导数的综合大题及其分类

1、共享知识分享快乐导数的综合应用是历年高考必考的热点，试题难度较大，多以压轴题形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根(或函数的零点)；利用导数研究恒成立问题等体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用 .题型一利用导数研究函数的单调性、极值与最值题型概览：函数单调性和极值、最值综合问题的突破难点是分类讨论.(1) 单调性讨论策略：单调性的讨论是以导数等于零的点为分界点，把函数定义域分段，在各段上讨论导数的符号，在不能确定导数等于零 的点的相对位置时，还需要对导数等于零的点的位置关系进行讨论.(2) 极值讨论策

2、略：极值的讨论是以单调性的讨论为基础，根据函数的单调性确定函数的极值点.(3) 最值讨论策略：图象连续的函数在闭区间上最值的讨论，是以函数在该区间上的极值和区间端点的函数值进行比较为标准进行的，在 极值和区间端点函数值中最大的为最大值，最小的为最小值.1已知函数 f(x) = x -，g(x)= alnx(a R). X(1)当a 2时，求F(x)= f(x) g(x)的单调区间；设h(x) = f(x) + g(x)，且h(x)有两个极值点为他，其中 0, 1 ，求h(xj h(X2)的最小值.审题程序第步：在定义域内，依据F (x) 0根的情况对F (x)的符号讨论;第二步：整合讨论结果，

3、确定单调区间；第三步：建立捲、X2及a间的关系及取值范围；第四步：通过代换转化为关于X1(或X2)的函数，求出最小值.1当a2时,A0，设F (x) = 0的两根为X1 =X2 =a+、a2 4规范解答(1)由题意得F(x) = xx alnx， 入22卑微如蝼蚁、坚强似大象共享知识分享快乐 F(x)的单调递增区间为aa2 40, 2F(x)的单调递减区间为Ja2 42a -4a+S ,a+寸a2 4 .2 ， 2 -综上，当一2a2时，F(x)的单调递增区间为0, 2F(x)的单调递减区间为Ja 42+a -4a+S ,1对 h(x) = x - + alnx, x (0,+)x21 a x

4、 + ax+ 1求导得，h (x) = 1+ x + x=x2设 h (x) = 0 的两根分别为 X1 , x2,则有 X1 x2= 1 , X1 + x2= a, x2=x，从而有 a= x1 x；令 H(x)= h(x) h j1=x+x一x - xnx-卜 x+l x1 1x lnxx xnx+ X-1当 x 0,H (x)0 时需根据方程x2 - ax + 1 = 0的根的情况求出不等式的解集，故以判别式“ ”的取值作为分类讨论的依据.在 中求出h(x。一 h(xj的最小值，需先求出其解析式.由题可知xi, X2是h (x)= 0的两根，可得到 x1x2 = 1, x1 + x2=-

5、 a,从而将h(x1)- h(x2)只用一个变量 x1导出.从而得到 H(x1) =hg)-h-，这样将所求问题转化为研究新函数H(x)= h(x)- h1在0, 1上的最值问题，体现凶丿ix丿i2丿转为与化归数学思想.答题模板解决这类问题的答题模板如下:求定义域一求出函数的定义域.求导数一准确求出函数的导数.|根据参数的取值范围，结合极值点与讨论2调性| 给定区间的位置对导函数的符号进行分类讨论，确定函数的单调性.讨论扱值最僵根据函数的单调性，确定极值、最值 的取得情况.整合结论根据分类讨论的结果，对结论进行整 合，做到不重不漏.题型专练1.设函数 f(x) = (1+ x)2 2ln(1

6、+ x).(1)求f(x)的单调区间；当0a0，得 x0;由 f (x)0，得一1x 1),则g(x)= 2 a22 axa1+ x_1+ x-0a0,令 g (x)= 0,得 x = 一，函数g(x)在0,上为减函数，在 2葺，+上为增函数.a3 当0严V3，即0a3,即a2时，g(x)在区间0,3上为减函数,2 a2 - g(x)min = g(3) = 6 - 3a 2ln4-32综上所述，当 0a3时，g(x)min = a 2ln2a；3t当 2w a2 时，g(x)min = 6 3a 2ln4.北京卷(19)(本小题13分)已知函数 f (x) =excosx-x.(1) 求曲线

