(完整word版)初中分式讲义

1、分式的概念、运算及分式方程、知识框架类比井类比分、知识概念:A1. 分式：形如A , A B是整式，B中含有字母且B不等于0的整式叫做分式其中A叫做分式的分子,BB叫做分式的分母.2. 分式有意义的条件： 分母不等于0.3. 分式的基本性质： 分式的分子和分母同时乘以（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变.4. 约分：把一个分式的分子和分母的公因式（不为1的数）约去，这种变形称为约分 .5. 通分：异分母的分式可以化成同分母的分式，这一过程叫做通分6. 最简分式：一个分式的分子和分母没有公因式时，这个分式称为最简分式，约分时，一般将一个分式化 为最简分式.7. 分式的四则运算：a同分母分式

2、加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.用字母表示为：一ca c ad cb b d bd异分母分式加减法则：异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法法则进行计算.用字母表示为：分式的乘法法则：两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母.用字母表示为：ab d bd分式的除法法则：两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与 被除式相乘.用字母表示为： 旦-adb d b c bcn n分式的乘方法则：分子、分母分别乘方.用字母表示为：aa-bbn8. 整数指数幕：am an am n （ m n是正整数）amamn （

3、 m、n是正整数）ab n anbn（ n是正整数） am an am n （ a 0， m、n是正整数，m n）nna （ n是正整数）b bn1a n （ a 0，n是正整数）a9. 分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程10. 分式方程的解法：去分母（方程两边同时乘以最简公分母，将分式方程化为整式方程）；按解整式方程的步骤求出未知数的值；验根（求出未知数的值后必须验根，因为在把分式方程化为整式方程的过程中，扩大了未知数的取值范围，可能产生增根）.模块一分式的概念【例1】x为何值时,分式-有意义?1丄3 x【巩固】若分式x216(X 3)(x 4)2若分式X 16(|x|有意义

4、，则3）（x 4）无意义，则解下列不等式：S 0 :丄卫2x 3x 3【巩固】解不等式 Z卫0 ；x 4解不等式山3 .x 4模块二分式的运算?分式的化简求值裂项【例2】设n为正整数，求证：1 311 13 5 .(2n1)(2 n 1)2【巩固】化简:1 11x(x 1) (x 1)(x 2)(x 99)(x100)【巩固】化简：111112 x2c八x x 3x 2x2 5x 6x2 7x 12x2 9x 20【例3】化简:a2 be(a b)(a e)【巩固】已知a , b , e为实数，且abbeabe旦1,求e a 5 ab be ea【巩固】化简：盲旦b ea abae be2bb

5、 ab be ae2e2e ae be ab2 2b aee ab(b e)(b a) (e a)(e b)?分式的恒等变形部分分式【例4】下面的等式成立：x y 4x 6y 5 (x y A)(x y B)，求A、B.【巩固】若代数式x(x 1)(x 2)( x 3) p恰好能分解为两个二次整式的乘积(其中二次项系数均为1，且一次项系数相同)，则p的最大值是 .【例8】若打生卫 ，求M、N的值.a 1 a 1 a 1【巩固】已知丄与旦的和等于 24x ，求a , b.x 2 x 2x 4分式恒等证明【例9】求证:2 2a ab b32aa b2 2 a ab b32aa b2 2ab b a

6、ab b2【巩固】已知x、y、z为三个不相等的实数，且 x - y - z 1，求证:y z x条件分式求值2【例10】已知x ,y, z满足235 ，则 5x-的值为()xyzz xy2zA.1B.1C.1D.1332【巩固】设有理数a，b, c都不为0,且a b c 0，1b2 22cab分式与数论学a，求这两个式子。【例11】将a b写成两个因式的积，使它们的和为b a【巩固】求最大的正整数 n，使得n3100能被n 10整除。模块三分式的方程?解分式方程2x 3x2 xx 41122x 2x 823x9x12【例5】解方程:【巩固】解方程:1x 10x 291x 10x 452x 10

