N维向量的外积(参考仅供)

1、参考资料一_页眉页脚可删除若向量a叉乘向量b得c,由向量积的性质，c是一个垂直于a,b的向量，则1、若a,b是二维的，则（一般）不可能存在3个二维向量互相垂直2、 若a,b是四维或更高维的，则又至少有两个向量与a,b互相垂直对于1，c是不可定义的，对于 2，c得定义似乎是歧义的（?）Q0.所以，向量积只存在于三维向量中？其实想起这个事是想用向量积算面积的，于是有下面的问题：Q1.对于两个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这两向量所夹平行四边形的面积？或者类似于向量积，其结果是个向量而其模是面积？自然的，三维里面还有个混合积的东西，这东西在高数书里使用行列式定义的，三个三维向量算行列

2、式没问题，三个四维向量就bug 了于是有Q2.对于三个n维向量，是否存在一个关于坐标的运算，其结果是这三个向量所夹平行六面体的体积？类似的，可以发散成下面这个很泛化的问题Q3. n维空间中的m个向量可唯一确定一个 m维超立方体，如何通过这些向量的坐标计 算超立方体的体积？（显然不一定立方，但也不知道怎么称呼）假定你学过线性代数，不然没法讲向量积有很多名字，比如说叉积、外积。它的推广也有很多种。不过，要回答你这个问题， 我们还是用外积这个名字吧。为什么不用向量积这个名字呢？向量的模表示的是一个长度，两个向量的外积的模表示的却是一个面积。虽然我们习惯了， 但细想起来这还是有点不自然的。 而且，如果

3、把两个向量的 外积当作一个向量的话， 这个向量是依赖于坐标系的。 也就是说，它在坐标变换下不能保持 不变。这实在不是什么好的性质。从物理学的角度来看，它们的量纲也是不同的。也就是说，我们应该把它们区分开来看，把向量与向量的外积看成是不同的东西；至少看成是不同的空间中的向量。那么，应该把向量的外积看作是什么东西呢？考虑三维空间里的一组基L 二 二i，它们对应于3条坐标轴。两个向量的外积是一 个 面积向量”，于是可以想象，如果把全体 面积向量”组成的线性空间记作 丸（I的话， 丸丿的基底可以取成对应于 3个坐标平面（对，恰好也是 3个）。把这组基记为 - ： i I。这里用了这个符号，这是外代数里

4、表示外积的符号，叫做wedge，是楔子的意思，因此外积也叫楔积。参考资料一页眉页脚可删除-为了方便，我们还可以增加一些约定。由一个向量和它自己张成的平行四边形”（可以看成是退化的平行四边形）面积为0,于是可以约定:i 匕、忒*飞二一 1、丸汽沁 -E。另一方面，在考虑物理等实际问题的时候定向是很重要的，从正面看过去的面积”和从反面看过来的 面积可以看成是相反的，所以可以约定* 、说汽込L L傀尺明、1 =：这样一来，我们已经定义好了对于三个基底这个该怎么算。于是，很容易把这个双线性地延拓成一个就/ 】 A2（V）的运算。比如说，对于：- .和 I _，就等于（如 + a2e2 +旳砌）A （加

5、勺+ b2e2 +妇印）=a l 1 A （&1C1 + &262 + &33）+血巴2 A （11 + &22 + &3e3）+庄3旳 A （6161 + 他切 + t3e3）=（55）A （加5）+ （til） A （如內）+（55）A （3）+ （切切）A （frlCi） + （22）A （方2切）+ （血切）A （加总3）+（033）八 316）+（CI3C3） A （&2） + 3巳3）A （加3）=（ai&i ）ci A Ci + （ai&2）ei A 62 + （0163）1 A 匕3+ （&2丿1）切 A Ci + （血亦）亡2 A t-2 + （口2仿）卍2 A 3+ （収3

6、山1）叼A 61 + （収3加）砌A t-2 + （砌如）亡3 A 3=（ti2 ci/Jg A e2 + a2b3 - a3b2）e2 人切 + 3 -（ixb3）e3 A ex有没有发现这有结果看起来点熟悉?如果把最后的门八换成弧切A代换成门，5 A 口换成切，这就是我们熟悉的 向量积”了。但我们不换。参考资料-一页眉页脚可删除一对于面积，我们有了于是很自然地想到，对于体积，我们也应该有个i。-；| l而且，它的一组基是 I岂汽比 门花。也就是说， 是一个一维的向量空间。然后约定，对于，如果调换其中两项，得到的就是原来的乘以-1，比如说 A A 5 = t j A八5。这样，如果亡小 5人

7、5中有两项是一样的，比如说，那么调换这两项的次序，就有，于是它只能等于o。这样，和前面类似，我们就可以定义三个向量的外积了。经过验算（具体过程我就不写了） 就会发现：三个向量的外积就是我们熟悉的混合积，当然还要乘上一个_ O再看一遍前面的过程，就会发现三”这个维数在这里并没有起到什么特别的作用，顶多是使得的维数和恰好一样。于是，我们可以把这些东西推广到任意一个有限维的向量空间。也就是说，对一个 ，维的向量空间，取它的一组基 。这样，对I - lj,就可以取为由知已壮氏N灯 込 5 张成的向量空间（这个空间是1 -维的）。然后约定，对：勒 门 匸心、八 f （这里不要求|-），如果调换其中两项，

8、得到的东西等于原来的乘以-1。然后就可以像前面那样那样定义个，维向量的外积。然后，这个外积（在维空间中）的模就是你所问的那个 体积”了。特别地，在：；一门的时候，4是个 一维空间，个维向量正好可以排成一个的方阵，这些向量外积正好相当于这个矩阵的行列式（具体的我也不算了）。到目前为止已经回答了你的全部问题。不过，中两个向量取了一下外积就到了 里，中的东西再和中的东西取外积又到了里这样总有点不方便。于是我们可以把它们统一一下。我们把实数域当作一维的向量空间，就记作，约定它和其他东西的外积就等于数乘。然后把自己记作 。 然后取所有这些 直和 ，得到参考资料-一页眉页脚可删除上飞记作 。它也是个向量空

9、间。除了向量空间的结构，这个东西上面还有一个外积运算。我们把这个东西叫做外代数。前面都是先选了 上的一组基，然后才定义出这么一堆东西。 其实它们的定义也可以不依赖 于基的选取，不过要先讲张量什么的，我这里就不介绍了。外代数还有个叫 泛性质”的性质（这段看不懂就算了）：对任一个结合代数，（这里说的 结 合代数”指的是有某种形式的乘法”运算，而且这个运算满足结合律的向量空间， 下面就把这 个 乘法”记作.）和任何一个线性映射r 瓦,如果对中任一个元素 都有那么就有唯一的一个代数同态使得.，这里 是到的嵌入，也就是把 等同于中的那个-。当然，向量积还有别的一些推广，不过我不是很了解，就不说了。可以参考维基百科的 Cross Product词条。我这里只举