7、y= f (x)在点(0, f ( 0)处的切线方程；(n)求函数f(x)在区间0 , n上的最大值和最小值.2(19)(共 13 分)解：(I)因为 f (x) =excosxx，所以 f (x)=ex(cosxsi n x)-1, f (0) =0 .又因为f (0) =1，所以曲线y二f (x)在点(0, f (0)处的切线方程为y = 1.(n)设 h(x)二 ex(cosx -sin x) -1，贝U h (x)二 ex(cosx -sin x -sin x - cosx) - -2exsin x.当 x(0, n)时，h(x)c0 ,2冗所以h(x)在区间0, 上单调递减.所以对任

8、意 X (0,有 h(x) : h(0) =0，即 f (x) 1时，g x 0, g x单调递增.所以x=1是g x的极小值点，故xg x _ g 1 =0综上，a=1(2)由(1) 知 fx = x2- x-x ln x, f ( x) = 2x - 2 - In x1当 x |0,_ 时,I 21In x,则 h ( x)二 2 一x立0 ,所以 h (x )在.(又he- 0, hv0, h 1 =0,所以h x在j 0,1有唯一零点xo,在-,：有唯一零点1,且当x0, x0时，h单调递增x 0 ；当 x x,1 时,h x v 0，当 x 三1,+ ：时，h x 0因为f x二h

9、x，所以X=xo是f(x)的唯一极大值点由 f Xo= 0得 In Xo = 2Xo - 1),故f Xo =Xo(1 Xo)1由 Xo 0,1 得 f x v 4因为x=xo是f(x)在(0,1 )的最大值点，由e三0,1 ,f e1 - 0得f Xo f e v e -所以 e2v f Xo v 2-2题型二利用导数研究方程的根、函数的零点或图象交点题型概览：研究方程根、函数零点或图象交点的情况，可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等，根据题目要求，画出函数图象的走势规律，标明函数极(最)值的位置，通过数形结合的思想去分析问题，可以使问题的求解有一个清晰、直观的整体展现.

10、典例塞已知函数f(x)= (x+ a)ex，其中e是自然对数的底数，a R.(1)求函数f(x)的单调区间；当a1时，试确定函数g(x) = f(x-a) x2的零点个数，并说明理由. 审题程序 第一步：利用导数求函数的单调区间；第二步：简化g(x)二0,构造新函数；第三步：求新函数的单调性及最值；第四步：确定结果.规范解答(1)因为 f(x) = (x+ a)ex，x R， 所以 f (x) = (x+ a+ 1)ex.令 f (x) = 0，得 x= a 1.当x变化时，f(x)和f (x)的变化情况如下：x(X，a 1)a 1(a 1，+ x )f (x)0+f(x)故f(x)的单调递减

11、区间为(一X， a 1)，单调递增区间为(一a 1，+ ). (2)结论：函数g(x)有且仅有一个零点.理由如下：由 g(x) = f(x a) x2= 0，得方程 xeTa= x2，显然x= 0为此方程的一个实数解，所以x= 0是函数g(x)的一个零点.当xm0时，方程可化简为ex a= x.设函数 F(x)= exa x，则 F (x)= ex a 1，令 F (x) = 0，得 x= a.当x变化时，F(x)和F (x)的变化情况如下:x(X，a)a(a，+x)F (x)0+F(x)即F(x)的单调递增区间为(a，+x)，单调递减区间为(一x，a).所以 F(x)的最小值 F(x)min

12、 = F(a) = 1 a. 因为 a0, 所以对于任意x R, F(x)0, 因此方程ex a = x无实数解.所以当XM 0时，函数g(x)不存在零点. 综上，函数g(x)有且仅有一个零点.典例321. (12 分)已知函数 f (x) =ax3-ax-x In x,且 f(x)_O.(1 )求 a;(2)证明：f (x)存在唯一的极大值点 x0，且e，： f(xo) ：2二21.解：(1) f x的定义域为 0,+ ： 设 g x = ax - a - I nx，贝y f x = xg x , f x - 0 等价于 g x _ 01因为 g 1 =0, g x - 0,故g 1 =0,

