必修四平面向量基本定理(附答案)

1、平面向量基本定理学习目标1理解平面向量基本定理的内容，了解向量一组基底的含义 2在平面内，当 组基底选定后，会用这组基底来表示其他向量 .3会应用平面向量基本定理解决有关平面向量 的综合问题.壬知退梳理自主学习知识点一平面向量基本定理(1) 定理：如果ei, 02是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向 _a,有且只有一对实数入，d 使 a = Xiei + 02.(2) 基底：把不共线的向量 ei, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.思考 如图所示，ei, e2是两个不共线的向量， 试用e , e表示向量AB, CD, EF, GH , HG ,a.答案 通过观察，可

2、得:AB = 2ei + 3e2,CD =ei + 4 e2 , EF = 4 ei 4e2 ,a= 2 ei.GH = 2ei + 5e2, HG = 2ei 5e2,知识点二两向量的夹角与垂直(i)夹角：已知两个非零向量a和b,如图，作O)A= a,O)B=b,则/ AOB =0(0i80,叫做向量a与b的夹角.ft 范围：向量a与b的夹角的范围是0 i80 . 当0= 0寸，a与b同向. 当0= i80时，a与b反向.垂直：如果a与b的夹角是90 则称a与b垂直，记作a丄b.思考 在等边三角形 ABC中，试写出下面向量的夹角. AB、AC； AB、Ca: BA、CA；AB、BA.答案 A

3、B与AC的夹角为60 AB与CA的夹角为120 BA与CA的夹角为60 AB与BA的夹角为180题型探究重点突破题型一 对向量的基底认识例1如果ei，e2是平面a内两个不共线的向量，那么下列说法中不正确的是 . 砂+姥（入 让R）可以表示平面 a内的所有向量； 对于平面a内任一向量a，使a = ?ei+ e的实数对（人心有无穷多个； 若向量 入ei + eie2与&ei+ ee2共线，则有且只有一个实数 入使得入ei+ ee2= Xbei+ ee2）； 若存在实数 人卩使得?e1 +虔2= 0,则 A 尸0.答案解析 由平面向量基本定理可知，是正确的.对于，由平面向量基本定理可知，一旦一个平面

4、的基底确定，那么任意一个向量在此基底下的实数对是惟一的.对于，当两向量的系数均为零，即入=瓜=pi= （J2= 0时，这样的 入有无数个.跟踪训练1设ei、e2是不共线的两个向量，给出下列四组向量：ei与ei+ e?;ei-2e2与ez 2e仁ei-2e2与4ez- 2e仁ei + e2与ei-e2.其中能作为平面内所有向量的一组基底的序号是 .（写出所有满足条件的序号）答案解析 对于 4e2 2ei= 2ei + 4e2=2( ei 2e2),二ei 2e2与4e2 2ei共线，不能作为基底.题型二 用基底表示向量例2如图所示，已知？ABCD中，E、F分别是BC、DC边上的中点，若AB =

5、a, AD = b,试以a、b为基底表示De、BF.解四边形ABCD是平行四边形，E、F分别是BC、DC边上的中点,AD = BC = 2BE, BA= Cd = 2CF,寻 1 f 1 f 1 f 1 f 1 BE = 2AD = 2b, CF =尹A = 2AB=- qa 二 DE = DA + AB+ BE = AD + AB+ BE1 1=b+ a + qb= a qb,BF = BC+ CF = AD + CF = b qa.跟踪训练2 如图，已知 ABC中，D为BC的中点，E, F为BC的三等分点，若AB= a,AC = b,用 a、b 表示 AD、AE AF.f f f f 1

6、f解 AD = AB + BD = AB+ qBC1 1 1=a + 2（b a） = ?a+ 2 b;f f f f 1 fAE = AB+ BE = AB+ 3BC1 2 1 =a + 3（b a） = a+ 3 b;f f f f 2 fAF = AB+ BF = AB+ 3BC2 1 2=a + 3（b a） = a+ 3 b.题型三向量夹角问题例3 已知|a|= |b|= 2，且a与b的夹角为60设a+ b与a的夹角为a, a b与a的夹角 是求a+ 3解 如图，作 O = a, O）B= b,且/ AOB= 60以OA、OB为邻边作？OACB,则Oc = a + b, BA = O

