11年川大高等代数及答案

1、四川大学2011年攻读硕士学位研究生入学考试题、（本题满分20分）1. （5分）设V是数域F上的线性空间，1,2, s V.令 W ki i ki F证明：w是V的子空间（称为由1 , 2 , s生成的子空间）证明：取ski i，i 1sk. ii ii 1skii 1skii 1ski( ii 1i），则sk k kii 1ski(ki 1i），则 k由、，得W是V的子空间82. （ 15分）设M2（F）是数域F上的2阶方阵组成的线性空间，设V是由如下的4个矩阵生成的M2（F）的子空间：A（1）（2）1 45 13229A?A3A420，0 3，14，45，求dimV并写出V的一个基.设映射

2、f : f F为：f （A） tr（A），其中tr（A）表示矩阵A的迹.求dim ker f并写出ker f的一个基.解：（1）取 M2（F）的一个基 E11、E12、E21、E22，M2(F)V在这个基下对应的矩阵是B15324129有(En,E12 , E21,E22)B(A1 , A2 , A3 , A4)，则B201403451 5321 53215324 1290 2110 103452 0140 10500018360 3450 3450000则 dimV3，故V的一个基为A、A2、A3(2)取矩阵C,使得f(C) 0,根据题意，有Cii c22 0由 C x1 A1 x2A2 x

3、3A3 ，有方程 x1 8x2 4x3 0此方程的基础解系由 2个线性无关的向量构成，即 (7,0,1) 、 (0,7, 8)C1 (A1, A2,A3)(7,0,1)4 2613 4 ，C2(A1,A2,A3)(0,7, 8)11 238 11则有 dim ker f 2，故 ker f 的一个基为C1 、C2二、(本题满分 20 分)设 F ， K 都是数域且1.(5 分)设是 F 上的 n 维列向量 . 证明：,s在F上线性相关当且仅12s在K上线性相关.证明：取1,2 , s 的极大无关组为必要性：12s在F上线性相关，则方程(12, r )Xi有解(i 1,2, ,s)则方程(1,2

4、，r)X i在K上有解12s在K上线性相关充分性：12s在K上线性相关，则方程(12, r )Xi在K上有解在 K 上有r( 1,2, r) r( 1,2, r,i)12r, i F ，则在 F 上也有 r(1, 2, , r)r(i)故方程(1,2, , r)Xi在F上有解故1, 2, s在F上线性相关2.( 5分)设A，B为F上的n阶方阵.证明：A，B在F上相似当且仅当 A，B在K上 相似.证明：必要性：由A，B在F上相似，存在可逆矩阵 P Mn(F)，使得P 1AP B又P Mn(K)，则A，B在K上相似充分性：由A, B在K上相似，则在K上A, B有相同的行列式因子 Dk( ) ( k

5、 1,2, ,n)由 A, B Mn(F)，有 Dk()属于 F则在F上A, B也有相同的行列式因子 Dk()故A, B在F上相似3. (5分)设F上的n次多项式f(x)在K上有n个根Xi,x2, ,xn. 证明：!i ji(xi Xj)2属于 F.证明：令 f (x) anXn an iXn 1aiX a。 ( an,an 1, ,a F )由根与系数的关系，有an 1 X1 X2Xn、an 2 住住X.必.、由1 i j 1(Xi Xj)2为对称多项式，则可由an,an 1, ,a。表示故 1 i j 1(Xi Xj)2 属于 F4. (5分)证明：关于数的加法和乘法 K是F上的线性空间.

6、证明：取K上的元素、，数a、b F由F K ,，有 为K上的元素(a b)() a a b b , a a b b 为 K 上的元素则关于数的加法和乘法 K是F上的线性空间三、(本题满分20分)给定任意的可逆矩阵 A.请说出4种求A1的方法(使用计算机程 序的方法除外)，并简要说明理由.解：法1:通过初等变换A E由行变，有AEEA 1;由列变，有EA法2:通过伴随矩阵A11A21An1A11z1A12A22An2由AA*AE，有AHAAnA2nAnn法3:通过H-C定理令A的特征多项式为f(nn 1an 1a1 a0如ao0，有 f()an 1ai)，则A含特征值0 , A不可逆故a。0,则

