高中数学必修1知识点总结03函数的应用

1、www.ma bos hi r net高中数学必修1知识点总结03函数的应用【编者按】面对实际问题时，如何选择恰当的函数模型解决问题呢？函数应用将会告诉同学们不同函数模型间增长的差异， 以及选择函数模型解决问题的方法。 教材要求：理解函数与 方程之间的联系；学会利用函数性质和图象求方程近似解的方法(二分法)；初步运用函数思想解决实际问题。一、函数与方程课标要求：1 结合二次函数的图像，判断一元二次方程根的存在性及根的个数，从而了解函数的 零点与方程根的联系；2根据具体函数的图像，能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解，了解这种方 法是求方程近似解的常用方法。要点精讲：1. 方程的根与函数的零

2、点(1) 函数零点概念：对于函数 y f(x)(x D)，把使f(x)=O成立的实数x叫做函数 y f(x)(x D)的零点。函数零点的意义：函数 y= f(x)的零点就是方程f(x)=0实数根，亦即函数 y=f(x)的图象与 x轴交点的横坐标。即：方程 f(x)=0有实数根：二 函数y= f(x)的图象与x轴有交点：二 函数 y= f(x)有零点。二次函数y=ax2+bx+c(a工0)的零点：0,方程 ax2+bx+c =0有两不等实根，二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点；2)=0，方程ax2+bx+c=0有两相等实根(二重根)，二次函数的图象与 x轴有一个 交点，二次函数有

3、一个二重零点或二阶零点； ) V0,方程 ax2+bx+c=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点。零点存在性定理：如果函数y f(x)在区间a, b上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a) f(b)0 ,那么函数y= f(x)在区间(a,b)内有零点。既存在 c (a,b),使得f(c)=0 ,这个c 也就是方程的根。2. 二分法二分法及步骤：对于在区间a , b上连续不断，且满足f(a) f(b)0的函数y=f(x)，通过不断地把函数f(x) 的零点所在的区间一分为二， 使区间的两个端点逐步逼近零点， 进而得到零点近似值的方法 叫做二分法.给定精度E，用二分法求函数f(x

4、)的零点近似值的步骤如下：(1) 确定区间a , b，验证f(a) f(b)0,给定精度E ;(2) 求区间(a,b )的中点X!；(3) 计算 f(xi): 若f(x1)=0，则x1就是函数的零点； 若 f(a) f(xi)0,则令 b=xi (此时零点 x (a,xj)； 若 f(xi) f(b)0,则令 a=xi (此时零点 xo (xi,b)；(4) 判断是否达到精度 E ；即若| a -b g ,则得到零点零点值 a (或b)；否则重复步骤24。注：函数零点的性质从“数”的角度看：即是使 f(x)=0的实数；从“形”的角度看：即是函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标；若函数f(x)的

5、图象在x=xo处与x轴相切，则零点xo通常称为不变号零点；若函数f(x)的图象在x=x0处与x轴相交，则零点x0通常称为变号零点。注：用二分法求函数的变号零点：二分法的条件f(a) f(b)0 , f(x)在区间p, q上的最大值M，最小值m,令x0二卫q 。若p，贝U f(p)=m, f(q)=M ；2a=m , f(q)= M ；卄b右q，贝U f(p)= M, f(q)=m。2a(3)二次方程f(x)=ax2+bx+c=0的实根分布及条件。方程f(x)=O的两根中一根比r大，另一根比r小:二a f(r) 0,f(x)=0的两根都大于r . r,2aa f(r)0二次方程f(x)=0在区间

6、(p, q)内有两根f2A =b -4ac 0,I bp = 0,a f(p) 0;二次方程f(x)=0 在区间(p, q)内只有一根二 f(p) f(q)0，或 f(p)=0(检验)或 f(q)=0(检验)检验另一根若在(p, q)内成立。注：由于二次函数的解析式简捷明了，易于变形(一般式2y=ax +bx+ c、顶点式 y=a(x xo)2+ n、零点式y=a(x x”(x 血)等；)，所以，在解决二次函数的问题时，常常借助其解析式,通过纯代数推理，进而导出二次函数的有关性质。(1)二次函数的一般式 y=ax2+bx+c (c工0)中有三个参数a,b,c.解题的关键在于：通过三个独立条件确

7、定”这三个参数。(2)数形结合：二次函数f(x)=ax2+bx+c (a工0)的图像为抛物线，具有许多优美的性质，如对称性、单调性、凹凸性等。结合这些图像特征解决有关二次函数的问题，可以化难b和区间，；)2a上分别单调，所以函数 f(x)在闭区间上的最大值、最小值必在区间端点或顶点处取得；函数2b为易，形象直观。因为二次函数f(x)=ax2+bx+c (a工0)在区间(-二2af (x)在闭区间上的最大值必在区间端点或顶点处取得。二、函数模型及其应用课标要求:1 利用计算工具，比较指数函数、对数函数以及幕函数增长差异；结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同函数类型增长的含义;2收集一些

8、社会生活中普遍使用的函数模型（指数函数、对数函数、幕函数、分段函 数等）的实例，了解函数模型的广泛应用。要点精讲：1.解决实际问题的解题过程（1）对实际问题进行抽象概括：研究实际问题中量与量之间的关系，确定变量之间的 主、被动关系，并用 x、y分别表示问题中的变量；（2）建立函数模型：将变量 y表示为x的函数，在中学数学内，我们建立的函数模型 一般都是函数的解析式；（3）求解函数模型：根据实际问题所需要解决的目标及函数式的结构特点正确选择函 数知识求得函数模型的解，并还原为实际问题的解这些步骤用框图表示：实珏问题函数模型的解实际问题的解2.解决函数应用问题应着重培养下面一些能力：（1）阅读理解

9、、整理数据的能力：通过分析、画图、列表、归类等方法，快速弄清数据之间的关系，数据的单位等等；（2）建立函数模型的能力：关键是正确选择自变量将问题的目标表示为这个变量的函数，建立函数的模型的过程主要是抓住某些量之间的相等关系列出函数式，注意不要忘记考察函数的定义域；（3）求解函数模型的能力： 主要是研究函数的单调性， 求函数的值域、最大（小）值, 计算函数的特殊值等，注意发挥函数图象的作用。附注：怎样选择数学模型分析解决实际问题数学应用问题形式多样，解法灵活。在应用题的各种题型中，有这样一类题型：信息 由表格数据的形式给出，要求对数据进行合理的转化处理，建立数学模型，解答有关的实7快乐学习*www.ma bos hi r net际问题。解答此类题型主要有如下三种方法:（1）直接法：若由题中条件能明显确定需要用的数学模型，或题中直接给出了需要用 的数学模型，则可直接代入表中的数据，问题即可获解；（2）列式比较法：若题所涉及的是最优