13、而g x 二 a , g 1 =a -1,得a 二 11-ln x,则 h ( x) = 2 -xA )(心-，+闵|时，h (x )0 ,所以h(x )在0,-单调递减，在 -,I2丿 I 2丿-又h e 2 0, h I1 v0, h 1= 0 ,所以h x在0,1有唯一零点X。，在 f 丿 ，、，J 2 丿设 h x =2x -2h x v0;当 x单调递增1 ,+ ；：有唯一零点1,且当x三0, x0时，h x 0 ;当xx,1 时,xh x v 0，当 x 三1,+ ：时，h x 0 .因为f x = h x，所以x=X0是f(x)的唯一极大值点由 f x= 0得 In x =2x

14、- 1),故f x =x(1 x)共享知识分享快乐由 X。三0,1 得 f X。v 4因为x=X0是f(x)在(0,1 )的最大值点，由e丄.0,1 ,f e丄=0得1 2f X。f所以 e v f x0 v 2-2解题反思在本例(1)中求f(x)的单调区间的关键是准确求出f (x)，注意到ex0即可.(2)中由g(x) = 0得xeX_a = x2,解此方程易将x约去，从而产生丢解情况研究exa=x的解转化为研究函数 F(x) = exa x的最值，从而确定 F(x)零点，这种通过构造函数、研究函数的最值从而确定函数零点的题型是高考中热点题型，要熟练掌握.答题模板解决这类问题的答题模板如下:

15、1等价转化把函数的零点、方程的根、两函数图象的 交点问题相互转化.构造新的函数解决函数零点、方程根、两 函数图象交点问题.构造函数利用导数研究新函数的单调性、极值和最 值等性质，有时可画出函数图象.解决问题得出结论利用极值和最值,结合图象得出结果.题型专练2. (2017浙江金华期中)已知函数f(x) = ax3 + bx2 + (c 3a 2b)x+ d的图象如图所示.求c, d的值；若函数f(x)在x= 2处的切线方程为3x+ y 11= 0,求函数f(x)的解析式； , . 1 , . 、. 一 在的条件下，函数y= f(x)与y=f (x) + 5x+ m的图象有三个不同的交点，求m的

16、取值范围.解函数 f(x)的导函数为 f (x) = 3ax2 + 2bx+ c 3a 2b.由图可知函数f(x)的图象过点(0,3)，且f (1)= 0,”d= 3,d = 3,得，解得1Qa+ 2b + c 3a 2b = 0,lc= 0.32(2) 由 得，f(x) = ax + bx - (3a + 2b)x+ 3,所以 f (x)= 3ax2 + 2bx-(3a + 2b).由函数f(x)在x= 2处的切线方程为3x+ y- 11= 0,得f2尸 5，(2 尸-3，”8a + 4b 6a 4b+ 3 = 5,a= 1,所以解得k12a + 4b 3a 2b = 3,.b= 6,所以

17、f(x) = x3 6x2+ 9x+ 3.由知 f(x)= x3 6x2 + 9x + 3,所以 f (x) = 3x2 12x+ 9.1函数y = f(x)与y = f (x) + 5x + m的图象有三个不同的交点， 等价于x3 6x2 + 9x+ 3= (x2 4x+ 3) + 5x+ m有三个不等实根, 等价于g(x) = x3 7x2 + 8x m的图象与x轴有三个交点.因为 g (x) = 3x2 14x+ 8= (3x 2)(x 4),x(2、I , 3丿23(3 J4(4,+o )g (x)+00+g(x)极大值极小值g 3 = 27 m, g(4) = 16 m,i2 = 6

18、8 m0/、当且仅当 严厂27 m , 时，g(x)图象与x轴有三个交点，解得16m|8. 所以m的取值范围为(16,雰 4(4 = 16 m021. (12 分)已知函数(x) =ae2x+(a-2) e x - x.(1)讨论f (x)的单调性；(2)若f (x)有两个零点，求a的取值范围卑微如蝼蚁、坚强似大象21.解：(1) f (x)的定义域为(：，=),f (x) =2ae2x (a-2)ex-1 = (aex-1)(2ex 1),(十字相乘法)(1) 若a空0，贝U f (x) :：: 0 ,所以f(x)在(：，：)单调递减(ii)若 a 0，则由 f(X)=0得 X 二 -1 n

