很好的拉普拉斯变换讲解

1、第7章拉普拉斯变换拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法，而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用.本章将扼要地介绍拉普拉斯变换(以下简称拉氏变换)的基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用.拉氏变换的基本概念在代数中，直接计算 3N 6.28 零 202(1.164)是很复杂的，而引用对数后，可先把上式变换为13lg N lg6.28-(lg 5781 lg 9.8 2lg 20)-lg1.16435,然后通过查常用对数表和反对数表，就可算得原来要求的数N .这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法，而拉氏变换则是另一种化繁为

2、简的做法.7.1.1拉氏变换的基本概念定义 设函数f(t)当t 0时有定义，若广义积分f(t)e ptdt在P的某一区域内收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数，记作F(P)，即F(P)f (t)e ptdt(7-1 )称 (7-1 )式为函数f(t)的拉氏变换式，用记号Lf(t) F(P)表示.函数F(P)称为f(t) 的拉氏变换(Lap lace)(或称为f (t)的象函数).函数f(t)称为F(P)的拉氏逆变换(或称 为F(P)象原函数)，记作1 1L F(P) f(t)，即 f(t) L F(P).关于拉氏变换的定义，在这里做两点说明：(1) 在定义中，只要求f(t)在t 0时有定义

3、为了研究拉氏变换性质的方便，以后总 假定在t 0时，f (t)0 .(2) 在较为深入的讨论中，拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值.为了方便起见,本章我们把P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用.(3) 拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换.般来说，在科学技术中遇到的函数，它的拉氏变换总是存在的.例7-1求一次函数f(t) at( t 0, a为常数)的拉氏变换.数，在原来电流为零的电路中，某一瞬时(设为t 0)进入一单位电量的脉冲，现要确定电Lat解ate pt dt0p 0td(e pt)空e ptbp旦eptdtp 0aptapt r

4、a0 e dt 2 e 02P 0pp(p0).7.1.2单位脉冲函数及其拉氏变换在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时，要涉及到我们要介绍的脉冲函路上的电流i(t)，以Q(t)表示上述电路中的电量，则Q(t)由于电流强度是电量对时间的变化率，即0,t0,1,t0.i(t) dQdtlimQ(tt) Q(t)t 0t所以，当t 0时，i(t) 0 ；当t 0时,i(0)limt 0t) Q(0) tHtm0(+)上式说明，在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强 度.为此，引进一个新的函数，这个函数称为狄拉克函数.定义0, t 0(t)，当0时， (t)的极限(

5、t) li叫(t)称为狄拉克(Dirac )函数，简称为 函数.当t 0时,(t)的值为0 ；当t 0时,(t)的值为无穷大,(t)即0,t0,t 0(t)(t)的图形如图7-1和图7-2所示.显然，对任何0，有(t) dt 1 dt 10，所以(t) dt 1工程技术中，常将函数称为单位脉冲函数，有些工程书上，将函数用一个长度等于1的有向线段来表示(如图7-2所示)，这个线段的长度表示函数的积分，叫做函数的强度.例7-2求(t)的拉氏变换.解根据拉氏变换的定义，有L(t)0(t)e ptdt(li叫)e ptdtli叫 0 eptdt lim01lim 0e ptp1 limp1 limp(

6、1 e p )1 limPpe0 11 pte dt0p1即 L (t)1.u(t)7-3求单位阶梯函数0,1,Lu(t) 0 u(t)eptdt7-4求指数函数f (t)at eLeat0at ee ptdt0的拉氏变换.为常数)的拉氏变换.e (p a)tdta)，即Ljpaa)(p 0).Lsin类似可得t0);Lcost0)求1-4题中函数的拉氏变换1.f (t) e4t习题7 - 12. f(t)t3. f(t)teat4. f(t)sin(t )(,是常数).拉氏变换的性质拉氏变换有以下几个主要性质,利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换.性质1 （线性性质）若a1,a2

