一元二次方程与分式方程

1、1.了解： 一元二次方程的概念；一元二次方程的解；分式方程的概念2 理解：一元二次方程的解法；根的判别式；分式方程的增根3 会：识别一元二次方程；识别一个数是不是一元二次方程的解；判断一元二次方程根的情况；根与系数的关系；识别分式方程；识别分式方程的增根；解分式方程.4 掌握：由实际问题抽象出一元二次方程，一元二次方程的应用；分式方程的解法及其应用5 能：灵活选择适当的方法解一元二次方程；由实际问题抽象岀分式方程1 从考查的题型来看，主要以解答题为主，占的分值比较大，属于中档题，少数题目以填空题或选择题的形式考查.属于中档题.2 从考查内容来看，涉及本知识点的重点有：一元二次方程的定义及解法；

2、根的判别式；根与系数的关系；分式方程与一元二次方程的实际应用3 从考查热点来看，涉及本知识点的有：分式方程的增根问题；根与系数的关系；分式方程与一元二次方程的解法及其实际应用.1.一元二次方程(1) 判断方程是否是一元二次方程的方法：一元二次方程必须具备三个条件必须是整式方程；必须只含有1个未知数；所含未知数的最高次数是 2 (在一元二次方程的一般形式中要注意ao.因为当a=0时，不含有二次项，即不是一元二次方程)(2) 一元二次方程的解法：直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法当给出一个一元二次方程时，如何选取上述方法更快更好的解方程：i )若一元二次方程缺少常数项，且方程的右边为0,可考

3、虑用因式分解法求解；ii )若一元二次方程缺少一次项，可考虑用因式分解法或直接开平方法求解；iii )若一元二次方程的二次项系数为1,且一次项的系数是偶数或常数项非常大，可考虑用配方法求解；iiii )若用以上三种方法都不容易求解时，可考虑用公式法求解用公式法求解时必须化为一般形式；用配方法求解时必须两边同时加上一次项的系数一半的平方.温馨提示：若只是判断方程解的情况则根据一元二次方程的根的判别式判断即可.应用一元二次方程的根的判别式时必须满足a工0; 元二次方程有解分两种情况有两个相等的实数根；有两个不相等的实数根.(4) 一元二次方程的根与系数的关系bc若一元二次方程 ax2+bx+c=0

4、 (a0)的两根分别为 X1，X2，则有X1+X2=，心X2 =aa2 分式方程分式方程的一般解法是：(1) 去分母，方程两边都乘以最简公分母(2) 解所得的整式方程i ）这个数是化成的整式方程的根；ii）使最简（3）验根：将所得的根代入最简公分母，若等于零，就是增根（增根的判别方法:公分母为零），应该舍去；若不等于零，就是原方程的根.注意事项：解分式方程首先是将方程转化为整式方程求解，其次注意一定要验根.3用分式方程与一元二次方程解应用题的一般步骤（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系.（2）设未知数，一般求什么就设什么，但有时也可以间接设未知数.（3）列方

5、程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示岀来，列岀方程.（4）解方程.（5）检验，看方程的解是否符合题意.（6）写岀答案.解应用题的书写格式：设T根据题意列方程T解这个方程T答.1. (2015 -重庆)一元二次方程的根是A.B.C. D.2.(2015 天津)23分式方程的解为x 3 x=53.(2015 -广东)若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是A.B.C.D.4.（2015 安徽）我省2013年的快递业务量为亿件，受益于电子商务发展和法治环境改善等多重因素，快递业务迅猛发展,2014年增速位居全国第一.若 2015年的快递业务量达到亿件，设 2014年与2