19、a.当 x .= (-：, _ln a)时，f (x) : 0 ;当 x .= ( _ln a, ：)时，f (x) . 0 ,所以 f (x)在(-：,- In a)单调递减，在(_ In a, ：)单调递增(2) (i)若a乞0，由(1)知，f (x)至多有一个零点1(ii)若a 0，由(1 )知，当x = -l na时，f (x)取得最小值，最小值为f(_| na)=1 Ina.(观察特殊值1)a 当a =1时，由于f(-ln a) =0，故f(x)只有一个零点；1 当a时，由于1 ln a 0，即卩f (-l n a) 0，故f (x)没有零点；a1 当 a (0,1)时，1 ln a

20、 ： 0，即卩 f (一 ln a) ： 0 a_4_2_2又 f (-2) =ae (a -2)e2 -2e20，故f (x)在(：，-l na)有一个零点.设正整数 n0满足 n0 ln(1)，则 f (n0)= en0(aen a - 2) - n0 e - n0 2n0 - n00 .a3 由于ln( 1)_ln a，因此f (x)在(-ln a,=)有一个零点.a综上，a的取值范围为(0,1).题型三 利用导数证明不等式题型概览：证明f(x)vg(x), x (a, b)，可以直接构造函数F(x) = f(x) g(x)，如果F (x)0，则F(x)在(a, b)上是减函数, 同时若

21、F(a) 0，由减函数的定义可知，x (a, b)时，有F(x)0 ,即证明了 f(x)2(x lnx).审题程序第一步：求f (x)，写出在点P处的切线方程;第二步：直接构造g(x) = f(x) 2(x lnx),利用导数证明g(x)min0.xO, f=，又切点为2,exex x 一 ex规范解答(1)因为f(x)=，所以f (x) =x2=x2，所以切线方e2 e2程为 y2= 4(x 2)，即 e2x 4y = 0.x (0,+),ex证明：设函数 g(x) = f(x) 2(x Inx) = 2x+ 2lnx, x则 g (x)=曽-2 + & 4于一 1 , x (0,+).设

22、h(x) = ex 2x, x (0,+),则 h (x)= e 2,令 h (x) = 0,贝S x= In2.当 x (0, In2)时，h (x)0.所以 h(x)min = h(ln2) = 2 2ln20，故 h(x)= ex 2x0.ex 2x x 1令 g (x)=*= 0,则 x= 1.当 x (0,1)时，g (x)0.所以 g(x)min = g(1) = e 20,故 g(x) = f(x) 2(x lnx)0，从而有 f(x)2(x lnx).解题反思本例中(2)的证明方法是最常见的不等式证明方法之一，通过合理地构造新函数g(x).求 g(x)的最值来完成.在求g(x)

23、的最值过程中，需要探讨g (x)的正负，而此时g (x)的式子中有一项ex 2x的符号 不易确定，这时可以单独拿出 3 2x这一项，再重新构造新函数 h(x) = ex 2x(x0)，考虑h(x)的正负问题，此题看似简单，且不含任何参数，但需要两次构造函数求最值，同时在（2）中定义域也是易忽视的一个方向.答题模板解决这类问题的答题模板如下：合理转化把不等式问题直接转化为函数的最值问题.r把不等式进行等价转化，构造新的函数.1构造函数有时要变形,切记变形的依据是能够通过r导数研究函数的单调性和最值.判断单调*-利用导数研究新函数的单调性.J确定最值由函数的单调性.确定新函数的最值.J1得出结论利

24、用新函数的极值或最值，得出结论.题型专练(13. (2017福建漳州质检)已知函数f(x)= aex blnx,曲线y= f(x)在点(1, f(1)处的切线方程为y=1 |x +1.(1) 求 a, b;(2) 证明：f(x)0.解(1)函数f(x)的定义域为(0,+乂).b11f (x)= aex ，由题意得 f(1) = , f (1)=- 1,ae=所以ae1e，b= e- 1,1(2)由(1)知 f(x) = e Inx.v n1因为 f (x)= ex 2在(0,+乂)上单调递增，又 f(1)0, zv所以f (x)= 0在(0,+)上有唯一实根Xg,且Xg (1,2).当 x (