7、A OB= a b,BC =OA= a.因为|a|= |b|= 2，所以 OAB为正三角形,所以 / OAB= 60= / ABC,即a b与a的夹角3= 60因为|a|= |b|,所以平行四边形 OACB为菱形，所以 OC丄 AB,所以/ COA= 90 60= 30即a+ b与a的夹角a= 30所以 a+ 3= 90 .跟踪训练3 若a丰0,0,且|a|= |b|=|a b|,求a与a+ b的夹角.AC解 由向量运算的几何意义知 a+ b, a b是以a、b为邻边的平行四边形两条对角线.如图，/ |a|= |b|= |a b|,/ BOA = 60又 OC = a + b, 且在菱形OAC

8、B中,对角线OC平分/ BOA , a与a+ b的夹角是30 题型四 平面向量基本定理的应用 例4 如图所示，在 OAB中，OA = a, OB = b,点M是AB上靠近B的一个三等分点，点AN是OA上靠近A的一个四等分点.若 OM与BN相交于点P,求OP.打ffff2 ff2ff12解 OM = OA + AM = OA + 3AB = OA+ (OB OA) = 3 a+ b, 因为OP与OM共线，故可设Op= tOM = 3a + fb.又NP与NB共线，可设 NP = sNB, OP= ON+ sNB=4- 1N , E, B 三点共线，设存在实数m,满足 AE= mAN+ (1 m)

9、AB = mb+ (1 m)a.- 1C, E, M 三点共线，设存在实数n 满足：AE = nAM + (1 n)AC= qna+ (1 n)b.1i所以 mb+ (1 m) a=qn a+ (1 n) b,1m= qn.f1 由于a, b为基底，所以 _ 解得3m = 1 n,3m= 5,2 1 所以 AE = a+ 5b.例5 已知OA= 2a, OB= 2b, OC= a+ 3 b,求向量BA与BC的夹角.错解 由已知得，BA = OA OB = 2a 2b, BC = OC OB= ( a + 3b) 2 b= a+ b,显然 BA=2BC，可见BA与BC共线，故BA与BC的夹角为0

10、错因分析 两个向量共线分为同向共线与反向共线两种情况，当两个向量同向共线时，其夹角为0当两个向量反向共线时，其夹角为180上面的解答没有注意到这个问题，导致出错.正解由已知得，BA= OA OB = 2a 2b, BC= OC OB = ( a+ 3b) 2b= a + b.显然 BA = 2BC,可见BA与BC共线，且是反向共线，故 BA与BC的夹角为180.事当堂检测自查自纠1设ei, e2是平面内所有向量的一组基底，则下列四组向量中，不能作为基底的是（）A . ei + e2 和 ei e2B. 3ei 4 e2 和 6ei - 8 e2C. ei + 2 e2 和 2 ei + e2D

11、. ei 和 ei + e?2. 如图，已知 AB= a, AC = b, BD = 3DC，用a, b表示AD，则AD等于（）3 i 3A . a + 4bB.qa+ 4bC.4 a + ：bD.：a + ： b4 4443.在直角三角形 ABC中，/ BAC= 30 ,则AC与BA的夹角等于（）A. 30 B. 60 C. i20D. i504.设向量 m = 2a 3b,5如图所示，已知梯形n= 4a 2b, p= 3a+ 2b, 试用 m, n 表示 p, p=ABCD 中，AB / DC，且 AB = 2CD , E、F 分别是 DC、AB 的中点,设AD = a, AB= b,试用

12、a、b为基底表示DC、BC、EF.厂课时精练、选择题1 .下列关于基底的说法正确的是 （） 平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底； 基底中的向量可以是零向量； 平面内的基底一旦确定，该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.A .B .C .D.2.如图所示，矩形ABCD 中，E3C= 5ei, DC = 3e2,则 OC等于()A.2(5 ei + 3 e2)iC2(3e2 5ei)iD2(5 e2 3ei)3.如图，已知F分别是矩形 ABCD的边BC、CD的中点，EF与AC交于点G,若AB =a, AD = b,用a、b表示AG等于（）bi ia4a+4bi iB.3a +

13、 3b3 iC4a 4b33d4 a+ 4 b4.设向量ei和e2是某一平面内所有向量的一组基底，若 3xei + (10 y)e2 = (4y 7) ei + 2xe,则实数y的值为（）B . 4 C. TD . 3445.若D点在三角形 ABC的边BC上，且CD = 4DB = rAB + sAC,则3r + s的值为（）16二、填空题6.已知ei、e不共线，a = ei+ 2e2, b= 2ei+砂，要使a、b能作为平面内的一组基底，则实数入的取值范围为7.如图，在四边形 ABCD中，AC和BD相交于点0,设AD = a, AB = b,若AB= 2DC,则AO =（用a和b表示）.&若