7、x 69【巩固】解方程:2x 11x 81x 2x 81x 13x 8?分式方程的增根及根的讨论【例12】已知关于x的方程2 -m有一个正整数解，求 m的取值范围.【巩固】当m为何值时，关于x的方程 丄亠 一血一的解为负数? x 2 x 3 (x 2)( x 3)【巩固】关于x的方程12m的解也是不等式组x 4的一个解，求m的取值范围2(x 3) x 8一元一次分式方程的应用【例13】为响应低碳号召，李老师上班的交通方式由开汽车改为骑自行车李老师家距学校10千米，由于汽车的速度是自行车速度的4倍，所以李老师每天比原来提前30分钟出发，才能按原来的时间到校，求李老师骑自行车的速度.【巩固】为了提

8、高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两间工厂了解情况，获得如下信 息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天；信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.200天贯通为了公路早日通车，由B队单独施工，需要多少天才能贯通?A, B两队同时施根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品？【巩固】某铁路有一隧道，由A队单独施工，预计工，结果120天就贯通了.试问：如果由二元一次分式方程的应用【例14】端午”节前，第一次爸爸去超市购买了大小、质

9、量都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透 明的盒中，此时随机取出火腿粽子的概率为1 ;妈妈发现小亮喜欢吃的火腿粽子偏少，第二次妈妈又3去买了同样的5只火腿粽子和1只豆沙粽子放入同一盒中，这时随机取出火腿粽子的概率为-.2(1) 请计算出第一次爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？(2) 若妈妈从盒中取出火腿粽子 4只、豆沙粽子6只送爷爷和奶奶后，再让小亮从盒中不放回 地任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各 1只的概率是多少？(用字母和数字表示豆沙粽子和 火腿粽子，用列清法计算)巩固】内江市对城区沿江两岸的部分路段进行亮化工程建设，整个工程拟由甲、乙两个安装公司共同完 成从两个公司的业务资料看

10、到：若两个公司合做，则恰好用12天完成；若甲、乙合做 9 天后，由甲再单独做 5天也恰好完成 如果每天需要支付甲、 乙两公司的工程费用分别为 1.2 万元和 0.7 万元试问：（1）甲、乙两公司单独完成这项工程各需多少天？（ 2）要使整个工程费用不超过 22.5 万元，则乙公司最少应施工多少天？巩固】用大、小两种货车运送360 台机械设备，有三种运输方案方案 1：设备的 12用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车 27 辆；方案 2：设备的 13用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车 28 辆；方案 3：设备的 23用大货车运送，其余用小货车运送，需要货车 26 辆； （1）每辆大、小货车

11、各可运送多少台机械设备？（2）如果每辆大货车的运费比每辆小货车的运费高m妝m 0）,请你从中选择一种方案，使得运费最低，并说明理由? 分式方程组解分式方程组的关键就是利用换元法或者倒数法,将复杂的分式方程组转化为整式方程组,然后利用解整x, y,z的解.式方程组的方法进行求解,得到换元后的未知数的值,代入后得到1x2y3 1z【例15】解方程组：2491xyz4692xyz661x【巩固】解方程组y2833xy102204【巩固】解方程组:T233【例16】解方程2a21 a22b21 b22c21 c2bc ,其中 a 0, b 0 , c 0 .a【巩固】解方程组检测:【练习【练习1】解方

12、程J2一12x x 2 x 7x 10化简:a bbec a(c a)(e b) (b a)(a e) (b e)(b a)【练习若对于 3以外的一切数,孚匚均成立，求mn x 9【练习若关于x的恒等式Mx N 2中，Mx N为最简分式，且有ax x 2 x a x b x x 2求N 【练习若 x 必，y 山，z X，求证：(1 x)(1y)(1 z) (1 x)(1y)(1a b b e e az)【练习解方程组:xy x 2x y 1xz 2x3x z 2(y 1)(z 2),4y z 3课后作业21解方程3x 10x 42x 3x 22x 1x 22解方程3.将化为部分分式x 94若