7、是常数，且Lf1（t）F1(p)L f2 (t)F2（P），则证明Lai fi (t)a2 f2 (t)dLfi(t)azLKt)aiR(P) a2F2(p)(7-2 )Laifi(t)a2f2(t)a f1 (t)a2 f2 (t) e ptdt0矶锂)a2Lf2(t)a1f1(t)e ptdt0a2f2(t)e ptdt0例7-5求下列函数的拉氏变换:(1)f(t)-(1aa2F2(p)(2) f(t)sin t cost1L (1aat)1L1 aat -e 1L1 aLeat1p(p a)Lsi nt cost L丄 si n2t(2) 22p2221p24性质2 （平移性质）若L f

8、（t）F(p),aLe f(t) F(p a)(a为常数）.(7-3 )证明Leatf(t)ate0f(t)e ptdtf(t)e(p0a)tdt F(p a)位移性质表明：象原函数乘以at e等于其象函数左右平移个单位.例 7-6 求 Lteat , Le at sinatt和 Le cos t1Lt Lsin t 解因为p ,2 Lcos t pp2 2p，由位移性质即得Lteat7?Le at cos t性质3 (滞后性质)1a)P a2 2。(P a)Lf(t) F(p)LeS t k，则Lf(ta)eapF(p)(a 0) .(7-4)证明叫a)f (t a)e ptdtaf(t0a

9、)eptdtf (t a)e ptdta，在(即 ta)时，f (t a) 0，所以上式右端的第一个积分为0 ,对于第二个积分，令t a，则Lf(ta)0f( )e p( a)d e apf ( )e p d e0apF(p)滞后性质指出:象函数乘以ape等于其象原函数的图形沿t轴向右平移a个单位(如图7-3所示).当 t 0 时，f (t)0 .拉氏变换的定乂说明中已指出，因此，对于函数f(t a)，当t a 0由于函数f(t a)是当t a时才有非零数值.故与f(t)相比，在时间上滞后了一个 a值，正是这个道理，我们才称它为滞后性质在实际应用中，为了突出“滞后”这一特点，常在f(t a)这

10、个函数上再乘u(t a)，所以滞后性质也表示为Lu(t a)f (t a)eF(p)例 7-7 求 Lu(ta).解因为Lu(t)1Lu(ta)e ap1p ,由滞后性质得p .a(t例7-8求Le)u(t).Leat1Lea(t )u(t)e -1，(p a)解因为p a，所以p a例7-9求下列函数的拉氏变换:(1)f(t)Ci,0 t a,f (t)a t. (2)3,0 t2,1, 2 t 4,0,4t.解(1)由图7-4容易看出，当t a时，f(t)的值是在G的基础上加上了( C2 G),即(C2 Ci)u(t a).故可把 f(t)写成 f(t) c,u(t) (C2 Ci)u(t

11、 a)，于是C1Lf(t)-PC2 C1a pC1(C2a pG)ePP(2 )仿(1),把 f (t)写成 f (t)3u(t)4u(t2)u(t4)，于是32p4ee 4p34e2p4peL f (t)-PPPp我们可以用拉氏变换定义来验算例7-9所得的结果.由例7-9看出，用单位阶梯函数可将分段函数的表达式合写成一个式子.0,t0f(t)例7-10已知c,0 t a2c,a t 3a0,t 3a ，求 Lf(t)解：如图7-5所示，f(t)可用单位阶梯函数表示为f(t) CU(t) CU(t a) 2cu(t 3a),于是L f(t) Lcu(t) cu(t a) 2cu(t 3a)CC

12、apC3ap Cap3ap、e 2 e(1 e 2e )PPPP由拉氏变换定义来验证：a3aLf(t)ce ptdt02ce ptdtaC(1 eap2e ap 2e3ap)-(1 e ap 2e 3ap)PP性质4 (微分性质)若Lf(t) F(p)，并设f(t)在0 , +上连续，f (t)为分段连续，则L f (t) pF(p) f(0) (7-5)证明 由拉氏变换定义及分部积分法，得L f (t) f (t)e ptdt0 f (t)e pt 0f (t)e ptdt可以证明，在 L f (t) 存在的条件下，必有lim f (t)e pt因此，微分性质表明：L f (t) 0 f (

