程要移项平方，否则化简相当复杂；注意两次平方的理由详见问题3说明.整 理后，再平方得（a2-c 2）x 2+a2y2=a2（a2-c2） 为

7、使方程对称和谐而引入b，同时b还有几何意义，下节课还要 2 2 讲.由2a2c可得JOO,令则得方程冷+存= a b (ab0). 关于证明所得的方程是椭圆方程，因教材中对此要求不高，可从略. 2 2 因此，方程qr +笃= l（at0）即为所求橢圆的标准方程，它表 a b 示的椭圆的焦点在 x轴上，焦点是 Fi（-c，0）、F2（c，0）.这里C2=a2-b2. 2 .两种标准方程的比较（引导学生归纳） 2 (l)r a 4爲 =表不焦点在蚌由上的椭圆，焦点是Ffc, b 0)、F2(c , 0)，这里 C2=a2-b2 ； 2 2 V討二l（ab 0）表示焦点在卅上的橢圆,焦点朗（0, -

8、C）、F2（0 , c），这里C2=a2+b2，只须将（1）方程的x、y互换即可得到. 教师指出：在两种标准方程中，/ a2 b2，.可以根据分母的大小来判定焦点在 哪一个坐标轴上. （三）例题与练习 例题平面内两定点的距离是8,写出到这两定点的距离的和是 10的点的 轨迹的方程. 分析：先根据题意判断轨迹，再建立直角坐标系，采用待定系数法得出轨迹方程. 解：这个轨迹是一个椭圆，两个定点是焦点，用F1、F2表示.取过点F1和F2的 直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系. 2a=10, 2c=8. 二a=5, c=4, b2=a2-c2=52-45=9.b=3 因此，这个椭

9、圆的标准方程是 i aa i 尹斧h即|+計】 请大家再想一想，焦点F1、F2放在y轴上，线段F1F2的垂直平分 23 线为婷也轨迹方程是什么形式呢？务+ +二 练习1 写出适合下列条件的椭圆的标准方程: a =4, C = 715,焦点在y?由上. 由学空口答，方程为L + 16 练习2 下列各组两个椭圆中，其焦点相同的是 /护 3 / 一 + = 1- + 4242 2 2 2 2 二 + j与 42 S 4 严蠶？ yd匕號2 b C*H= 1 与 T 42毕2 42，却+ m2 + m 由学生口答，答案为 D. （四）小结 1.定义：椭圆是平面内与两定点 F1、F2的距离的和等于常数（

10、大于|F1F2|） 的点的轨迹. 2.标推方程：4 + 4 = l(ab0)l!；4 + 4(ab0), -a b 图形如图2-15、2-16. 第9页共8页 焦点：Fi(-c , 0) , F2(c , 0) . Fi (0 , -c) , F2(O, c). 五、 布置作业 1.如图2-17，在椭圆上的点中，A1与焦点F1的距离最小，|AiFi|=2 , A Fi的距离最大，|A2F1|=14，求椭圆的标准方程. 2.求椭圆鼻+ *二1上一点M（24 4）与焦点的距离. 10 2_） 3 .求适合下列条件的椭圆的标准方程: （1）椭圆经过两点P（2広0）、Q（0,.点）； （2）长轴是短轴的m倍，椭圆经过点PG，0）； （3）焦点坐标是（-2/2, 0）和（2屈0）,并且经过点P（屈 -76). 4.己知椭圆訐+寻T依bQ）, Fp耳是它的焦点，AB 是过F1的直线被椭圆截得的线段长，求 ABF2的周长. 作业答案: 蠶2 b 1. +=