13、a x 12 1 1b(xy 2)2，且 ab 0,求一xy (x 1)(y 1)的值.(x 2007)(y2007)5.若abc 1，求证:abc1 a ab 1 b bc 1 c ca6解方程组:00章节复习1填空:(1)当当x时，分式有意义。（2）当x(3)当当b时，分式卜有意义。(4)当当x、y满足关系时，分式.一有意义时，分式L1有意义2 x)C 、2 x2 yD22yx yxy)x、 y 1yC、9bx226a 32 2、x_y_2x y3b D 2a 1x abxy bay)ab32 25a b，-、a2 4a42a2 ；2c2；(3)4cda2 2a12 a；415x-15y1

14、5x-30yx-2y(B)3x+5y( C 6x+10y( D)5x+3y3649 m2 m2 7m2 下列变形正确的是（）（A）9 b 9 b（ B）a ba b(C)1（D）丄baba b a ba ba ba ba bbaba卜列各分式中，最简分式是（a 34xyb、85 xyx3 下列约分正确的是（A 、1mBm 3312 x-y将分式一的分子和分母中的各项系数都化为整数，应为（x y+ -53x-2y(A)3x+5y 4计算：(1)空丄；(2)33y 2x5计算：2x3x-2a2b2a2b 32ac 2(115x-325x2-95x+3（2）（ 3c）（-cd3）匚屁 （2a）6计算

15、：5x+3y2x(1)吋-x2-y2、，2a、21a b(3)()ba bb 41 1+2p+3q 2p-3q（与(x7 计算：x2y 3(x1y)38 解方程 I56x 29 一艘轮船在静水中的最大航速为 20千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用的 时间，与以最大航速逆流航行 60千米所用时间相等，江水的流速为多少？真题演练1 .下列各式与x1相等的是（y)A (x y) 5b. 2x yC(x y)、 DC.2 2 (x y) D.(x y) 52x yx y2解分式方程36+ = 2卜列四步中，错误的步是x 1 x 1 x 12 2x y2 2x y)A 方程两边分式的最简公

16、分母是 x2-1;B .方程两边都乘以（x2-1 ）,得整式方程2 （x-1 ） +3 （x+1） =6;C. 解这个整式方程得：x=1D. 原方程的解为x=1;3 .若2x 5的值为-1,则x的值等于().x 2“5B.5C.7D.-7A.-333354.分式方程3=2的解为（)x 11xA. x=4B. x=3C. x=0D.无解5、甲队在m天内挖水渠a米，乙队在n天内挖水渠b米，两队一起挖水渠s米，需要的天数sm snsmnsab为（ ）A、 a b B 、an bm C 、an bm D 、以上均不对6、某大队要筑一条水坝，需要在规定日期内完成.如果由甲队去做，恰好如期完成；若由乙队去

17、做，需要超过规定日期三天，现由甲、乙两队合作 2天后，余下的工程由乙队独自去做,恰好在规定日期内完成,求规定日期为 x，下面所列的方程中,正确的是（7.8.9.(C x匕）x关于x的方程x 7有增根,则k的值为2x2x 22若分式x 3x 2的值为零，贝u x的取值范围是2x当_110.若 x11.已知_时，分式2x 3的值为正数.12 则分式 3x-2xy-3yy ，x+4xy-y的值是x 1 y 11 x 1xy 12, x+y 4,贝U yX4 X21X2 的值是2,33323,4A4243881512 .若 x 满足 x2 4x+1=0,则2 2 2213.观察下列各式：3示大于1的正整数，请用含有n的式子表示出此规律： 2x 2 m14 .若关于x的分式方程x 3 x 3无解，则m的值为115.若 x16 .若 2（x15，由此总结出规律,17. 计算:18. 计算题2a12 7 (1) a 4 +2x 3,则 4 xx x 11) 1与3(x 2) 1的值相等,