专题跟踪检测不等式选讲理

1、专题跟踪检测(十九) 不等式选讲1. (2018 全国卷n )设函数 f(x) = 5-1 x + a| |x 2|.当a= 1时，求不等式f (x) 0的解集；(2)若f(x) 1,求a的取值范围.2X+ 4, x2.当 x0,解得一2w x2 时，由一2x + 60,解得 20 的解集为x| 2w xw 3. f (x) W1 等价于 |x+ a| + |x 2| 4.而| x + a| + | x 2| |a + 2|，且当x = 2时等号成立.故 f (x) wi 等价于 | a + 2| 4.由 | a+2| 4 可得 aw 6 或 a2.所以a的取值范围是(一汽一6 U 2 ,+)

2、.2. (2018 兰州模拟)设函数 f (x) = |x 3| , g(x) = |x 2|.(1) 解不等式 f (x) + g( x)2 ;(2) 对于实数 x, y,若 f (x) w 1, g(y) w 1,证明：|x 2y+ 1| w 3.解：(1)解不等式 |x 3| + |x 2|2.33 当x2时，原不等式可化为3 x+ 2 x2,解得X：所以-x2. 当2w xw3时，原不等式可化为 3 x+ x 22，解得13时，原不等式可化为x 3+ x 22，解得x7.所以3x|.I 37由可知，不等式的解集为x| 2x2 .(2)证明：因为 f (x) w 1, g(y) w 1,

3、即 | x 3| w 1, |y 2| w 1,所以 | x 2y+ 1| = |( x 3) 2(y 2)| w| x 3| + 2| y 2| w 1+ 2= 3.x= 4,x = 2,当且仅当或时等号成立.y=1y= 33. (2018 开封模拟)已知函数f (x) = | x m| , m2 x;(2) 若不等式f(x) + f(2x)1的解集非空，求 m的取值范围.解：(1)当 m=- 1 时，f(x) = |x +1| , f( x) = |x 1| ,2x, x 1, 设 F(x) = | x 1| + |x+ 1| = 2, K x 1,G(x) = 2 x,由 F(x) G(

4、x)，解得 x w 2 或 x 0,所以不等式f (x) + f ( x) 2 x的解集为x| x0.(2) f (x) + f(2 x) = |x m + |2 x m , m rmt当 mx2时，g(x) = xm 2x = x,“ m则2g(x) m时 g( x) = x 2x m= 3x 2im“m则g(x) 乞m所以g(x)的值域为一2，+m ,若不等式f (x) + f(2 x)扌，解得m 2,又m0,所以m的取值范围是(2,0).4. (2018 全国卷川)设函数 f (x) = |2x+ 1| + |x 1|.(1)画出y= f(x)的图象； 当x 0 ,+)时，f (x) w

5、 ax+ b,求a+ b的最小值.1解：f(X)=3x, x 2,1x + 2, x 1.y= f (x)的图象如图所示.(2)由 知，y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为 部分所在直线斜率的最大值为 3,故当且仅当a3且 f (x) w ax+ b在0 ,+s)成立，因此a+ b的最小值为5. 已知函数 f (x) = |x + 1|.(1)求不等式f(x) f (a) f ( b).解： 当x 1时，原不等式可化为一 x 1 2x 2,解得x 1;当1x 2时，原不等式可化为 x+ 1 2x 2，解得x 2时，原不等式可化为 x + 11.综上，M= x| x1.(2)证明：因为 f (

6、a) f ( b) = |a +1| | b+1| w| a +1 ( b+ 1)| = |a+ b| , 所以要证 f (ab) f (a) f ( b),只需证 | ab+ 1| a + b|，即证 | ab+ 1| | a+ b| ,即证 a或2或解得xw 1或x5,3x 6 9.b2 + 2ab+ 1a2+ 2ab+ b2,即证 a2b2 a2 b2 + 10,即证(a21)( b2 1)0.因为 a, b M 所以 a21, b21,所以(a2 1)( b2 1)0成立，所以原不等式成立.一 一 16. (2018 广东五市联考)已知函数f(x) = | x a| +亦(a0).(1

7、)若不等式f(x) f (x+ m) wi恒成立，求实数 m的最大值；1 当a2时，函数g(x) = f(x) + |2x 1|有零点，求实数 a的取值范围.” r 1 解：(1) f(x+ n) = |x + m a| + 亦.t f (x) f (x + n) = | x a| | x+ m- a| w| n ,当且仅当| wi时，f (x) f (x+ n) wi恒成立, 1 mK 1,即实数m的最大值为1.1当时，g(x) = f(x) + |2x 1| = |x a| +12 x 1| +舟13x+ a+ 1, xa,2a1 1=x a+ 2+1，a x2,2111 2a + a+

8、1 g(x)min = g 二=a+=k0,222a2a10a-,a0,2或 22 2a + a +10,2a + a+1K0解得jw a9的解集； 若函数y =f(x)的最小值为4，求实数a的值.16 3x, xv,解:(1)当 a= 1 时，f(x) = |2x 1| + |x 5| =+ 4所以 f(x) 9x十 1x5, 2 6 3x9x + 49 即所求不等式的解集为(一8, 1 U 5 ,+8).,2 x/ 0a 1,3x 6, x5,1a+ 2 x+ 6，x2，15则 f (x) =2- a x + 4, 2三 xaf(x)的最小值在1 |上取1 5当XV厅时，f(x)单调递减，

9、当X二时，f(x)单调递增,2 a得.在2, I上，当OV aW2时，f(x)单调递增,当2 v a5时，f (x)单调递减,2v aw 5,或fX min = f5=4 a0 v aw 2,1f x min f 24解得a= 2.& (2018 成都模拟)已知函数 f (x) = |x 2| + k|x+1| , k R.(1)当k= 1时，若不等式f (x)4的解集为x| X1x k恒成立，求k的最大值.解：(1)由题意，得 | x 2| + |x+ 1|2时，原不等式可化为52x5,. 2x2；当一1w x2时，原不等式可化为34,.一1w xw2.当x 1时，原不等式可化为2x3,综上，原不等式的解集为x |x k成立， k0.