(完整版)复旦高数第9章习题(20210212001532)

1、习题9-1i. 求下列曲线在给定点的切线和法平面方程:(1)22 nx=asin t, y=bsintcost, z=ccos t,点 t -422(3)y z =6, x+y+z=0，点 M(1, 2,1)；2mx,z2 m x 点 M(x, y ,z).解:2asint cost, yb cos2t,z2ccost sin t0曲线在点n的切向量为47t7t7t,y,za,0,n当t 时,4切线方程为a2yb2, zax2a法平面方程为(2)x2c)ax0.cz20.2联立方程组y2z26y z 0它确定了函数 y=y(x),z=z(x)，方程组两边对 x求导,2x 2y dy dx1 d

2、y dz dx dx解得dydxdz x y dx y z在点 M o (1 , - 2, 1)处，dydXMoo, dzMo2所以切向量为1 , 0, -1. 故切线方程为x 1 y 2 z 1 0法平面方程为1(x-1)+0(y+2)-1(z-1)=0 即 x- z=0.2m, 2zdz1dx将方程y2=2mx,z2=m- x两边分别对x求导,2y寻dy m dx ydzdx曲线在点(Xo,yo,zo)处的切向量为m1,yo2Zo2z，故切线方程为XXo1yyomz zo工法平面方程为(XXo)-(yyo1yo) $(zZo)0.2. t0 t 2n为何值时，曲线L: Xt sint, y

3、 1 cost,z 4si在相应点的切线垂直于平2.2z 0 ,并求相应的切线方程和法平面方程解:1 cost, ysint,z2cos-,2u在t处切向量为Tcost,sin t,2cos-,2已知平面的法向量为1,1, 2 .u且T /n,故1sin t12cos-解得tn，相应点的坐标为但 T 1,1,2故切线方程为z 2.2法平面方程为x n 1 y 12( z 2,2)0x y 2z 4 -0.23.在曲线Xt, y23t ,z t上求一点M使曲线在点M处的切线与平面x 2y z 4 平习题9-21. 指出曲面z xy上何处的法线垂直于平面 x 2y z 6，并求出该点的法线方程与切

4、 平面方程.解: Zx=y, zy=X.LT曲面法向量为m y, x, 1 .ur已知平面法向量为 n21, 2,1 .iruuv x且n1 / n2，故有11 2解得 x=2,y=-1,此时，z=-2.即(2,-1,-2)处曲面的法线垂直于平面，且在该点处的法线方程为X 2 y 1 z 21 2 1 .切平面方程为-1(x-2)+2(y+1)- (z+2)=0即x-2y+z-2=0.2. 求下列曲面在给定点的切平面和法线方程：(1) z x2 y2，点 M o 1,2,5 ；(2) z= arctan-，点 M (1,1,)X4解: (1)Zxm2xm 2, zy m0 2ym0 4.故曲面

5、在点M(1,2,5)的切平面方程为z- 5=2(x- 1)+4(y- 2).即2x+4y- z=5.法线方程为x 1 y 2 亍 4(2)z12, zyxmmx2y2m故曲面在点7tM0(1,1,)的切平面方程为1z- =-(x-1)+ (y-1).422冗z -41法线方程为x 1T23.证明:曲面xyz a3上任一点的切平面与坐标平面围成的四面体体积一定F(x,y,z)=xyz-a3. &=yz,Fy=xz,Fz=xy,证明：设因为 所以曲面在任一点Mo(xo,yo,zp)处的切平面方程为yozo(x- xo)+xozo(y- yo)+xoyo(z_zo)=O.切平面在x轴，y轴，z轴上的

6、截距分别为 3x0,3y0,3z0.因各坐标轴相互垂直，所以切平面与 坐标面围成的四面体的体积为V 3 2|3x013y 3z0；|27x0y0 206它为一定值。4.设直线x y b ay0 在平面n上，而平面30n与曲面相切于点1, 2,5 ,求a,b之值.习题9-3i.求函数2xyxyz在点处沿方向角为才的方向的方向导uucosucosulx(1,1,2)y(1,1,2)z解:COS(1,1,2)(y2yz)(1,1,2)7tcos (2 xy3xz) (1,1,2) cosj(3z2xy)冗c(1,1,2) COS-5-2. 求函数u xyz在点(5,1,2)处沿从点A(5,1,2)到

