圆的内接四边形

1、例 圆内接四边形 ABCD中，/ A、/ B、/ C的度数的比是3 : 2 : 7,求四边形各内角度数.解：设/ A / B、/ C的度数分别为 3x、2x、7x./ ABCD是圆内接四边形./ A + / C=180 即 3x+7x=180 , x=18, / A=3x=54,/ B=2x=36,/ C=7x=126,又/ B+/ D=180, / D=180 一 36= 144.说明：巩固性质；方程思想的应用.例如图，已知AD是厶ABC的外角/ EAC的平分线，AD与三角形ABC的外接圆相交于 D.求证:DB=DC分析：要证 DB=DC只要证/ BCD/ CBD充分利用条件和圆周角的定理以

2、及圆内接四边形的性质，即可解决.说明：角相等的灵活转换，利用圆内接四边形的性质作桥梁.例 如图， ABC是等边三角形，D是0C上任一点，求证： DB+DC=DA分析：要证明一条线段等于两条线段的和，往往可以“截长”和“补短”法，本题两种方法 都可以证明.证明： 延长DB至点E,使BE=DC连AE 在厶 AEB和 ADC中, BE=DC ABC是等边三角形. AB=AC四边形ABDC是O 0的内接四边形, / ABE玄 ACD AEBA ADC / AEB=/ ADC/ ABC/ ADEN ACB又 I/ ABC玄 ACB= 60,/ AEB=/ ADE=60 . AED是 等边三角形， AD=

3、DE=DB+BE/ BE=DC DB+DC=DA说明：本例利用“截长”和“补短”法证明培养学生“角相等的灵活转换”能力在圆中,圆心角、圆周角、圆内接四边形的性质构成了角度相当转换的一个体系，应重视.例如图，ABCD是O O的内接四边形，AH CD，如果HAD 30，那么 B ()A. 90 B . 120 C . 135 D . 150 说明：“圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角”这个定理很重要，要正确运用例 如图，AD是 ABC外角 EAC的平分线，AD与ABC外接O O交于点 D, N为BC延长线上一点，且CN CD, DN 交OO于点 M求证：(1) DB DC

4、;2(2) DC CM DN .分析：(1)由于DB与DC是同一三角形的两边，要证二者相等就应先证明它们的对角相等，这可由圆周角定理与圆内接四边形的基本性质得到：(2)欲证乘积式2DC CMDC CMDC2 CM DN.,只须证比例式，也即，这只须要证明 DCMDN DCDN CNs DNC即可.说明：本题重在考查圆周角与圆内接四边形的基本性质和利用相似三角形证明比例线段的基本思维方法BCDC例 如图，已知四边形 ABCD是圆内接四边形， EB是。O的直径，且EB AD，AD与BC的延长线相交于 F.求证：FD说明：本题考查圆内接四边形性质的应用，解题关键是辅助线构造ABC ,再证 ABC s

5、 FDC .易错点是不易想到证FCDACB而使解题陷入困境或出现错误例 如图，AB是OO的直径，弦（非直径） CD AB , P是O O上不同于C, D的任一 点.（1）当点P在劣弧CD上运动时，APC与 APD的关系如何请证明你的结论；（2）当点P在优弧CD上运动时， APC与 APD的关系如何请证明你 的结论（不要讨论 P点与A点重合的情形）分析：利用在同圆中，圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定 理来解决.选择题1. 在圆的内接四边形 ABCD中，A和它的对角 C的度数的比为1： 2，那么 A为（）A. 30 B . 60 C . 90 C . 120 2四边形ABC呐接于圆， A、 B、

6、 C、 D的度数依次可以是（）A. 1: 2: 3： 4 B . 6: 7： 8: 9 C . 4： 1: 3： 2 D . 14： 3： 1 : 123.四边形ABCD内接于圆，A、 B、 C、D的度数比依次可以是（）A. 1:2:3:4B. 4:2:3:1C. 4:3:1:2D. 4:1:3:24.如图，四边形 ABCD内接于O O , BOD 110，那么 BCD的度数为（）J:r-A. 125 B. 110 C. 55D. 705如图，O o,与O O2交于A、B两点，且O O2过O O,的圆心O,，若 M 40，则 N等于()D)AA. 40B. 80C. 100D.706.圆内接平

