大学线性代数练习试题及答案

1、第一部分选择题（共28分）a11a12=m,a13a11a 21a22a23a21=n，、单项选择题（本大题共 14小题，每小题2分，共28分）在每小题列出的四个选项中只有 一个是符合题目要求的，请将其代码填在题后的括号内。错选或未选均无分。A. -6C. 24. 设A是方阵，如有矩阵关系式A. A =0C. A 0 时 B=C5. 已知3X4矩阵A的行向量组线性无关，则秩（A. 1C. 36. 设两个向量组A. 有不全为B. 有不全为C. 有不全为D. 有不全为s aa 1, 0的数入 0的数入 0的数入 0的数入a 2,1,1,1,1,入入入入2,2,2,2,a s ，入 ，入 ，入 ，入

2、B. 6D. -2AB=AC，则必有()B. B C 时 A=0D. |A|0 时 B=CAt )等于()B. 2D. 43 2,，3 s均线性相关，则()1 a 1+ 入 2 a 2+ 入 s a s=0 禾口入 1 3 1+入 2 3 2+ 入 s 3 s=0 (a 1+ 3 1) + 入 2 ( a 2+ 3 2)1- 3 1) + 入 2 ( a 2- 3 2)卩 1 , 2,和3 1,s使入s使入s使入s=0 禾口卩 1 3 1+ 卩 2 3 2+7. 设矩阵A的秩为r,则A中（ A.所有r- 1阶子式都不为0 C.至少有一个r阶子式不等于08. 设Ax=b是一非齐次线性方程组,A.

3、 n什n 2是Ax=O的一个解C. n1- n 2是Ax=0的一个解s和不全为0的数1 s 3 s=0）+ + 入 s ( a s+ 3 s) =0 + + 入 s ( a s- 3 s)=0s使入1 a 1+入2 a 2+入B.所有r- 1阶子式全为D.所有r阶子式都不为 n 2是其任意2个解，则下列结论 错误的是（）1B.-21n 1+ n 2是Ax=b的一个解2D.2 n 1- n 2 是 Ax=b 的一个解A. m+nB.-(m+n)C. n- mD. m-n10 02.设矩阵A =02 0，则A-1等于（）00 3-00310011A. 00B.00220 0110031c10000

4、231C. 0 10D.00130 000123123.设矩阵A =101 , A*是A的伴随矩阵，则A*中位于（1 , 2）的兀素是214等于（）1设行列式则行列式a13a23a11 a12a2ia 22A. 秩（A） nB.秩（A）=n- 1C.A=OD.方程组Ax=0只有零解10设A是一个n（3）阶方阵，下列陈述中正确的是（）A. 如存在数入和向量 a使A a =入a,则a是A的属于特征值入的特征向量B. 如存在数入和非零向量a,使（入E- A）a =0，则入是A的特征值C. A的2个不同的特征值可以有同一个特征向量D. 如入1,入2,入3是A的3个互不相同的特征值，a 1, a 2,

5、a 3依次是 A的属于入1,入2,入3的特征向量，贝U a 1, a 2, a 3有可能线性相关11. 设入o是矩阵A的特征方程的3重根，A的属于入o的线性无关的特征向量的个数为 k，则必 有（）B. k3C. k=3D. k312. 设A是正交矩阵，则下列结论错误的是（）A. |A|2必为1B.|A必为1C.A- 1=AtD.A的行（列）向量组是正交单位向量组13. 设A是实对称矩阵，C是实可逆矩阵，B=CtAC .则（）A. A与B相似B. A与B不等价C. A与B有相同的特征值D. A与B合同14.下列矩阵中是正定矩阵的为（)3423A.34B.26100111C.023D.120035

6、102第二部分非选择题（共72分）、填空题（本大题共 10小题，每小题2分，共20分）不写解答过程，将正确的答案写在每 小题的空格内。错填或不填均无分。1 1 115. 356925361 11 117. 设 A=(aij)32 2 2 (a11A21+a12A22+a13A23) +(a21A21 +a22A22+a23A 23) +(a31A 21+a32A22+a33A23)=.18. 设向量(2, -3, 5)与向量(-4, 6, a)线性相关，贝y a=.19. 设A是3x 4矩阵，其秩为3，若n 1, n 2为非齐次线性方程组 Ax=b的2个不同的解，则它 的通解为.16.设 A

7、=1 11 , B= 13 .则 A+2B=-4|A|=2 , Aj表示|A|中元素 aij的代数余子式（i,j=1,2,3 ）,则 、220. 设A是m x n矩阵，A的秩为r（n），则齐次线性方程组 Ax=0的一个基础解系中含有解的个 数为.21. 设向量a、3的长度依次为2和3，则向量a + B与a - 3的内积（a + 3 , a - 3 ）=.22. 设3阶矩阵A的行列式|A|=8，已知A有2个特征值-1和4,则另一特征值为_.0 10 623.设矩阵A= 133，已知a =2 10 821是它的一个特征向量，则a所对应的特征值为24.设实二次型f（X1,X2,X3,X4,X5）的秩