13、0)pLf (t) pF(p)f (0)一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p ，再减去函数的初始值应用上述结果，对二阶导数可以推得Lf (t) pLf (t) f (0) p pF(p) f(0)2f (0) p2F(p) pf (0)f (0)同理，可得Lf (t)p3F(p) p2f(0)pf (0) f (0)以此类推，可得由此可见，Lf(n)(t) pnF(p) pn 1f(0)pn2f (0)(n 1) (0)7-6)f(t)各阶导数的拉氏变换可以由P的乘方与象函数 F (p)的代数式表示出来特别是当初值 f(0)f(0)f(0) f (0)0时，有更简单的结果L

14、f(n)(t) pnF(p)，(n 1,2, ) (7-7)利用这个性质，可将f (t)的微分方程转化为F ( P)的代数方程.例7-11利用微分性质求Lsin t和Lcos t.2解令 f(t) sin t，则 f (0)0, f (0), f (t)sin t，由比式，得L 2sin t Lf (t)p2Lf(t)pf(0) f (0)，即222Lsin t p2Lsin t ,移项化简得Ls in t利用上述结果,cos t (sin t)Lcos t L1(sin t)L(sint) - pLsint sinO及(7-5 )式，可得2 0性质5 (积分性质)若 Lf(t)F(P)(P)

15、，且设f(t)连续，则tL0f(x)dx旦p(7-8)(t)证明令f (x)dx，显见(0) 0且因(t)f(t)，由微分性质,L (t) pL (t)，而 L (t)Lf(t) F(p)，所以有t t 1F(p) pL (t) pL f (x)dx L f(x)dx -F(p)0，即 0p积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换，等于这个函数的象函数除以参数t解因为(7-8 )式即得t1dx， t20t2xdx，t30t3x2dxtn0 tn 1 nx dx0Ltt1L1 T1!L 1dx2 ,0ppp2t2Lt2!Lt L2xdx3 ,0pp3 =t23Lt2x dx3!Lt L34 ,0

16、pp例7-12求L ( n是正整数)-般地，有所以由nt n 1 nLt n!Lt Ln x dt百0p p性质F(P)，则Lf(at)十日(7-9 )性质Lf(t)F(p)，则Ltnf(t)1)nF(n)(p)(7-10 )性质Lf(t)F(P)，且L孕F(p)dpp(7-11 )例 7-13求 Ltsint解因为例 7-14解因为sintLs in tLtsinsint 求LtLsi ntL罟由（7-10）式可得t而且12pe ptdt arctg即0 tlim牠t 0 t2p2 2 2(p )1，所以由（7-11 ）式可得严 arctgp|p-arctg p因此，当p 0时，得到一个广义

17、积分的值这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的.现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下:表7-1拉氏变换的性质序号设 Lf(t) F(p)1La1 f1(t) a2f2(t)aMf/t) a2Lf2(t)2Leatf(t) F(p a)3Lf(t a)u(t a) eapF(p)(a0)4Lf(t) pF(p) f(0)Lf (n)(t) pnF(p) pn1f(0) pn2f(0)f(n1)(0)5tF( p)L f(x)dx0p61pLf(at) -F(上)a a ( a0)7Ltnf(t)( 1)nF(n)(p)8L f(t)F(p)dptp表7-2

18、常用函数的拉斯变换表序号f(t)F(p)1(t)12u(t)1 p3t12 p4tn(n 1,2,.)n!n 1 p5at1ep a61 e atap(p a)7teat1(p a)28tneat(n1,2,)n!(P a)9sin t2 2p10cos tp2 2 P11sin( t )psincos2 2p12cos( t )pcossin2 2 p13tsin t2 p2 2 2 (p)14sin t t cos t2 3z 22 2(p)15tcos t2 2p/ 22X2(p)16at .,e sint2 2(p a)17e at cos tp a(p a)221812 (1 cos

