对张正友标定的理解

1、张正友标定算法解读一直以来想写篇相机标定方面的东西，最近组会上也要讲标定方面 东西，所以顺便写了。无论是OpenCV还是matlab标定箱，都是以张正友棋盘标 定算法为核心实现的,这篇PAMI的文章vvAFIexible NewTechnique for Camera Calibration影响力极大，张正友是zju的机械系出身，貌似现在是微软的终 身教授了，有点牛的。我就简单的介绍下算法的核心原理，公式的推理可能有点多。基本问题描述：空间平面的三维点与相机平面二维点的映射假设空间平面中三维点： J（齐次坐标，世界坐标系）3页相机平面二维点:I iT（齐次坐标，相机坐标系）m = u, t.l

2、那么空间中的点是如何映射到相机平面上去呢？我们用一个等式来表示两者之 间关系：sm = A R t|M? with A =0 i3 询0 0 （1）注：A为相机内参矩阵，R, t分别为旋转和平移矩阵，s为一个放缩因子标量我们把等式（1）再简化下：5m HM with H = Al 口 七.（2）因为张正友算法选取的是平面标定，所以令z=0,所以平移向量只有r1,r2即可。 H就是我们常说的单应性矩阵，在这里描述的是空间中平面三维点和相机平面二 维点之间的关系。因为相机平面中点的坐标可以通过图像处理的方式（哈里斯角点，再基于梯度搜索的方式精确控制点位置）获取，而空间平面中三维点可以通 过事先做好

3、的棋盘获取。所以也就是说每张图片都可以计算出一个H矩阵。内参限制 我们把H矩阵（3*3）写成3个列向量形式，那么我们把 H矩阵又可写成:|h h2如二入刊t|注:lamda是个放缩因子标量，也是s的倒数。那么现在我们要用一个关键性的条件：r1和r2标准正交hJ .4 7 A J h * = 0 正交：_（ 4）单位向量（模相等）：h A tA % = A fA 41,(5)这个两个等式是非常优美的，因为它完美的与绝对二次曲线理论联系起来了, 里就不展开了。相机内参的求解 我们令:B = A z A 弧 % 呂旳13型第：慑（6）我们可知B矩阵是个对称矩阵，所以可以写成一个 6维向量形式:b =

4、Bia.Bsa, Bu, Baa, 3油(7)我们把H矩阵的列向量形式为:hf二|ii ”居些力山（8）那么根据等式（8）我们把等式（4）改写成:”盹=v（9）=p 如加i, huhfl + hM齢九山矜办川hfi + h讥h伽h谓h肖+ h金h再,九:山川（10）最后根据内参数限制条件（等式（4） （5）:一 VJM(11)V矩阵是2*6矩阵，也就是说每张照片可建立起两个方程组， 6个未知数。根据 线性代数知识可知，解6个未知数需至少6个方程组，所以也就是说我们至少需 要三张照片就求解未知数。b矩阵的解出，相机内参矩阵 A也就求解出，从而每 张图像的R, t也就根据等式（1）迎刃而解。四参数优化 因为初始的参数已经求解，所以我们将每张图像的控制点根据求解的参数重投影 回三维空间，最小化与真实值的差异，其实就是建立非线性最小化模型：VI 财52力iira-j ih（A