7、B(9,4,，4)的方向导数.uuu解：AB 4,3,12,AB 13.ULUAB的方向余弦为4cos , cos13x(5,1,2)yz (5,1,2)Uxz(5,1,2)(5,1,2)y丄(5,1,2)xy(5,1,2)z故U24l133.求函数z x23cos1213132105“ 3u 129810 -5 -131313y2在任意点M (x, y)处沿从向量e ( 1, 1)所指方向的方向导数4.求函数z x2y2在任意点(1, 2)处沿从该点到点(2,23)方向的方向导数习题9-4(1)1.研究下列函数的极值:(2)z2x,e (x2y+2y);(3)z6x2x4y y2;(4)z2

8、x2y (x2 y2) e1(5)zxy axy ,a0Zx3x26x(1)解万程组3y2zy6yz解:2y3 x233x y得驻点为(0,0) ,(0,2),(2,0),(2,2). zxx=6x 6,在点(0,在点(0,在点(2,在点(2,0)2)0)2)zxy=0, Zyy=6y 6A= 6, B=0, C=-6, B2 AC=-360，且 A0，所以(0,2)点不是极值点.A=6, B=0, C= 6, B2 AC=360，所以(2,0)点不是极值点.A=6, B=0, C=6, B2 AC= 360,所以函数有极小值 z(2,2)=-8.处, 处, 处, 处,(2)解方程组2x2zx

9、 e (2x 2y 4y 1) 0Zy 2e2x(y 1)0得驻点为 11 .2，4e2x(x y2 2y 1)Zxy 4e2x(y 1)zyy 2e2x1 i在点 一，1 处，A=2e，B=0,C=2e，B2-AC=- 4e20,所以函数有极小值 z , 12 2解方程组zx (6 2x2(4y y2) 0Zy(6x x )(4 2y) 0得驻点为(3,2) ,(0,0),(0,4),(6,0),(6,4).Zxx= 2(4y-y2),Zxy=4(3 x)(2 y)Zyy= 2(6x x2)在点(3, 2)处,A= 8, B=0, C= 18, B2 AC= 8X 180,且 A0,所以(0

10、,0)点不是极值点.在点(0,4)处，A=0, B=-24,C=0,B2AC0,所以(0,4)不是极值点.在点(6,0)处，A=0, B=-24,C=0,B2AC0,所以(6,0)不是极值点.在点(6, 4)处，A=0, B=24, C=0,序AC0,所以(6,4)不是极值点.2 22xe(x y)(1 x2 y2)0(4)解方程组2 22ye (x2 y2)(1 x2y2)0得驻点 p(0,0),及 P(X0,y0),其中 X02+y02=1,在点P0处有z=0,而当(x,y)z (0,0)时，恒有z0,故函数z在点P0处取得极小值z=0.再讨论函数z=ue-u由 dz e u(1 u)，令

11、 dz 0 得 u=1, dudu-J -J 当u1时，巫0 ；当U1或x2 +y21,均有/ 22、 (x2 y2)1z (x y )ee .故函数z在点(X0,y0)取得极大值z=eZx y(a 2x y) 0 (5)解方程组zy x(a 2y x) 0得驻点为R(o,o), P23 3zxx=- 2y, zxy=a-2x-2y, zyy=-2x2y a 2x 2y2aa0 a33于是H(P)a 0 ,H(F2)a2a33易知H(P1)不定，故P1不是z的极值点，H( P2)当a0时负定，故此时a aP2是Z的极大值点，且 Z 3 327Z x, y ,研究其极值解：由已知方程分别对x,y

12、求导，解得z4x 8zz4yx2z 8x 1,y2z 8x 1令-0,二 0,解得y0,z-,xy22222 设 2x +2y z +8xz z 8=0，确定函数 z将它们代入原方程，解得 x 2,x.从而得驻点(2,0),16,072(2z 8x 1)4 8(4x 8z) 2二 8_z xx2 2x(2z 8x 1)24y 2二 8_zxx y (2z 8x 1)2 ,24(2 z 8x 1) 8 z y2 2 y(2z 8x 1)44在点(-2, 0)处，Z 1，A话B 0,C两B2-AC。，因此函数有极小值z=1.在点16 0处，Z - A 皂B 0 C 竺bF-AC/3.2所以原点到椭