14、 |a|=|b|=|a b|= r(r0)，贝U a 与 b 的夹角为 . 9. 如图，在平行四边形 ABCD中，E和F分别是边CD和BC的中点，若AC = 4E+ AF, 其中入 吐R，贝U ?d-.A 门1 2 -10. 设 D , E 分别是 ABC 的边 AB, BC 上的点，AD = qAB, BE = 3BC,若DE = AAB + UC（入，b为实数），贝V入+沧的值为.三、解答题11判断下列命题的正误，并说明理由：(1) 若 ae1 + be2= cc + de2(a、b、c、d R)，贝U a = c, b= d;(2) 若e1和e2是表示平面内所有向量的一组基底，那么该平面

15、内的任一向量可以用e1+ e2e1 e?表示出来.12. 如图，平面内有三个向量 oA、OB oC，其中O)A与宛的夹角为120 O)A与(5C的夹角 为 30 且 |OA|= |OB|= 1, |OC|= 2廳若OC= OA + pOB(入卩 R)，求 H 卩的值.013. 已知单位圆 0上的两点A、B及单位圆所在平面上的一点 P, OA与0B不共线.(1)在厶OAB中，点P在AB上，且AP= 2PB,若AP= rOB + sOA,求r + s的值;P满足0P= m0A+ OB(m为常数)，若四边形OABP为平行四边形，求m的值.解析Ad = Ab + Bd=Aby= ?ti当堂检测答案1.

16、 答案 B解析 B 中，/ 6ei-8e2 = 2(3ei 4s), (6 ei 8 e2)/ (3 ei 4e2),3ei-4e2和6ei 8e2不能作为基底.2. 答案 B 3 t t 3 t t i t 3 t i 3 ：BC = AB + (AC-AB)= jAB+AC = ；a + 寸 b.3. 答案 D解析由向量夹角定义知，Ac、BA的夹角为i504. 答案；m+詮 解析 设 p= xm + yn，则 3a+ 2b= x(2a 3b) + y(4a 2b) = (2x+ 4y)a+ ( 3x 2y)b,2x+ 4y= 3, 得3x 2y = 25. 解 连接 FD , / DC /

17、 AB , AB = 2CD , E、F 分别是 DC、AB 的中点, DC 綊 FB.四边形DCBF为平行四边形.、,-9 -9 1 -9 1依题意，DC= fB = gAB= gb,- - - - - 1 -BC = FD = AD AF = AD gAB 1 EF = DF DE = FD DE = BC gDC1 1 1 1 =(a gb) g x 2 b= 4 b a.课时精练答案一、选择题1. 答案 C错，正确.解析 零向量与任意向量共线，故零向量不能作为基底中的向量，故2. 答案 A- 1 - 1 - -1解析 oc = gAC = 2(BC BA)= 2(5e1 + 3eg).

18、3. 答案 D 1 1 解析 易知 CF = gCD , CE= gCB.设CG = ?CA,则由平行四边形法则可得CG= xCb + Cd)= 2?Ce+ 2 ；Cf ,由于E, G、F三点共线，则2入+ 2匸1 ,即=；从而 CG = 4CA,3 3从而 AG = AC = 4(a + b).4. 答案 B解析 因为 3xe1 + (10 y)e2= (4y 7)e+ 2xe2,所以(3x 4y+ 7)e1+ (10 y 2x)e2 = 0,13x 4y+ 7= 0,|x= 3,又因为ei和e2是某一平面内所有向量的一组基底，所以解得故|10 y2x= 0，|y= 4，S.选B.5. 答案

19、 C解析/ CD= 4DB = rAB + sAC,f 4 f 4 f fCD = 5CB= 5(AB AC)=rAB + sAC,45. 3r + s=雯-45585.二、填空题6. 答案(一a, 4)U (4,+R )解析 若能作为平面内的一组基底，则a与b不共线.a= ei + 2e2, b= 2ei+ &,由kb即得入工4.2 17. 答案 3a + 3b解析 设Ao= ；Ac,ff ff 1 -f-f 1-f则AO = XAD + DC) = XAD + 2AB)=応 + 2 AB.1 2因为D , O , B三点共线，所以 入 + 2入=1，所以入=-,所以 AO= |aD + 1AB = |a+ 3b.&答案 60 解析 作OA= a, Ob = b,则 BA= a b, / AOB 为 a 与 b 的夹角，由 |a|= |b|=|a 口知厶AOB为等边三角形，则 / AOB = 60 9.答案O AM即 OC = OM +ON =石A + QB.解析设AB= a, AD = b,t 1ti则AE = 2a+ b, AF = a+ b,又 T AC= a + b, tT 2 t t24AC = 3（AE + AF）,即