25、0, X。)时，f (x)0,从而当x= x。时，f(x)取极小值，也是最小值.2 1 由 f (xo)= 0,得 ex。=，则 Xo 2= Inx。.x。故 f(x)f(x。) = e x 2 Inxo=x + xo 22、x。-2= 0,所以 f(x)0.x。j x04、【2017高考三卷】21.(12分)已知函数f (x) =x - 1 - al nx.(1) 若 f(x)-。，求 a 的值；(2) 设m为整数，且对于任意正整数n, (1+丄)(1 +丄)山(1+丄)v m求m的最小值.2 2 221.解：(1) f x的定义域为。,+：. 若aW0，因为f l=- 2+aIn2v0，所

26、以不满足题意； 若a0，由f x =1 -旦=口 知，当0,a时，f x v0 ;当x，a,+：时，f x 0，所以f x在0,a单调递x x减，在a,+：单调递增，故x=a是f x在x0,+：的唯一最小值点.由于f 1 =0，所以当且仅当a=1时，f x -0.故a=1(2)由(1)知当 1,+：时，x-1-Inx0令 x=1+2n 得 ln +舟 2n，从而 + In i1In 1 + 2 +ln 1 + 22 + +ln 1+1 卜 +土=1-/2，所以m的最小值为3.21. (12 分) 2已知函数 f(x)=ln x+ax +(2 a+1)x.(1) 讨论f (x)的单调性；3(2)

27、 当 a0)?2a 4fi2a 2 a2a则 - 1 = 0,解得 21,r二$在ee单调递增，在a+巧单调递减，题型四 利用导数研究恒成立问题典例4题型概览：已知不等式恒成立求参数取值范围，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题；若参数不便于分离，或分离以后不便于 求解，则考虑直接构造函数法，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围.1a已知函数 f(x) = 2lnx mx, g(x) = xj(a0).(1)求函数f(x)的单调区间；1 2若m = 2e2，对？X1,2,2e2都有g(xi)fg)成立，求实数a的取值范围.审题程序第步：利用导

28、数判断f(x)的单调性，对m分类讨论；第二步：对不等式进行等价转化，将g(Xjf(X2)转化为g(x)minf(x)max；第三步：求函数的导数并判断其单调性进而求极值(最值)；第四步：确疋结果.1 1规范解答(1)f(x) = 2lnx mx, x0,所以 f (x)=以m,当mW 0时，f (x)0, f(x)在(0,+乂)上单调递增.rtt,/口1t f(x)0, /口1t f(x)o 时，由 f (o)=o 得 x=2m；由门得 0x2m.2m丸02m、x02m综上所述，当mW 0时，f(x)的单调递增区间为(0,+乂)；当m0时，f(x)的单调递增区间为0,盒，单调递减区间为 低，+

29、乂)1 1 1(2)若 m=苑，贝S f(x)= 2lnx x.对? xi, x? 2,2e2都有 g(xi) fg)成立,等价于对？ x 2,2e2都有 g(x)min f(x)max ,1由(1)知在2,2e2上f(x)的最大值为f(e2)=刁aaa 1g (x)= 1+ x20(a0),x 2,2e2，函数 g(x)在2,2e2上是增函数，g(x)min = g(2) = 2引 由 2空得 a0，所以a (0,3，所以实数a的取值范围为(0,3.解题反思本例(1)的解答中要注意f(x)的定义域，(2)中问题的关键在于准确转化为两个函数 f(x)、g(x)的 最值问题.本题中，? X1,有

30、g(X1)A f(X2)? g(x)min f(x)max若改为:?, ?他都有9(为) 伽，则有g(X)maxf(X)max若改为：? X1, ? X2都有g(X1) g(X2),则有g(x)min f(x)min要仔细体会，转化准确.答题模板解决这类问题的答题模板如下： |分离参数法构造扁数与直接法构造函数 构造函数一灵活选用.讨论单调性一利用导数研究新函数的单调性.确定最值一依据新函数的单调性确定最值情况.得出结论一整合结论，得出结果，注意区间开闭.题型专练4. 已知 f(x)= xlnx, g(x)= x2 + ax 3.(1)对一切x (0,+乂), 2f(x)g(x)恒成立，求实数

