《导数及其应用》知识点总结

1、导数及其应用知识点总结、导数的概念和几何意义1. 函数的平均变化率：函数2. 导数的定义：设函数 yf(x)在区间Xi, x2上的平均变化率为:f(X2) f(Xi)X2 Xif(x)在区间(a,b)上有定义，Xo (a,b)，若 x无限趋近于0时，比值 丄 竺一X) f(Xo)无限趋近于一个常数 A，则称函数f(x)在x Xo处可导，XX并称该常数A为函数f(x)在X Xo处的导数，记作f (Xo)。函数f (X)在X Xo处的导数的实 质是在该点的瞬时变化率。3. 求函数导数的基本步骤：(1)求函数的增量y f (xox) f (xo) ； ( 2 )求平均变化率： 止_x) f (Xo)

2、 ；( 3)取极限，当 X无限趋近与o时，尘一x) f(Xo)无限趋XX近与一个常数A，贝y f (xo) A .4. 导数的几何意义：函数f(x)在X Xo处的导数就是曲线 y f(x)在点(Xo，f(Xo)处的切线的斜率。由此，可以利用导数求曲线的切线方程，具体求法分两步：(1) 求出y f(x)在xo处的导数，即为曲线 y f(x)在点(xo,f (xo)处的切线的斜率;(2) 在已知切点坐标和切线斜率的条件下，求得切线方程为y yof (xo)(x xo)。当点P(Xo, yo)不在y f (x)上时，求经过点 P的y f (x)的切线方程，可设切点坐标,由切点坐标得到切线方程,再将P

3、点的坐标代入确定切点。特别地，如果曲线y f (x)在点(Xo, f(Xo)处的切线平行与y轴，这时导数不存在，根据切线定义，可得切线方程为x Xo。5. 导数的物理意义：质点做直线运动的位移S是时间t的函数S(t)，则V S(t)表示瞬时速度，a v (t)表示瞬时加速度。二、导数的运算1. 常见函数的导数：(1)(kx b) k(k, b 为常数)；(2)C0(C为常数);(3)(x)1 ;(4)(x2)2x ;(5)(x3) 3x2 ；(6)(1)1X2 ；(7)(x)1 .2,.x ；(8)aa(x ) a1 ( a为常数)；(9)(ax):ax In a(a 0,a1)；(10)(l

4、og a x)11-logae- (a 0,a 1):xxl na(11)(ex)xe ；(12)(ln x)丄x；(13)(sin x)cosx ；(14)(cosx)sin x。2.函数的和、差、积、商的导数：(1)f(x)g(x) f (x) g (x)；(2)Cf (x)Cf (x) (C为常数)；(3)f(x)g(x) f (x)g(x) f (x)g (x)；(4)第f (x)g(x) f(x)g (x)0)。2 (g(x) g (x)3.简单复合函数的导数：若 y f (u), u ax b，贝V 乂 yu ux，即 yx yu a。三、导数的应用1. 求函数的单调性：利用导数求

5、函数单调性的基本方法：设函数y f(x)在区间(a,b)内可导，(1) 如果恒f(x)0,则函数yf (x)在区间(a,b)上为增函数；(2) 如果恒f(x)0,则函数yf (x)在区间(a,b)上为减函数；(3) 如果恒f(x)0,则函数yf (x)在区间(a,b)上为常数函数。利用导数求函数单调性的基本步骤：求函数y f(x)的定义域；求导数 f (x)；解不等式f (x) 0 ,解集在定义域内的不间断区间为增区间；解不等式f (x) 0,解集在定义域内的不间断区间为减区间。反过来，也可以利用导数由函数的单调性解决相关问题(如确定参数的取值范围)：设函数y f (x)在区间(a,b)内可导

6、，(1) 如果函数y f(x)在区间(a,b)上为增函数，则f (x)0 (其中使f (x)0的x值不构成区间)；(2) 如果函数y f(x)在区间(a,b)上为减函数，则f (x)0 (其中使f (x)0的x值不构成区间)；(3) 如果函数y f(x)在区间(a,b)上为常数函数，则f (x)0恒成立。2. 求函数的极值：设函数y f(x)在x。及其附近有定义，如果对X。附近的所有的点都有f(x)f(x0)(或f (x) f(x)，则称f(x)是函数f (x)的极小值(或极大值)可导函数的极值，可通过研究函数的单调性求得，基本步骤是:(1 )确定函数f(x)的定义域；(2)求导数f (x)

7、; (3)求方程f (x) 0的全部实根，Xi x2 L Xn，顺次将定义域分成若干个小区间，并列表：x变化时，f(X)和f (x)值的变化情况：X正负0正负0正负单调性单调性单调性(4)检查f (x)的符号并由表格判断极值。3. 求函数的最大值与最小值：如果函数f (x)在定义域I内存在x0，使得对任意的x I，总有f (x)f(x0)，则称f(Xo)为函数在定义域上的最大值。函数在定义域内的极值不一定唯一，但在定义域内的最值是唯一的。求函数f (x)在区间a,b上的最大值和最小值的步骤：(1 )求f (x)在区间(a,b)上的极值；(2)将第一步中求得的极值与f(a), f(b)比较，得到f(x)在区间a,b上的最大值与最小值。4. 解决不等式的有关问题：(1)不等式恒成立问题(绝对不等式问题)可考虑值域。f(x)(x A)的值域是a,b时，不等式f(x) 0恒成立的充要条件是 f(X)max 0，即b 0 ；不等式f(x)0恒成立的充要条件是f(x)min 0,即a 0。f (x)(x A)的值域是(a, b)时，不等式f(x) 0恒成立的充要条件是 b 0 ；不等式f(x) 0恒成立的充要条件是 a 0。(2)证明不等式f(x) 0可转化为证明f(X)max 0，或利