导数与微分23(计算题及答案)

1、高等数学二、计算题(共200小题，)1、 设f (x) e3x，试直接利用导数定义求f (x)。2、设f(x) x3 2x，试用导数定义求 f (x)。13、 设f(X),试用导数定义求f (1).。x4、 设f (x) 2x，试直接利用导数定义求f(X)。x25、设f (x) e ,试利用导数定义求 f (x)。6、 设f (x) ln1 5x，试利用导数定义求f (x)。7、设f (x)在 X1处可导且1(1)8、设f (x)在 xa处可导且f (a)9、设f (x)在 X1处可导，且f (1)1。、已知f (x)在 X何导，且f(1)11、f (x)在X。处可导，且f(X。) a,b，求

2、极限lif(a m h)f (a 2hx)。:oh2，求极限f(1 lim 一2t)f(1)ox osi n3to，f (1)3,试求lim (xtanx e). 2Xosin x求极限lim nf (Xo1)f(Xo) n2n2，求极限 lim f(1 X)f(1 x)。x 0x12、设 f (x)在XXo处可导，求极限lim沁XX0Xo f(X)Xo13、已知f (Xo)5,求 lim 一x 0 f(XoX2x)f(XoX)14、设 f (X)(x)snx，其中(x)在xo处可导，且(o) o,求 lim f (x) (1 e )xx o15、设f2 2In(xa )x,x1,试确定常数a

3、,b使f(x)在x 1处可导.si nb(x 1),x1,16、设sin axf (x)2x,x0，试确定eb,x0常数a, b,使f (x)在x0处可导.17、试确定常数a,b的值,使函数cos3x , x 0, bex a, x 0,在x 0处可导.18、求 a,b的值，使f(x)2xe ，x 0在 ax b, x 0,0处可导.19、ax b x 0设f (x)确定a,b的值使f (x)在x 0处可导.ln(1 x) x 020、设f (x) ln(1 2x).试直接利用导数定义求f (x).21、设f (x) tanx .试直接利用导数定义求f (x).22、23、24、25、f (x

4、)(x)(x)设 f (x)cos3 x .试用导数定义求limex f(x t) f(x)t 0sin tlimx2 f(x 2t) f(x)t 0arcta n xxe 1x 0,x 0,f (x).且f (x)可导，求 (x)，其中f(x)二阶可导，求(x).(x)26、设f (x)21门x COS-, X 0,亠x求f (x).0, x 0,27、设 f(x)(a bx) (a bx)，其中(x)在(，)有定义且在x a可导,求f (0)的值.28、sin x x c设f (X)c为常数，试确定a,b的值,使f (x)在x c处可导axb x c29、2 xx,x0,设f (x)3 a

5、xbx2 cxd , x 1,试确定2 xx,1 x ,常数a,b,c, d值,使f (x)处为可导.30、axo求a,b之值，使f(x) e，x ， 在t 0点可微.b(1 x)2,x 031、g(x) cosx x 0设f (x)x 其中g(x)有连续的二阶导数，g(0)0, x 0,求a的值,使f (x)在x0处可导,并求f (x).32、设函数f (x)处可微,且有f (0)1,并对任意实数x和 y恒有f(xy) ex f (y)ey f(x).试求f (x).33、g(x) cos,x 0,且g(0) g (0)0,求f (0).f(x)x0 ,x 0.34、设(x)在x a点连续,

6、f (x)(x) ln(1 x a),试求 f (a).35、f(a 1)设f (a)存在，f(a)0试求lim,其中n为正整数。n 1f(a -)n36、设 f (x) g(x) (x)，其中 ,g(x)在点a可导， 且 g (a)(x)在点a的某邻域内连续A, g(a) 0.试求 f (a).37、设函数f (x)对任意x均满足f(1 x)2f (x),在0点可导且f(0) 1. f (0) c(c为已知常数).求f (1).xx 2,38、设y In 22 x ,求 y39、设 y sin x cosx tanx cotx cscx.求y40、设 y arcs in x thx, 求 y

7、 (x)41、设 y arctanx tanx secx. 求 y (x)42、设 y 3exchx secx. 求y (x).43、2设 y - xln x.求 y (x).x b44、设 y ln 3x arcsinx tanx.求y .45、设yxa ax (a 0,是常数).求y46、设ysi nx cosxax. (a 0, a 1)，求 y(x)47、设y2 arctanx cscx、x(a 0),求y .a48、COSXXX31 + si n x1 In xcotx.求y .ex (3 s in x)sinx In xtanxxln xJn4xt sint1 sinttcostc

8、ostcotx1 tanxx3shxtanx1肩，求y(x).求 y (x).cosxsinxln x，求y,求 y (t).求 y (t).cosxthx设49、设y50、设51、设52、设53、设54、设55、设56、设57、设58、设59、设60、设61、x设62、设63、设64、设y65、设66、设67、设68、设69、设70、设71、设72、设73、设74、设75、x xy-(a 0, b 0),求y xx (3t22t)log2t 求x (t).y 3x3 log10x tanx 求 y (x).ex sinx log 2x .求 y .y矿莎匕霸求y .y secx ln x .

