(完整版)2.2.3《向量数乘运算及其几何意义》导学案(20210206114248)

1、223向量数乘运算及其几何意义导学案【学习目标】1. 掌握实数与向量的积的定义，理解实数与向量积的几何意义；掌握实数与向量的积的运算律，会利用实数与向量的积的运算律进行有关的计算；2. 理解两个向量平行(或共线)的等价条件，能根据条件判断两个向量是否平行(或共线)；3. 通过探究，体会类比迁移的思想方法，通过实数与向量的积的学习培养学生的观察、分析、归纳、抽 象的思维能力，了解事物运动变化的辩证思想.【重点难点】重点：实数与向量的积的定义、运算律，向量平行的等价条件； 难点：理解实数与向量的积的定义，向量平行的等价条件.【知识回顾】1. 平行向量是指什么？ 共线向量又是指什么？ .2. 作出两

2、个向量的和向量的方法有 、. 第一个方法的步骤是： ； 第二个方法的步骤是：.3. 作出两个向量的差向量的方法是 ;作两个向量的差向量的步骤是： uuu uuu uuu4. 三个向量AB , OA , OB有怎样的等式关系？ .(向量的化简与分解)【新课导入】相同的几个数相加可以转化为数乘运算，如当a R时，a a a.那么相等的几个向量相加是否也能转化为数乘运算呢？rr r r r r r已知非零向量 a，如何作出向量 a+ a + a和(-a) + (- a) + (- a) ?r r rr r r类似实数的数乘运算， 可将a+ a+ a简记为； (- a)+ (- a) + (- a)简

3、记为它们的结果是一个什么样的量？数量还是向量？请同学们指出相加后，和的长度与方向有什么变化?【学习过程】 1)定义一般地，我们规定：实数与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作a，该向量的方向与长度与、a有什么关系呢？rr(1) 向量 a的长度：| a | .r(2) 向量 a的方向：.思考： 若ba且a 0 ,贝U .(用a, b的模表示) 向量的数乘运算的几何意义吗？向量与数量的关系常常在物理公式中体现你能举出几个公式吗?初中学习了多项式的运算法则，你还记得吗?为常数，x,y为未知量，且x, y R，则(x)；(x y)练一练：(课本第90页练习的第2,3题)AC5UULTuu

4、uuutuur1.已知点C在线段AB上，且AC则ACAB ;BCAB ；CB2，rr2.将下列各小题中的b表示为实数与向量a的积：rr rrrr rra3e, b6e ；a8e, b14e ；r2 rr 1 rr3 r r2rae,be;ae, be.33432)运算律:类比多项式的运算律(交换律、结合律、分配律)得到以下向量数乘的运算律：设a、b为任意向量，入、卩为任意实数，则有：(1)( a) ;(2)(入 + M)a=；(3) Xa + b)=.特别地，我们有 ( )a ； Xa- b) =.练一练：3.计算:(1) (- 3)? 4； ；(2) 3(；+ b)- 2(；- b)- a

5、；( 3) (2；+ 3b- c)- (3；- 2b + c).总结提升1 此类运算类似多项式的运算法则（合并同类项，系数相乘得系数等）2 向量的加、减、数乘运算称为向量的线性运算，对于任意的向量a,b以及任意实数1, 2恒有:-6 -4.若a, b是已知向量，且mirmnr2nr3b ir rr，求 m, n6a（用a, b表示）.1ia12b1iar2b3）共线定理：思考：引入向量数乘运算后，你能发现数乘向量与原向量之间的位置关系吗？1. 若b a （ a为非零向量，R）,则向量a、b是否共线？ .2. 若非零向量a与向量b共线，是否存在r使得b a ?共线向量定理：向量b与非零向量a平行

6、的等价条件是有且仅有一个实数入,使得b= Aa.共线定理中能否将“非零向量 a ”改为“向量a ”？为什么?uuiruuuuuurUJUuuuruuuDE = 3BC，试判断 AC与AE是否平行.uuu uuur uuu3AB , DE = 3BC，试判断 代C,E三点的位置关系.BC/DE .uuuuuu uuumr变式2:如上图，已知AD = 3AB , AE = 3AC，求证:【总结提升】向量共线定理的应用:1 证明向量共线;uuu2 证明：三点共线：ABuuuBC A, B,C三点共线;3 证明两直线平行:uuu uuur uuu uuu AB CD AB/CDAB与CD不在同一直线上

7、直线AB / /直线CD 这样几何问题向量化.r r uuu r r uuu【典例1】已知任意两个非零向量 a、b，且OA a b , OBr r uur a 2b , OCa 3b.你能判断A,B,C三点之间的位置关系吗？为什么？【典例2】在 ABC中，点D是线段BC上的一点，且BD2DC，请用向量uuu uuiruuirAB、AC表示向量AD .【小结回顾】1.实数与向量的积：2.实数与向量的积的运算律：3.共线向量定理：定理的应用证明：向量共线；证明：三点共线：LULLLKUTABBC 代B,C三点共线;UUUuuur uuu uuuAB证明两直线平行：CD AB/CD直线AB / /直线CD AB与CD不在同一直线上【作业布置】1 相应课时的同步作业2 拓展提升部分的思考.【拓展提升】r ruuu r r uuu r r1. 设a、b是两个不共线向量，已知 AB = 2a + mb , CB = a+ 3b，若A、B、C三点共线，求 m的 值.uuu uuur2. 在【典例2】中，观察所得出的结果，向量 AB与AC的系数有何关系？若题中 D为直线BC上的任意uuuuuiuuuu UULTUULTUUU UULT一点，且BDBC，则用向量