31、a的取值范围;1 2 一证明：对一切x (0,+x ), 1 nxe x2+ ax 3对一切x (0,+恒成立，3贝卩 a0),zv则 h(x)= x+ 32x 1 , 当x (0,1)时，h (x)0, h(x)单调递增，所以 h(x)min = h(1) = 4,对一切 x (0,+x), 2f(x)g(x)恒成立，所以 aW h(x)min 4.即实数a的取值范围是(一, 4.x 2证明：问题等价于证明xlnxe -(x (0,+).e e又 f(x) xlnx, f (x) lnx+ 1,当 x 0, e 时，f (x)0, f(x)单调递增，所以 f(x)min fg)=x 2设 m

32、(x) g gx (0,+),1 一 x则 m (x) w口 M1易知 m(x)max m(1)= e，1 2从而对一切x (0,+x), lnxe恒成立.e ex当 x (1,+乂)时，h (x)0, h(x)单调递增，所以 h(x)min h(1) 4,对一切 x (0,+x), 2f(x)g(x)恒成立,所以 a0,求a的取值范围.【解答】 解：(I )当 a=4 时，f (x) = (x+1) lnx - 4 (x- 1).f (1) =0,即点为(1, 0),函数的导数 f(x) =lnx+ (x+1)?丄-4, 则 f( 1) =ln 1+2 - 4=2 - 4=-2,即函数的切线

33、斜率 k二f(1)二-2, 则曲线y=f (x)在(1, 0)处的切线方程为y二-2 (x- 1) =-2x+2;(II ) v f (x) = (x+1) lnx - a (x - 1),f( x) =1+ +lnx - a,. f ( x)二 ,v x 1，二 f(x) 0,f(乂)在(1, +x)上单调递增，f(x) f(1) =2- a. a f( 1) 0, f (x)在(1, +=)上单调递增，二f (x)f (1) =0,满足题意; a 2,存在 x( 1, +乂), f( X。) =0,函数f (x)在(1, X。)上单调递减，在(X。，+呵上单调递增，由f (1) =0,可得

34、存在x( 1, +x), f (x)v 0,不合题意.综上所述，a 0,求a的取值范围.【解答】 解：(I)当 a=4 时，f (x) = (x+1 ) lnx - 4 (x - 1).f (1) =0，即点为(1, 0),函数的导数 f( x) =lnx+ (x+1 ) ? - 4,X则 f( 1) =ln1+2 - 4=2 - 4= - 2，即函数的切线斜率 k=f (1) = - 2, 则曲线y=f (x)在(1, 0)处的切线方程为 y= - 2 (x - 1) =- 2x+2 ;(II ) f (x) = (x+1 ) lnx a (x - 1),ijr 1 f (x) =1+ +l

35、nx - a,. f (x)= ;/x 1 , f (x) 0, f (x )在(1, +s)上单调递增， f (x) f (1) =2 a. a f (1) 0, f (x)在(1, +x)上单调递增， f (x) f (1) =0，满足题意； a2，存在 x( 1, +x) , f (X。)=0 ,函数f (x)在(1, x0) 上单调递减，在(x0, +x)上单调递增， 由f (1) =0，可得存在X。( 1, +), f (x)v 0,不合题意. 综上所述，a2.题型六：求含参数求知范围此类问题一般分为两类：一、 也可分离变量，构造函数，直接把问题转化为函数的最值问题此法适用于方便分离参数并可求出函数最大值与最小值的情况，若题中涉及多个未知参量需分离出具有明确定义域的参量函数求出取值范围并进行消参，由多参数降为单参在求出参数取值范围。二、未能将参数完全分离一类，需要根据题意对参数进行分类讨论，以求出参数取值范围已知函数 f (x) =ex(ex a) - a2x.(1) 讨论f (x)的单调性；(2) 若f(x