13、圆的最长距离是,9 5,3，最短距离是,9 5 3 .6在第I卦限内作椭球面2 2 2x_z_ 12 . 2 2a b c的切平面，使切平面与三坐标面所围成的四面体体积最小，求切点坐标解：令 F(x, y,z)2 2 2xy z12 . 2 2 a b c2x -Fx2 ,Fya2y F 2z 2z2 bc椭球面上任一点F0(x, y, %)的切平面方程为2x0(x x0)警(y y)牛(z 勺)o.abc即X0Xyy2 2 abzz2 c1.切平面在三个坐标轴上的截距分别为2 2 a bJJ2 c因此切平面与三个坐标面所围的四面体x。 y。z0的体积为1 a2b2 c2Z 2 2a b cV

14、6 xy z6約0乙即求v2-2 2a b c在约束条件6xyz2 x2a2y_b22 z2c1下的最小值，也即求xyz的最大值问题。(x, y, z) xyzx y a2 b2Xyz2 X c2 0, ayxz2x门,20,bzxy2x门20,c2 X2y2二 1. c2 ab2解方程组a b c 得x .3，y .3，z .3.故切点为，此时最小体积为2 2 2a b ca b c6333abc.*7.设空间有n个点，坐标为x,y，z ii 1,2, L , n，试在xOy面上找一点，使此点与这n个点的距离的平方和最小.解：设所求点为 P(x,y,0),则此点与n个点的距离的平方和为S (

15、xX1)2(yyi)2Z12(xX2)2(yy?)2云 L(x 禺)2 (y yn)2 汀22nx2x(X1 X2 L召)ny 2y(% y Ly.)(X122LXn2) (y12Sx2nx2(X1X2L解方程组Sy2ny2( Y1Y2 LXX2LXnX得驻点ny1y2Lynyn2 2 22 2、 y2Lyn ) (Z1Z2Lzn )Xn)0Yn) 0xi ,又在点n i iSo=2 n=A, Sy=O=B, Syy=2 n=CB2- AC=- 4n20取得最小值故在点-Xi,n i 1 n i 1处，s取得最小值yi,0即所求点为f(x)=ax+b，*8已知过去几年产量和利润的数据如下:产量

16、x （千件）4047557090100利润y （千兀）323443547285试求产量和利润的函数关系，并预测当产量达到120千件时工厂的利润.解：在直角坐标系下描点，从图可以看出，这些点大致接近一条直线，因此可设6求ui 1yi (aXi2b）的最小值，即求解方程组62b66a xXiyiN,i 16i16i 1a xi 16byi 1ri-把（Xi,yi）代入方程组，得29834a 402b 24003402a 6b 320解得 a=0.884,b=-5.894即 y=0.884x-5.894,当 x=120 时，y=100.186(千元).r72r54-打3斗- 1I111040 47

17、5570$0100 :习题九1.填空题：(1)曲面：F(x, y,z) 0,则坐标原点到曲面上 P(x0,y0,z0)点处的切平面的距离为x x(t), 曲线 L: y y(t),Po(Xo, yo,Zo) (x(to), y(to), z(to),则坐标原点到曲线 Lz (t),在Po点切线的距离为。221 15(3)平面2x 3y z 是曲面z 2x2 3y2在点(一，,)点处的切平面，贝U的值2 2 4为。(4)函数 z(x, y)oySTdt在点()处沿方向u ij的方向导数为那么在(xo, yo,Zo)点()A.XoF x yoF y zF z 0C. FxFyFz 1XoyozoB

18、.Fx FyF zxoyozoD.(xo, yo, zo)(0,0,0)(5)若f (x, y) ax2 2bxy cy2 dx ey f有极小值，则其系数必须满足条件2选择题:(1)若曲面F(x, y,z) 0,在(xo, yo, zo)的切平面经过坐标原点,x x(t),(1)曲线 L : y y(t),有经过坐标原点的切线，那么(z (t),型止如有解x(t) y(t) z(t)B. x (t)x(t) y (t)y(t) z (t)z(t)0有解C. x(t),y(t),z(t)0,0,0 有解D.L只要不是直线就成立 设函数f(x, y)在点(0,0)附近有定义，且fx(0,0)3,