9、 x 2x 求 y .y arctanxarccosx 2x 求y .y3x cscx arc cot x，求 y .y arccosx 2x ln x.求y .y cscx Inx arcsinx ax(a 0),求y (x).y axex ln(ax) tanx(a 0),求y .yIn x sin x ax (a 0).求y .1 xy (x 1)(2x3)(4x5)，求 y .yarctan x chx sin x 求 y .设76、设77、设78、设79、设80、设81、设82、设83、设84、设85、设86、设87、设ex tan xsin e.求 y .tanx3x2sin e.

10、tan xIn xx2 2xsecx arctane.求y .thxsinxln x1Flcos.求 y .3tanxln3 .sin3x 1,x2X ，求 y (x).(x21)ex.求y .ax b cx dex 求 y (x).1v x Jx，求y .1X，求 y1x x xx +y，求yx . xy axe x ch(3x) (a0)求y .88、设yash sin ，求y . aa89、设yth - cos5x，求 y .390、设yash-，求 y . a91、设ysin ex (3X)2 ch(3X).求 y .92、设ycsc(cot x),求 y .93、设ycsc(sec2

11、x)，求 f .94、设ysin2 cos2x. 求y .295、设y(x 1)3 (2x3)2 cosx.求 y .96、设yxe 2 sin2x,求y .97、设ytan(cosx)，求 y .98、设y(x2 x 2)2，求 y .99、设ye2x cos tan(3x).求 y .100、设ysin、3x cos tanx ，求 y . 5101、设x3sin(2t 1)，求 x (t).102、设y2( 3x cscx)，求 y .103、116、sin3x cos tanx1 1. x115、 x设 y/兀，求y . x .求y .5104、105、nsinnx sin106、e

12、x，求 y .107、1 sin x2ex.求y .1084(2x2)_3 2x _8x e .求 y .109、t2 tant.t sin (In t)，求 x (t).110、x sin 2tan(3x)，求 y .111、tanxcot - x112、,(2x)log 3xsinexeex，求 y (x).113、sin(ln x)sin x ecos，求 y .3114、，求y .3t1 21 t2tan(2t),求 y(t).设117、设118、设119、设y120、设121、设122、设123、设124、设125、设126、设127、设12 8、设129、1x x ay th si

13、n(x2) arctan . 2x, 求 y . x23x . 4xa b(a0, b 0)求y ln(x23)arcs in、x-，求 y .x3x ab2xarctgex(a 0,b0),求 y .yarctan(ax2 b).求 y .x sint sect2arcs in . t .求 x (t).y ln( 1 tanx),求 y ,y ln2(1 tan2 x)，求 y .设 y a x ln 1 x .(a 0),求y .130、设 yx2 in cos2 x.求 y(131、设 y in(tan2(3x).求 y .132、设 y cotx sinax(a 0常数),求y .1

14、33、设 y 23x in(2x).1 x2,求y .134、设 y in tan寸冃 e3x，求y .135、设 y in coshx，求 y .136、设 y in(in x) sec2 (2x).求 y .137、设 y in cos仮，求y .1383 设 y e in sinx,求y .139、设 y in3 x2，求 y .140、设 yin(2x) cos 3x arctan?，求y .141、设 y(3)2xtan厶 sine，求y .2 2142、设 y 10xtan2x，求 y (x).143、设 ysin2 - cos2x 2x，求y .144、In x设 y 3 求y

15、145、设 y ln(1 sh 设 y tan(xsh3x) th(2x).求 y .156、x)2arctane2，求 y .146、设 y In cos2 (tan 3x) chx cot(x 1)，求 y (x).147、设 y In cosex , 1 cosx csc3x,求 y .14 8、设 y In(x x2 a2) (a 0),求y .149、设 y lnjL*, 求 y .It x150、1设 y log 2(x设 y 2 sin(3t 1) cot(cost)，求 y (t).2x)sin ,求y (x).7 x151、设 y sh(e丄 ln(1 x2)，求 y .2x

