第四章大数定律与中心极限定理答案解析

1、第四章 大数定律与中心极限定理答案一、单项选择 1事件A发生.1.设（x）为标准正态分布函数，Xj i =1,2,，100，且i0,事件A不发生，100P（A） =0.8，X1,X2/ ,X100相互独立。令 .X，则由中心极限定理知 Y的分i 4布函数F （y）近似于（）（A）：.：（y）(B)(y 80)4(C)：.：(16y80)（D）：（4y80）答案:D、填空1.设X的期望和方差分别为和二2，则由切比雪夫不等式可估计-1D62-13262P(X )答案：一已知随机变量的均值卩=12,标准差（T =3,试用切比雪夫不等式估计落在6到18之间的概率为.与3到21之间解 由题意得，E =1

2、2,D =；2=32,由切比雪夫不等式得P6 乞乞18 = P _12 乞 642. 设随机变量X和Y的数学期望分别为一2和2，方差分别为1和4,而相关系数为一0.5,则根据切比雪夫不等式，有 P| X +Y忙兰.P6 乞18寸4. 已知随机变量的均值卩=12,标准差(T =3,试用切比雪夫不等式估计落 在3到21之间的概率为.解由题意得，E =12,D y2=32.由切比雪夫不等式得P3 _-21 =P -12 (-5T)二 G (02、：-0.2.n 2：(0.2 JR _ 0.9由此得：(02一 n) _0.95,查正态分布表得 0.2. n_ 1.645,. n_ 67.65, 因此取

3、n二68.6设某保险公司的老年人寿保险一年有10000人参加，每人每年交40元.若老人 死亡，公司付给家属2000元.设老人死亡率为0.017,试求保险公司在这次保险 中亏本的概率.解 设X为老人死亡人数，则X B(n, p),其中 n =10000, p =0.017由题意，得保险公司在这次保险中亏本当且仅当 2000 X 40 10000,即X - 200.由De Movire-Laplace中心极限定理，得保险公司亏本的概率P(X 200)_ p X - np 200 - np Jnp(1-p)Jnp(1-p)i( 100。临；(5017)=1 - ：(2.321) =0.0101720

4、010000 90177. 设某电话交换台的呼叫次数服从泊松分布且每秒钟平均被呼叫两次，试求在100秒内被呼叫次数在180至220次之间的概率.解 设第i秒钟内被呼叫的次数为Xi,i =1,21,100,由Xi为服从参数为2的泊松分布，且X1川l,X1oo独立同分布，100100有E(X/=2,D(Xi2/ Xi为100秒钟被呼叫的总次数，记X八 Xi ,i =1im则 EX = IOOEX1 = 200, DX =100DXi =200, DX = 10/2,由独立同分布的中心极限定理，得100P(180_ Xi 220)y100Z Xi 200_p180-200 第220 -200io 甩

5、一1oQ - 10血:：(1.41) -：(-1.41)-(1.41) -1 二 0.8414所以在100秒内被呼叫次数在180至220次之间的概率为0.8414.8. 抛掷一枚硬币，以表示n次抛掷中出现正面的次数，问要抛掷多少次，才 能以0.99的概率保证出现正面的频率与概率的偏差小于0.01 ?试分别用切比雪夫不等式及中心极限定理求出结果.解 设表示在n次抛掷中出现正面的次数，则 B(n, p),其中 p = 0.5,贝U E( ) = np = 0.5n, D( ) = np(1 - p)二 0.25n (1)由切比雪夫不等式得辽芒IP-旦 0.01 = P| Eq 0.01n n n0

6、.25 n2(0.01 n)-0.99D： -1 21 (0.01 n).n_ 0.25 10250000利用中心极限定理求解由De Movire-Laplace中心极限定理得，近似服从正态N(np, np(1 - p).即 N(0.5 n,0.25 n).所以，P_-c0.01 =P E E： 0.01n n n 0.01 n0.01 n、-P, J 0.99由此得（0!1）=（0 际2 ）0.9 95,查正态分布表得0.02 用_ 2.58, n_ 1292 =16641.9. 设某厂的金属加工车间有80台机床，它们的工作是相互独立的，设每台机床 的电动机都是2KW的，由于资料检修等原因，

7、每台机床平均只有 70%勺时间在工 作，试求要供应这个车间多少 KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电？解 设表示在80台机床中正在工作的机床台数，则 B(n, p),其中 n=80,p=0.7,则 E( ) = np=56, D()二 np(1-p)=16.8设应供应这个车间x KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电 由中心极限定理得，x戶 x-562 一56P J=P2-56_ ：（2 一）_0.9916.8-5622.3316.8解得 x131.1，因此至少应供应这个车间132 KW电才能以0.99的概率保证此车间生产用电10抽样检查产品质量时，如果发现次品多于10个，则认为

8、这批产品不能接受.应 该检查多少个产品，可使次品率为 10%勺一批产品不被接受的概率达到 0.9 ?解 设应该检查n个产品.设表示在被检查的n个产品中次品的个数，则 B(n,p),其中 p=0.1,则 E()二 np=0.1 n, D()二 np(1 - p) = 0.09n.由中 心极限定理得，疋t-0.1 n100.1 nP 10=P 3+ in yn y)lim P(丄乞-Z E、 zn-jpc n i二n i斗J=0=12 .试描述同分布的中心极限定理。并应用同分布的中心极限定理证明 De M o i v-rLea p l a 定理，即设n是n次贝努利试验中成功的次数，在每次试验 中成

9、功的概率为p(0 ： p : 1)，试证，对-x .二R，一致地有廿t2lim P(n二np 沁)二 X 1 e_2dtu.：npq二：.2 二解：定理(同分布的中心极限定理) 设随机变量I，打， 相互独立，服从 同一分布，且有E 1 1， D i =：;2 0，则标准化的随机变量之和1 nn二 、( - J)的分布函数Fn(X)，对-XR，一致地有 匚、，n i生x 1 eJI问下珂im：p( n沁)二2t2_2 dt 二 G(x)De Moivre-Laplace 定理的证明”1第i次试验成功0第i次试验不成功= 1,2,n, n-12n而 i B(1,p)，E i = p，D 由同分布中心极限定理可知，对-xR，二 p(1 - p)，且 1, 2,致地有打,相互独立,n瓦匚nPn _nmP(i/ 兰 X)二!jmP=pqp n i npqn npq沁)t2x 1J 2 e 2dt该定理表明，当n ；:时，二项分布以正态分布为极限分布。实际应用中，若随机变量；B( n,p)，只要n充分大，即有- N(n p, np q)，或二 N (0,1)， 亦pq即有近似计算公式P(a ：:： b)：(b二np)一 :严二np)j npq -npq试证明3 .设是连续型随机变量，且的方差存在，则对- ； 0 ,.禹DP（ -E - 0 -证是连续型随机变量，设其概率密度为f（X），则