6、013年这两年的平均增长率为x，则下列方程正确的是(1 + x)(1 + 2x)5.6.(1 + x) 2(1+ x) + ( 1 + x)（2015 -北京）关于x的一元二次方程 ax2 bx10有两个相等的实数根，写出一组满足条件的实数a，b的值a=_，b4（2015 -四川自贡） 利用一面墙（墙的长度不限）另三边用长58 m的篱笆围成一个面积为7.200 m2的矩形场地.求矩形的长和宽.x 23（2015 -陕西）解分式方程：x 3 x 31.8.（2015 -北京）为解决“最后一公里”的交通接驳问题，北京市投放了大量公租自行车供市民使用.到2013年底，全市已有公租自行车25 000辆

7、，租赁点600个.预计到2015年底，全市将有公租自行车 50 000辆，并且平均每个租赁点的公租自行车数量是2013年底平均每个租赁点的公租自行车数量的倍.预计到2015年底，全市将有租赁点多少个9.（2015 -河南） 已知关于x的一元二次方程 （x 3）（x2） m.（1）求证：对于任意实数 m，方程总有两个不相等的实数根;(2)若方程的一个根是1，求m的值及方程的另一个根2 21 如果关于x的一元二次方程k x (2k 1)x 1 0有两个不相等的实数根，那么k的取值范围是A.k 4B.k 1 且 k 0 c.42 某厂接到加工720件衣服的订单，预计每天做48件，正好按时完成，后因客

8、户要求提前1且k 045天交货，设每天应多做 X件，则X应满A. 7207205B.48 x 4872057204848XC 720 720 cnC.5d.48x72072054848X3已知点P(12a, a 2)关于原点的对称点在第一象限内，且x 1a为整数，则关于x的分式方程x aD.不确定24.)关于x的一元二次方程(m 1)x5x m23m20的常数项为0,则m的值等于足的方程为2的解是或25 股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过10%即当涨了原价的10漏，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停若一支股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价

9、的平均增长率为X，则X满足的方程是6如果 3是分式方程一a2 的增根，则a=x a a x、 2 2 1 17已知 、 是关于x的一元二次方程 x (2m 3)x m 0的两个不相等的实数根，且满足1，则m的值8.有四张正面分别标有数字3，0，1, 5的不透明卡片，它们除数字外其余全部相同现将它们背面朝上，洗匀后从中任取一张,9.将该卡片上的数字记为 a，则使关于X的分式方程1一ax 2有正整数解的概率为x 22 x3 x1.3 x解方程:3610.解方程:(1)X2 2x 20 ；2(2) (x 2)3(x 2)=0 11某学校准备组织部分学生到少年宫参加活动，陈老师从少年宫带回来两条信息：

10、信息一：按原来报名参加的人数，共需要交费用320元，如果参加的人数能够增加到原来人数的2倍，就可以享受优惠，此时4元.只需交费用480元；信息二：如果能享受优惠，那么参加活动的每位同学平均分摊的费用比原来少根据以上信息，原来报名参加的学生有多少人12.已知关于x的一元二次方程 x22(2 m)x 3 6m 0.(1 )若x = 1是此方程的一根，求 m的值及方程的另一根；(2)试说明无论 m取什么实数，此方程总有实数根.1 关于x的一元二次方程X222(m1)x m 0的两个实数根分别为论，X2，且x1 x20, x-i x20，则 m 的取值范围是1A. m -2B.丄且m 0 c. m 1

11、2D.2将4个数a，b，e，d排成2行、2列，两边各加一条竖直线记成，定义ad be，上述记号就叫做 2阶行列式,3.解分式方程:(1)4，则1 ；( 2)x2 12x 44.已知关于x的一元二次方程2 2x 2m 3 x m(1)若方程有实数根，求实数 m的取值范围;(2)若方程的两个实数根分别为 x1,x2，且满足x22X231 x1x2，求实数m的值.5. 2015年是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利70周年.某商家用1 200元购进了一批抗战主题纪念衫,上市后果然供不应求，商家又用2 800元购进了第二批这种纪念衫，所购数量是第一批购进量的2倍，但单价贵了 5元.(1)该商家购进

