高等数学(交大)教案第二章

1、高等数学教案第二章一元函数微分学3第二章一元函数微分学内容及基本要求：1 .理解导数和微分的概念，理解导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间 的关系。2 .会用导数描一些物理量。3 .掌握导数的四则运行法则和复合函数的求导法，掌握基本初等函数双曲函数的公式，了解微分四则运算法则和一阶微分形式不变法。4 . 了解高阶导数的概念。5 .掌握初等函数一阶、二阶导数的求法。6 .会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数，会求反函数的导数。学习重点：导数和微分概念；导数的四则运行法则和复合函数的求导法， 基本初 等函数、双曲函数的公式；初等函数一阶、二阶导数的求法；隐函数 和参数式所确定的函数的

2、一阶、二阶导数。学习难点：复合函数的求导法；隐函数和参数式所确定的函数的导数。第一节导数的概念一.导数的定义1 .问题的引入(以物理学中的速度问题为例，引入导数的定义)自由落体运动的瞬时速度已知作自由落体运动的物体的位移s与其时间t的函数关系1.2s s(t)万gt ,求该物体在t to时刻的瞬时速度v(to).(以均匀代替非均匀)首先从物体的内的平均速度入手；令物体移动时间t从t0变化到t0 t；在t这个时间段物体的位移为,、，、1 z 、21, 、212s s(to t) s(to) 2g(to t)2g(to)gto t -g t ；物体在t这个时间段内的平均速度为s s(tot) s(

3、to)1vto,to t - 1 gto 2gt.(以极限为手段)然后得到瞬时速度. 易见t愈小，t时间内的平均速度 v的值就愈接近to时刻的速度； 因此，当t o时，v的极限自然定义为物体在to时刻的瞬时速度，即定义v(to)litmos . s(to t)s(to).v lim lim - gto.tot toto由此可见，物体在to时刻的瞬时速度是函数的增量s与自变量增量 t比值当t 0的极限.推广到一般，可以归结为 一个函数y f(x)的增量 y与自变量的增量 x之比，当x趋于零时的极限.这种类型的极限我们称其为导数.2.导数的定义(1)函数y f(x)在一点x0处导数定义设函数y f

4、(x)在n(xo，)内有定义,当自变量x在x0处取得增量 x(点x0x仍在该邻域内)时;相应地函数y取得增量 y f (x0 x)f (x0);如果 y与x之比当 x 0时的极限存在，则称函数 y f (x)在点x0处可导，并称这个极限为函数f (x)在点x0处的导数，记为f (xo),即y . f(xo x) f(xo)(x0)lim - lim x 0 x x 0x山dy t df(x)也可记为 y , 上 或 .x x0dx x x0dx x x0也称函数增量与自变量增量之比一y是函数y在以x0及x0x为端点的区间上的 平x均变化率，导数f (x0)是函数y f (x)在点x0处的变化率

5、，即 瞬时变化率.(2)函数y f (x)在一点x处导数导函数0时的极限存在，则称函将x0处导数定义中的x0换成x ,如果 y与x之比当 x数y f (x)在点x处可导，并称这个极限为函数y f (x)在点x处的导数，记为 f (x),即y f (x x) f (x) f (x ) lim lim .x 0 x x 0x显然，当x在某区间i内变化时，f (x)是x的函数.因此称之为 导函数.导函数的1 口、才占dy df (x)记万还有y ,1或 一.dx dx函数y f(x)在点x0的导数f(3) x0处导数与导函数的关系(x0)是导函数f (x)在点xx0处的函数值.即f(x。)f (x)

6、xx0通常，导函数简称为导数.例1求函数yx2的导数以及在 x 1点的导数.3.不可导的情形由可导定义，如果limx i的极限不存在，即有下述情况之一，称函数 y f(x)在点xo处不可导.4.(1) lim y =x 0 x2 (1)求函数y(2)求函数y导数定义的不同形式(2)lim -y无稳定的变化趋势.x 0 x0处的导数.0处的导数.(x0)(x0).h)f(x0 h)h 0h(2)已知 f(x) (x a) (x),(x)在 x a处连续，求 f (a).(3)计算极限arctan x 一im3 x .3 3二.导数的几何意义1.导数的几何意义设曲线c的方程为yf(x) , mj。