16、153、2 xz x2x 1、2, x设 y sin2() tan ，求 y .x3154、1设y1、xcos1xsec2 x e155、157、设yVx 1 x2，求y .15 &设ycosh(sinh x) e3x，求 y (x).159、设y2 .cosx1 ,1 ntan 2，求y .2III2sin x 2160、设yIn ：1 sinxtanx e求 y (x).si nx161、设ysinCos2 x)cos(sin2 x)，求 y .162、设yx2$1仮e沁匚,求y .163、设yxcosxln (cos2x J1 cos4 x)，求y .164、设yln( e2x倍x 1)

17、x3x，求 y .165、设y(sinx)cosx 2tanx，求 y.166、设y(sin x)x csc(2x),求 y .167、设y(cosx)sinx secJ3x，求y .16 &设f (x)ex, g(x)si nxplplf(g(x)g f(x)求 dxdxg df(x) f ；g(x) dxdx169、设f (x)1 e ，讨论f (x)在x 0处的可导性并求f (x).170、181、182、184、asin xf (x) e,g(x),x 0.求dxfg(x)171、3ln xx 0,求函数的导数x (y).172、3x，求的函数的导数x (y).173、x3 *叫(亦x

18、卫求反函数的导数x(y)174、3x34ex,求反函数的导数x(y).175、3x2 1, x 0,求反函数的导数x(y).176、177、si nx3x ,23，求函数的导数x (y).2178、cosxx50，求函数的导数x (y),179、sinx cosx,180、11，求反函数的导数x(y).3x cosxlog2x(x 0),求反函数的导数x(y).ln2 COsx (0 x -)求反函数的导数x (y).2 cosx22设y 右,x 0，求反函数的导数x (y).184、rx设 y ,0 x 100,求反函数的导数x(y)x 100185、设y 口 ex求反函数的导数x(y).1

19、 x186、设y竺,x e求反函数的导数x(y).In x187、设y 1x2e x , 0 x 2，求反函数的导数x (y).18 &设y xne x (0 x n)，求反函数的导数x (y).189、设 y In(1 x) x chx (x 0)求反函数的导数x (y).190、设 y x In x, x 0,求反函数的导数x(y).191、设 yarctg 2x 1，求反函数的导数 x (y).3.3、3192、设y earcsinx，求反函数的导数x(y).193、2 2设x aln aJ,0 y a,求反函数的导数y (x).y194、1设y xx(x e),求反函数的导数x(y).

20、195、sin x设y 厂,0 x ,求反函数的导数x(y).2196、设 y arctan(x3 2) In J( x1)求反函数的导数 x(y).197、198199、(x)是 y arcsi n(2x)x (,0)的反函数,求(x).f (X)x,2x2x,求 f (1)及 f (1).1f(x)ln( 1 x),sin x,0求 f (x).017分x200、f(x)1xe x0,0求 f (0).高等数学二、计算题(共200小题，)1、f (x)limx 1f(x0x)x3(x x)3xf(x) , eelimx 0x5分lim3x /e (e3 x1) 3e3x10分x 0x2、f

21、(xx)f(x)(xx)32(xx) x3 2xlimlim6分x 0xx 0x3x2210分3、f (1)limf(1x)f(1)5分x 0x110分4、lim101f (x) lim -X 02X lim -0 X2Xl n25、f (X)lim0 22x . xe (elim0X2eX limX6、f (X)2XX)2In 2.e 1 limX 02X 1)c22x0lim32S0lim01 5x5 ln110分22x eX10分x)| ln|1 5x|5 X1 5x1 5x5 X51 5x7、10分原式 limX 0f(1X) f(1)Xf (1)f (1)10分（注：这样作:原式=2

22、 lim 卫0X) f (1 X)2x2lim f (1 x)X 04不给分）叫Hhf (a) 2f (a) 3b10分（注：令a h t，则a 2h t 3h.原式mo H h3b2t3tIm22/V2t2t31l1moH XX92ex/V f原2diImn1 - 2/V flim腐区)x Xo、1X rIL tnXo X fXegg1xo/Vf2n1Xof(X)XolimX Xo(X Xo)f(Xo)X XoX。f(x。) f(x)X Xo4分1x0/V-T2x0x0/V -T X1112f (Xo)f (Xo)f (Xo)5lim f (x)lim -(X)(0)x 0x 0X(0)(1