7、 f(A)An1Aa1 AaoE O有A1丄 A1 aa1 A a色Ea法4:通过A的最小多项式令A的最小多项式m()m 1am 1aia。同上，有a0，则m(A)Amm 1am 1Aa1 Aa。E O有 A1 丄 Am 1Amaa四、(本题满分20分)设f(x)冬Ea0xp1 xp21， p是素数.1.( 10分)证明f (x)在有理数域Q上不可约.2.( 10 分)令 A Mn(C) f(A) O，其中(C)是全体n阶复矩阵组成的集合.把 中的矩阵按相似关系分类， 即A，B属于同一类当且仅当存在可逆的复矩阵 C使得A CBC1.问 中的全部矩阵可以分成几类？说明理由1证明：f(x)11，令

8、 x y 1，有 f(y 1)(y 1)p 1yPCkk；y 1k 0ypf(y 1)cpyk1k 1cpy1 c：1 p 2ypc：yc；由艾森斯坦判别法，p为素数，pcp,c2，,C；1、p不能整除C；、p2不能整除Cp故f(y 1)在有理数域不可约，即f(x)在有理数域不可约.2证明：由f (A) O，又f(0) 1，则0不是A的特征值由A Mn(C)，则A有n个特征值i 0 ( i 1,2, ,n) 则存在可逆矩阵P，使得P 1AP JJ除去排列次序外是由 A唯一确定的，则J可能为112110211020共有 n 种，则中的全部矩阵可分为 n 类五、(本题满分20分)设V是数域F上的n

9、维线性空间，End(V)表示V上的全体线性变换组成的线性空间 .1. (10分)求dimEnd(V)并写出End(V)的一个基.2.( 10分)设End(V)，设的特征多项式为f(x).证明：如果V可以分解为非平凡的不变子空间的直和，那么，f(x)在F上可约问：此结论的逆命题是否成立?说明理由 .1.解：设 Eii,Ei2, , Enn 是 的一组基，nnnn是 n2 维的，可知 V 的全体线性变换与nn同构， 故 V 的全体线性变换组成的线性空间是n2维的。设 V 的一组基为1,2,L ,n ,令 ij =1, 2 ,L ,n ij ,i, j 1,2,L ,n则对任意的 End V ，有1

10、 , 2,L ,2,L , n A= 1, 2,L , na11 11 Lann nna111, 2,L , n 11 L ann1, 2,L , nnna11111, 2,L , n Lannnn 1, 2,L ,显然11,L， nn线性无关，且对任意的End V都可以由11,L，nn线性表出，所以11,L， nn是End V的一组基2证明：f(x)在F上可约，但f(x)在F上不一定有根，故逆命题不成立六、(本题满分20 分)设 V 是 n 维欧式空间，内积为 (,)1. （ 10 分）设12,s是V中的一个线性无关的向量组证明如下的Schmidt正交化定理：存在V 中的一个两两正交的向量组

11、满足：对任意 1 k s 有1212k 等价 .2. （ 10分)对V中的任意一个向量组12t ，证明：12, t 线性无关的( 1, t )是正定矩阵 .( t , t)( 1, 1)充分必要条件是矩阵( t , 1)1.证明：由1, 2,s 无关，把1,2, s 正交化，得正交向量组 1, 2,s则 r( 1, 2,s)r( 1, 2, s ) s在 1, 2,s和1, 2 , s 中分别任取k 个向量有 r( 1, 2, k)r( 1,2, k) k ，故 1, 2,s和1, 2, s等价令 i i ( i 1,2, ,k )故存在V中的一个两两正交的向量组 1, 2, , s满足：对任

12、意1 k s有1, 2与 1,2, k 等价2. 证明：必要性：1, 2, , t 线性无关，则 1, 2t 构成 V 的一个子空间 W L( 1, 2t)则1,2, t为W的一个基( 1, 1)(1, t)是这个基下的度量矩阵，故此矩阵正定( t,1)( t, t)充分性：( 1, 1)(1, t)(1,2 , t )(1,2 , t)( t,1)( t, t)由该矩阵正定，有该矩阵的秩为t( t n)，令矩阵An t ( 1, 2, , t)，则r(AA) t由 r(A) r(A)，由 t r(AA) r(A) t，故 r(A) t则有 1, 2, t 线性无关300八、(本题满分 15 分)求实矩阵 X 使得 X 0 3 1000解:3EX400 031(3)0，即x4的特征值为3、3、003时，3EX40 030 0 34TTn r(3E X )2，基