12、的第一批纪念衫是多少件(2)若两批纪念衫按相同的标价销售，最后剩下20件按八折优惠卖岀，且两批纪念衫全部售完利润率不低于16%(不考虑其他因素)，那么每件纪念衫的标价至少是多少元1. 【答案】B2 2 2 1【解析】根据题意得k0且 =(2k+1) 4k 0 ,解得k 且k 0 .故选b.42. 【答案】D720720【解析】按照客户要求，每天应做(48+X )件，则所用的时间为天，又每天做48件，完成的时间为 丄20，则可以列出方程72048型5 .故选D48 x3.【答案】【解析】因为点 p（1 2a,a 2）关于原点的对称点在第一象限内，所以点 P（1 2a,a 2）在第三象限内，所以1

13、 2av 0a 2V01所以一v av 2，又a为整数，所以a =1,所以分式方程22是2，解得x =3,经检验可知x =3是分式方程的解,x 1故选A.4.【答案】B【解析】t关于x的一元二次方程（m1)x25x3m20的常数项为o,，解得m=2.3m 2 0故选B.5.【答案】2(1 10%)(1 x) 1【解析】股票一次跌停就跌到原来价格的90%再从90%的基础上涨到原来的价格，且涨幅只能w 10%设这两天此股票股价的平均增长率为X，每天相对于前一天上涨到由此列方程得(1 10%)(1 x)26.【答案】3【解析】将分式方程3去分母得a xa 2x2a3，由题意知分式方程3有增根 3，把

14、a xx= 3代入a 2x2a可得a6 2a3，解得3.7.【答案】【解析】由判别式大于零，得2(2 m 3)4 m2解得1，即1，二8.【答案】(2 m3)，2m，解得 g 3, m21 .舍去.【解析】解分式方程axax1a的值代入方程-x 21使关于x的分式方程1axx 229.解析】方程两边同乘以 x2得x，解方程得到方程的根为2T x为正整数，=1或一a 21,二能使分式方程 _來x 2=2 （是增根，舍去），解得a=0,把a有正整数解的有1个，x得36有正整数解的概率为2 2x 6x 9 x 9，即 6x 18，则 x经检验X 3不是原方程的解，则 J363 xX1无实数解.10.

15、解析】(1) x2 2x 2 0，即 x22x3，即（x 1）23，则 x 1二 x11- 3, x21 、3.2(2) (X 2)23(x 2)=0，即(X2)(x3)=0 ,0，解得 x12, x25.11.解析】设原来报名参加的学生有x人，依题意，得3204804，解得 X =20.2x经检验，x =20是原方程的解且符合题意.答：原来报名参加的学生有 20人212.解析】（1）把X = 1代入方程X2 2（2 m）x3 6m得 1 + 4 2m + 3-6m = 0，二 m = 1.2此时原方程为x 2x 30，解得x-i 1,x23.故方程的另一根为一3.(2)V= 4( 2 m2)

16、4 ( 3 6m )= 42(m +1) 0,二无论m取什么实数,方程总有实数根.1.【答案】【解析】2(m1)4m28mx22( m1)0,X1X20,1,m 0,0.故选B.2.【答案】【解析】利用新定义得(x1)(x 1)(x1)(1 x)4，即 x2 12x1 4，解得 X!1,X2 2.3.解析】（1）方程两边同时乘以(x1)(x1)得(x1)221，即 x 2x1 ,解得x 1，检验：当x 12时，x 10，二x 1不是原方程的解,二原方程无解（2）方程两边同时乘以2（x 2）得1 （x2）6，解得5，检验：当x5 时，2xx5是原方程的解.4.解析】（1）v关于x的一元二次方程2m 3 x20有实数根，二2 20,即(2m 3)4(m2)0,解得m 12（2）由题意得 x-ix22m 3， mx2m22 0,2 2X1X231 X1X2，二为X22x1x2312X1X2，即 X1 X23x1X2 31 ,2 2 2二 2m 33 m 231，即 m 12m 28 0，二 m114, m21门-m ，二 m