8、为4,正惯性指数为3，则其规范形为 三、计算题（本大题共7小题，每小题6分，共42分）20231231 .求(1) ABt ； (2) |4A|40 , B =2 4021125.设 A= 3126.试计算行列式31125 1342 0 1115 33427.设矩阵A= 12310，求矩阵B使其满足矩阵方程 AB=A+2B.2130130128.给定向量组a 1=, a 2=0a 3 =2a 4=243419123试判断a 4是否为a 1, a 2a 3的线性组合;#曰 若是,则求出组合系数。29.设矩阵A =33334求：(1)秩(A );（2） A的列向量组的一个最大线性无关组。030.设

9、矩阵A= 22 23 4的全部特征值为1 ,1和-8.求正交矩阵T和对角矩阵D，使T-1AT=D.31.试用配方法化下列二次型为标准形2 33X4X1X24X1X3 4X2X3,并写出所用的满秩线性变换。四、证明题（本大题共 2小题，每小题5分，共10分）32. 设方阵A满足A3=0 ,试证明E- A可逆，且（E- A） -1=E+A+A2.33. 设n 0是非齐次线性方程组 Ax=b的一个特解，E 1, E 2是其导出组 Ax=0的一个基础解系 试证明(1) n 1= n 0+E 1, n 2= n +E 2 均是 Ax=b 的解;(2) n 0, n 1, n 2线性无关。16.答案：一、

10、单项选择题（本大题共14 小题，每小题 2 分，共 28分）1.D2.B3.B4.D5.C6.D7.C8.A9.A10.B11.A 12.B13.D14.C二、填空题（本大题共 10空，每空2 分，共 20 分）15. 63 3 71 3 717. 418. -1019. n 1+c( n 2- n 1)(或 n 2+c( n 2- n 1), c 为任意常数20. n- r21. -522. t223. 1222224. z1 z2 z3 z4三、计算题(本大题共 7小题，每小题 6分，共 42分)120225.解(1) ABT= 3403121124086= 18 10 .3 102) |

11、4A |=43|A |=64|A |，而311251115134111312011001015335530511=1111550120|A|=3402.121所以 |4A|=64 (-2)=-12826.解5116262030 1040.27.解 AB =A+2B 即(A- 2E)2B=A2(A- 2E) -1= 1所以B=(A- 2E)-1A =12” 128.解一03302101490100531133011121201003181452814010031105210所以a解二考虑1+ a 2+ a 3,a 4=X1 a 1+X2 a 2+X3 a 3,4=2 a组合系数为2, 1, 1)

12、.的第1、2、4列是A的列向量组的一2x1 X2 3x30即 X1 3x212x2 2x343x1 4x2 x39.方程组有唯一解（2, 1, 1） T，组合系数为（2, 1, 1）29.解对矩阵A施行初等行变换1210200062A032820963212102121020328303283=B000620003100021700000（1 ）秩（B)=3,所以秩（A）=秩(B)=3.（2）由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而B是阶梯形，BB的列向量组的一个最大线性无关组，故A的第1、2、4列是个最大线性无关组。（A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30.解A的属于特征

13、值入=1的2个线性无关的特征向量为0) T，E 2= (2, 0,2、. 5/5经正交标准化，得n 1= .5/5 , n 2=2.5/154、5/155/322、5/52/32、15/151/3所求正交矩阵为T =.5/54.5/152/305/32/3100对角矩阵D= 010 .008入=-8的一个特征向量为11/3E 3= 2 ，经单位化得n 3= 2/32.5/52 J5/151/3（也可取T=0,5/32/3 .)5/54 5/152/331.解 f(X1 , X2, X3)= (X1+2X2- 2x3) 2- 2x*+4X2X3- 7x32=(X1+2X2- 2X3) 2- 2 ( X2-X3 ) 2- 5X32.y1 x12x22x3x1 y12y2设 y2x2x3,即X2y 2 y3，y3x3X3y3120因其系数矩阵C=011可逆，故此线性变换满秩。001经此变换即得f(x 1, x2,X3）的标准形y12- 2y22- 5y32 .四、证明题(本大题共 2 小题，每小题 5 分，共 10分)32.证由于( E- A )(E+A+A2)=E- A3=E， 所以 E- A 可逆，且 (E- A)-1= E+A+A2 .33.证由假设 A n o=b, A E 1=0, A E 2=0.(1) A n i=A ( n 0+ E 1)