23、)12(0)14、si nx1 e2x10分6分11分15、首先 f(x)在x 1处连续2 2lim sinb(x 1) lim ln(x a )0x 1x 1得 In (a21)0 即 a o.2f (x) f (1).In x 0_又：limlim2x 1 x 1 x 1x 1f (x) f (1) sin b(x 1), limlimbx 1 x 1 x 1 x 1b 2 , a 0时 f (x)在x 1处可导.16、首先f (x)在x0处连续b)lim sin axx 0limf (x)f (0)limsin axax 0xx 0xf (x)f (0)e1limlim2x 0xx 0x

24、a2, b1,时f(x)在x0处可导17、limf(x)lim f (x)f(0)得a b 1x 0x 0limf(x)f(0)limcos3x1 0x 0xx 0xlimf(x)f(0)limbex a 1b(exx 0xx 0xx又0时f (x)在x 0处可导.1, ba9 b18、limx 0f(x)limx 0f(x)limx 0f(x)f(0)limx 0xlimx 0f (x)f (0)limx 0xf(0)得 b 1ax ax2x .10分3分8分10分4分10分3分6分2x9分10分3分a 2 , b 1,时f (x)在x 0处可导19、首先连续 lim f(x) limf(x

25、) f (0)8分10分x 0x 020、In 12(xx) ln(12x)f (x)limx 0x2 xln1 -1 2xlimx 0x1 2x22 x2 x2limln 1x 0 12x1 2x12x21、f (x)tan (x limx)tanxx 0x10分得b 0在x0可导：f (x) limf(0)limaxax 0xx 0xlimf(x) f(0)limln(1x) 1x 0xx 0xa 1, b 0时f (x)在x 0处可导.sinx 3cos x10分1 tan x tan x , limtan xx 0 x 1 tan x tan xsec tan2 x tan x ,2l

26、im1 tan x x 01 tan x tan x x x10 分22、33、cos (x x) cos xf (x)lim0-x 07cos(x x) cosx 2limcos2 (xx)x 04分cos(x x) cosx cos2 x23、f(X t) f(x) tx(x) limet 0tsintf (x) ex6分10分24、(x) 2x2f(x)(x) 4xf (x)22x f (x)25、0 时 f（X）11x20时f (x)f(x) f(0)0处：limX 0 xlim f (x)f(0)0xf (0) 1limx 0arctgx limx 0ex 1 1(x)11 x2，x

27、e26、(x)(0)0,0.2xcos-xlim他x 0f (x)c12xcosx0moH Xfbxbx.1sinxf(0)x2xim)1cosXx.isinxmoH Xbx2bbx28、首先在x c处连续10分4分10分3分8分10分1lim sin x lim( ax b) sin cx cx c4 分得 ac b sin c在x c处可导si nx sinelimcoscx cx cax limbsinc limaxb ac bax cx c:x cx ca cosc, bsinc ccosc时f (x)在xc处可导10分29、在x0,0x 1, x1这三个区间上f(x)显然处于可导.在

28、x0点可导,则lim f(x) f(0) lim2 xx 1x 0xx 0xlimf(x)f() lim3 axbx2 cxd 1x 0xx 0x得c1, d 0在x1处可导，贝V5分.f(x) limf (1)2lim x1x 1x1x 1 x1.f(x) limf(1)3iax lim 一bx2 cx d1x 1x1x 1x1则必有lim (ax3x 12bx x)ab 103iax limbx2lim2 axbx 1 lim 2ax b 2a b 1x 1x 1x 1x:1 x1 1得 a 2, b 3.a 2, b 3, c 1, d0,时f (x)处于可导.10 分30、首先在x 0

29、处连续lim b(1 x)2 lim eax 1x 0x 0在x 0处可导：ft(O)f (0)limS 1X 0 xax.e 1limx 02, b31、首先f (x)在xlim f (x)x 0f(0)a,limx 01,时,f (x)在x0时处连续lim g(x) cosxx 0g (0)0处可导:f(0).f (x) limx 0 xg(x) cosx limx 00x20时可导10分limg(x) sinx g(0)x 0g(x) COsx g(0)xg (0)xxlim g (x) sinx g (0)x 02x12g(0)(x)x g (x)sin xg(x) cosx32、首先

30、 f (0 0) f (0)limx 0f(x X)f(x)xlimx 0Xe10分f (0)得f(0)0 .ex f( x) f (0)XmoH X0)xxlim e f( x) e f(x) f(x)x 0XeXj(x)x1moH X010分5分8分10分原式1f (a )n11f(a ) f(a )nn1 1f(a )f(a 1) f (a 2)nnnnf(a -)f(annf (a-)nlim 1g(x) g(0)1 门limcos 0x 0 xx34、|im f(x) f(a) |m (x)ln(1 x a x a x a x a x a(a)f (a)(a)35、39、f(a -：