7、行四边形-.宀曰/定是()(A)矩形(B)正方形(C)菱形(D)梯形7.已知AB CD是O O的两条直径，则四边形ADB(一宀曰/疋疋()A.矩形B 菱形 C 正方形 D 等腰梯形8、四边形ABCD内接于圆，则/ A、/ B、/ C、/ D的度数比可以是 ()(A) 1 : 2 : 3 : 4(B) 7 : 5 : 10 : 8(C) 13 : 1 : 5 : 17(D) 1 : 3 : 2 : 49、若 ABCD为圆内接四边形， AEL CD于 E,/ ABC=130，则/ DAE%()P(A) 50( B) 40( C) 30( D) 2010、如图，圆内接四边形 ABCD勺一组对边 AD

8、 BC的延长线相交于P,对角线 AC和BD相交于点 Q,则图中共有相似的三角形()(A) 4 对(B) 3 对(C) 2 对 (D) 1 对11.如图，在 ABC , AD是高,ABC的外接圆直径AE交BC边于点GB有下列四个结论：(1) AD2 BD CD ； ( 2) BE2 EG AE ； (3) AE AD AB AC ；（4） AG EG BG CG .其中正确的结论的个数是（）A. 1个B . 2个C . 3个D . 4个12. 已知：如图，劣弧；上；卜，那么 B D的度数是（）A. 320 B . 160 C . 150 D . 20013. 钝角三角形的外心在（）A.三角形内

9、B 三角形外 C 三角形的边上D 上述三种情况都有可能14. 圆内接平行四边形的对角线（）A.互相垂直 B .互相垂直平分C.相等D.相等且平分每组对角15.如图，已知四边形 ABCD是O O的内接四边形，且AB CD 5, AC命题错误的是（A.ABEDCEBDA 45C.S四边形ABCD24.5图中全等的三角形共有答案:1. B 2.D 4. A 5. D 6、A;7. A 8、C;B;10、A. 11 . B 12. B 13. B 14. D15. D.填空题1. 已知ABCD是圆内接四边形，若/ A与/ C的度数之比是1 : 2,则/ A的度数是 度.2. 若A, B, C, D四点

10、共圆，且/ ACD为36，则二-所对的圆心角的度数是 度.3. 圆内接四边形相邻三个内角的比是2 : 1 : 7,则这个四边形的最大角的度数为 度.4. 圆上四点 A、B、C、D，分圆周为四段弧，且 环厂用心左.=1:2:3:4，则圆内接四边形ABCD的最大角是5. 圆内接四边形 ABCD中，若 EBC是 ABC相邻的一个外角，且EBC 105 ，C 93 ，贝U D ， A ，若 A: B: C 1:2:3，则D , A 6. 四边形 ABCD内接于圆， A、 C的度数之比是 5:4 , B比 D大30，则A , D 7. 圆内接梯形是 梯形，圆内接平行四边形是 &圆内接四边形 ABC中,如

11、果 A: B: C 2:3:4，那么 D 度.9在圆内接四边形 ABC中, A: B: C 4:3:5，贝U D .10.如图，在圆内接四边形 ABC中, AB AD, BAD 30 , AC，则四边形 ABC的11. 如图，把正三角形 ABC的外接圆对折，使点 A落在讦I的中点A，若BC 5，则折痕在 ABC内的部分DE长为.A1答案:1. 60;2. 72; ;4.126 5.105 , 87 , 90 , 45 ;6.100 , 75 7.等腰,矩形.8 .90 9 . 120 10 . 3 2 a 11410 .3 CADDBE解答题1如图，已知：ABCD为圆内接四边形，(1 )若DB

12、/ CE求证:BC=CD BE; (2)若 AD： BC=CD BE,求证：DB/ CE .2、已知：O O中，直径 AB垂直弦CD于 H, E是CD延长线上一点，AE交O O于F.求证：/AFC=Z DFEDBA ,3.如图，已知四边形ABCD内接于圆，DC、AB的延长线相交于 E ,且 CBE求证：AD BE EC BD4如图，点 A、D在O O上，以点 A为圆心的O A交O O于B、C两点，AD交O A于点E，交BC于点F，求证:AE2 AF AD5已知圆内接四边形，ABCD中， A: B: C 2:5:4，求最小的角。6如图，在 ABC中，AB AC , BD平分 ABC交AC于D , ABD的外接圆交BC于E.求证：AD CE7如图，ABC是圆内接正三角形， P为劣弧存上一点，已知 AB 2. 7,PA 6. (1) 求证：PB PC PA; (2)求 PB PC的长(PB PC)&如图，已知：菱形 ABCD勺对角线 AC BD相交于点 O, O O是 ABD的外接圆，E是OO上的一点，连结 AE并延长与BD的延长线相交于点 F.求证：AC2 BD2 4AE AF .9.如图，BC是O 0的直径，ADBC，垂足为D,初=AF ,BF交AD于点E(1) 求证 AF2 BE BF ;(2) 若 BD 1, AD