19、at) a1z22Xp(p a )19atbte ea b(p a)(p b)202卩pJ p211亠J p习题7-2求5-12题中函数的拉氏变换4t5. 3e .6 . 5sin2t 3cost7.sin 2tcos2t.8 .3 sint.1t4,si nt, t9.f(t)-1,t4.1.f(t)t, t.,t2,J1,2t4,11.f(t)L，4t.12.f(t)tneat .拉氏变换的逆运算前面我们主要讨论了怎样由已知函数面是已知象函数 F （p）要求它的象原函数f（t），这就是拉斯逆变换问题同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出.1 1L aF(p) a2F2(p)aFg)

20、1a?L F2(p) a,(t)a?f2 (t)1性质2 （平移性质）L F（P a）eatL1F(p)eatf(t)性质3 （滞后性质）L e PF（P）f(t a) u(ta)f （t）求它的象函数 F （p）的问题运算法的另例7-15求下列象函数的逆变换:F(p)(1)(2)F(p)F(p)(3)2p 52p(4)解（1）将a3代入表二（(p2)34p32 p4L11p31F(p)ef(t)5)，得3t（2）由性质2及表二（4），得2p 3F(P)2例7-16求P 2p 5的逆变换.f(t)L12p 3l12(p5解P2p 5(P 1)42L1 P J5l12(P 1)42 (P 1)4

21、f(t) Lg2t 113 e L T Pt e 2L1 -t2e2tLp32(3)由性质1及表二(2)、(3),得1 2 p 5 f(t) L1P2L5L1 11 22 5tP(4)由性质1及表二(9)、(10),1 4 p 3 f(t) L -pP144L七P 43l24cos2t -si n2t P 42ct.1r P ,5 t 12 r2e L 2 e L 2P 42 P 4t5 tt52e cos2te sin 2t e2cos2t sin2t2 2在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时,通常遇到的象函数常常是有理分式，对然后再利用拉氏变换11112t3t7L 1 6L 1 7e

22、6eP 2p 3于有理分式一般可米用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和,F(P) 求P9例 7-17P25p 6的逆变换.解先将F(P)分解为两个最简分式之和P 9P9AB2p 5 p 6(P 2)( p3)P2 p 3P 976用待定系数法求得A7Bc26，所以p5p6P 2 P 3，于是表求出象原函数.f(t) L1F(p)7讥2解第一步对方程两边取拉氏变换，并设Lx(t) X(p):解 先将F ( P)分解为几个简单分式之和:P 34P24P P( p2)2C(P 2)2所以A用待定系数法求得2tF(p)f(t)%2t23_p3 4p2 4P2(P 2)211 3L1F(p) L1

23、-4 P143 14 P 22 2l1P 22 (p2爲1习题7-3求13-18题中函数的拉氏逆变换F(P)F(P)4pp2 16F(P)15.2p2P836 .162 _F(P)P 23亠 29p17.p6p13.14 .F(P)1P(P1)(P)F(P)2 p118 .P(P1)2拉氏变换应用举例下面举例说明拉氏变换在解常微分方程中的应用.例7-19求微分方程x(t) 2x(t) 0满足初值条件x(0) 3的解.Lx(t) 2x(t)L0,Lx(t)2Lx(t)0 ,pX(p) x(0)2X(p)0将初始条件x(0)3代入上式，得(p 2)X( p) 3 .这样，原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程.3第二步解出 X( P): X(p)= p 2 .第三步求象函数的拉氏逆变换:这样就得到了微分方程的解x(t)3e1x(t) L X(p)2t由例7-19可知，用拉氏变换解常系数线性微分方程的方法的运算过程如表32tL 3e7-3 :1的解.例7-20求微分方程y3y2y2e t满足初值条件y(0