31、1)f(a )f (a1)f(a)1 f(a )f (a)又：limnnlim n1 nn1n11nnn2f (a)2f (a)8分原式ef(a)10分36、f (x) limf (a)lim g(x) (x)05分x axax ax a(x) g(x)g(a)“、g (a) A(a)10分lim(a)x ax a、37f21f21f时Omo H X 2叫z6/V f叫2f (0) 2c10分38、y ln2 2x l n2 2x10分cosx sin x sce2x csc2 x cscxcot x10分40、x21ch2x10分41、1x22sec xsecx ta nx10分42、3ex

32、(shxchx)secxta n x10分43、!x (1Inx)10分44、In 345、aax46、cosx47、48、49、.12sec x10分a x lnIn10分sin xsin x(xxa ln a. (a1) 10分cscx cotxxx3) cosx(1 3x2)/32(x x )1cosx(1 ln x) (1 sin x)x(1 ln x)23ex(cosx sinx)xln x12 x(a 0)csc2 x10分10分10分10分50、51、1 x(cosx ) sin x In x10分x2x61、10分52、sec2 x355 sin xxcosx sinx2x10

33、分53、1 lnlnx xex10分54、(3xx2)l n4 (3x| n32x)l n4x55、x 2 . 2(3 x )10分y (t)56、10分(1 sin t)(tcost si nt) tsi nt cost2(1 sint)t cost si nt si nt(1sin t)2(157、10分cost)(cost tsint) t cost s int(1 cost)22cost cos t tsint(1 cost)210分2 2csc x(1 tanx) (1 cot x) sec x58、3x2 shx x3chxsh2x10分59、xsec2 x tan xex(cos

34、x sinx)1ch2x10分(xsin x)ax ln aax(1 cosx)(x sin x)263、73、x(axlna bx lnb) ax bxx210分62、(6t(3t22t)梟10分63、9x2xlnlO2 sec10分64、ex(s inx cosx)xl n210分65、sec2 x ch tan x)2(shx3x ln3x l n 310分66、secx1 x x secx tan x ln x 22. x ln 22x10分67、12 x1 x23xcscxln3 3x12x1x2xcscxcot x ln(ae)x(1ln a)1sin x(1x)2x1168、cs

35、cxcotxy69、2xln x ln2y70、cscxyx71、1yx72、cosx ln xy2 sec xx2 ln 210分a 0.x ln aax ln a10分10分10分10分10分y (2x3)(4x 5)2(x1)(4x 5)4( x 1)(2x 3)10分74、cosx shx sinx10分75、(1x)(ex sec x ex tan x) ex tanx(1 x)276、2x(1 x)sec x (2 x) tanx e(1 x)210分2 sec6x10分84、10分77、2 secIn xtan xx2x 2 secx x2x ln 2secx10分x2secxt

36、anx78、1 ln x2x(110分79、1ch2x2sec x10分80、xcosx10分si nx2 x81、x1212x3210分82、3(x2(x123帖10分a(cxd) c(ax b) (cx d )2ad cb(cx d )286、1i丄(3x3 r2)(3x 一 x)210分85、1.x(1, x)286、(x x)(1-) (x x x)(1 )2jx2jxy 2(x v x)10分87、(x .x)(.x 1) (x 、.x)(2,x 1)2iX(x x)2 x(x x)210分10分3sh(3x)x2.ce In a 2x2x xa 3sh(3x)88、chxsi nx

37、 a a,x x shcos a a10分89、5si n5x90、91、ch2 x3chxa9x2xe coseYYY18x sine3 sh(3 )ln310分10分10分10分92、2y csc(cot x) cot(cot x) csc x94、105、cosx10分106、10分94、y.x sin2x cos2cos2x2sin2 sin2x295、y3(x1)2(2x3)23cosx 4(x 1) (2x 3) cosxy 2csc(sec2x) cot(sec2x) sec2x tan2x(x 1)3(2x 3)2 sinx96、10分10分(2cosxsin 2x)e210分97、y sin x sec2 (cosx)10分98、yj(x2 x 2)12 (2x 1)99、10分2x 12y e(2tan(3x) 3sec (3x)10分100、3cos3x 1 x22sin 2x sec (x )5510分101、x