19、fy(0,0)1,则()。A dz(0,0)3dx dyB. 曲面z f (x, y)在点(0,0, f(0,0)的法向量为3,1,1C. 曲线Z f(X,y)在点(0,0, f (0,0)的切向量为1,0,3y 0D. 曲线Z f(X, y)在点(o,o, f(0,0)的切向量为3,0,1y 0(4)设函数f (X)具有二阶连续导数，且(0,0)处取得极小值的一个充分条件是(A. f(0)1,f (0)0C.f(0)1,f (0)0(5)设f (x, y)与( x, y)均为可微函数，且f (x)0, f (0)0,则函数 z f (x)ln f (y)点A)。B. f (0)1, f (0

20、)0D. f (0) 1, f (0) 0y(x, y) 0,已知(x0,y)是f (x, y)在约束条件(x, y) 0下的极值点，下列选项正确的是( D )。A.若fx(x,y)0,则fy(x,y)0B.若fx(x,y。)0,则fy(x, y)0C若 fx(x,y)0,则 fy(x),y0)0D.若 fx(x,y)0,则 fyy。)03.证明：螺旋线x a cost, y a si nt,x bt的切线与Z轴形成定角。证明：xa si nt, y a cost, z b.螺旋线的切向量为uT a sint,acost,b.与z轴同向的单位向量为k 0,0,1两向量的夹角余弦为b b7( a

21、sint)2(acost)2b2/a2b2为一定值。故螺旋线的切线与z轴形成定角。2 24.求曲面x z ycos(x z )在点M0(1,2,)处的切平面方程与法线方程。解：令 F (x, y,z) x z ycos(xz2).x2由于 Fx 1 2xysin(xz2) , Fycos(x22 2 2z ) , Fz 1 2yzsin(x z )，所以曲面在点M0(1,)处的法向量为n (1, 1,1).曰是,所求切平面方程为(x 1) (y 2)(z 1)0,即x y z 0 ;法线方程为z 1T5.已知曲面zx2 y2 z2上点P处的切平面x 2y 2z 0平行，求点P的坐标以及曲面在该

22、点的切平面方程。解：曲面在点P处的法向量为nFx , Fy , Fz2x,2y,2z 1，依题意，nP1, 2,2，于是有2x221竺，联立z111115z2，解得 P( -,3,6)或者 P(6 3E).6求函数z= 1-2 x2 a2爲在点b2方向导数解：设x轴正向到椭圆内法线方向2x 2y a2 b2所以在点a b处切线斜率为b2 ab 2b2法线斜率为cos是tan_b_a2書sin22X, aa.22I的转角为aa2=a_2. a2b22处沿曲线笃a21在这点的内法线方向的0,它是第三象限的角，因为b22 bb2 2a：a2=b2ai b2).7.求函数f(x, y)x3y3 3x2

23、3y29y的极值。解：由已知fx3x26x, fy3y2x6y 9.令 fx 0, fy 0，解得y0,2,即得1, 3,驻点 0, 3 , 2,1,2,3 .又Afxx6x 6,B fxy0,Cfyy6y6，于是在0,1处，A6,B0,C212.AC B 720 ,极大值为f0,15.在0, 3处，A6,B 0,C212.AC B720，无极值.在2,1处，A6,B0,C12.ACB2720，无极值.在2, 3处，A6,B0,c12.ACB2720，极小值为2,331.8.求函数f (x, y)(y3Xx y)e3的极值。解：先求驻点，令332 x yx x y2x x yfx x e (y )e(x y )e 033x yx x yx x yfy e (y y)e (1 y y)e 042解得(1，3)，(1, 3)3 332X 、x yA fxx (2x 2x y )e ,2B fxy (x y3彳X X1)e3y3C fyy (y 2x )ex y34对于点(1,)，A313e3, B1133e ,C e ,AC B20，4故(1,)为极小值点3，极小值为1 e?；2对于点(1, -)，A5e 3,B5533e ,C e ,AC B20,故(1,-)不是极值点。339.求二兀函数f(x