7、y0)是曲线c上的一点，求曲线在点 m处的切线方程.f (xox) f(x0)(1) lim = f (x0)；x 0x lim f(x0 h) f(x0)=f()； h 0hf(x) fd)(3) lim =f(x0)；x x0x x0f(x0) f(x0x)_(4) lim = fx 0x，-、1(5)lim l f (x0 -) f (x0) = f例3 (1)已知f (x0)存在，求lim x第二章一元函数微分学割线(1)在曲线上另取一点 m1(x0x, yoy),如图3所示，连接m , mi两点，得图3mm i .割线mm i对x轴的倾角为 ，其斜率为tan#(2)当x o时，点mi

8、沿曲线c趋向点m ,割线的极限位置mt为曲线f (x)在点m处的切线.此时lxmoy=lim tan =tanlim tan k其中是切线mt关于x轴的倾角.从而曲线 c在点m处的切线斜率为k= f (xo).由此可知，函数y f (x)在点xo处的导数f (xo)在几何上表示曲线 y f (x)在点m(xo , f(xo)处的切线的斜率k,即f (xo) tan k .其中是切线的倾角.因此曲线yf(x)在点m(x0 , yo)处的切线方程为y yof (xo)(x xo)；当 f (x0)。时，法线方程为y yof (xo)(x xo).特殊地，f (xo) o时，曲线y f (x)在点(

9、xo, yo)的切线平行于x轴.当f (xo)时，曲线y f (x)在点(xo, yo)的切线垂直于x轴.此时，切线的倾角为高等数学教案第二章一元函数微分学一 ，、1 .1 例4 求y i在点（万，2）处的切线的斜率，并写出在该点处的切线方程和法线方1，、程.（答案 切线的斜率为 4,切线方程为4x y 4 0;法线的斜率为 ，法线方4程为 2x 8 y 15 0）三.可导与连续的关系1.可导必连续设函数yf(x)在点x可导，即lim y x 0 xf （x）存在，由极限与无穷小量的关系知y f (x) x其中是x0时的无穷小量.上式两端同乘以y f (x) x由此可见，当x 0时，y 0.即

10、函数y2.连续未必可导x,得x .f (x)在点x连续.例如，函数y | x|在点x 0处连续（图1）,但由例题2 （1）知，y | x |在点x 0处不可导. 同样，函数y 3x在点x 0处连续（图2）,但由例题2 （2）,中，y vx 在点x 0处不可导.由上面的讨论可知， 函数连续是函数可导的必要条件，但不是充分条件，所以如果函 数在某点不连续，则函数在该点必不可导.2.函数在某点可导与该点存在切线的关系(1)可导必有切线；因为函数在某点可导，则在该点切线的斜率存在，自然存在切线(2)有切线未必可导.例如，曲线y 3/x在点x 0处有垂直于x轴的切线(图2),但它在x 0不可导.四.科学

11、技术中的导数问题举例变化率 当因变量y随自变量x均匀变化时，y是x的线性函数，x改变单位长度 时y的改变量，即 ,总是一个常数，它反映了 y随x变化的快慢程度，叫做变化率。求函数y f(x)在点x0处变化率的方法可以归纳为以下两步：(1) 局部均匀化求近似值；(2) 利用求极限得精确值设作变速直线运动的质点的运动方程为s s(t),质点在to时刻的瞬时速度v(t0)是s s(t)在to点的导数值s(to).例5物体做直线运动的方程为s 3t2 5t ,求(1)物体在2秒时的速度；(2)物体运动的速度函数.19第二节求导的基本法则一.函数和、差、积、商的求导法则设 u u(x), v v(x),

12、w w(x)在 x点处有导数 u u(x),v v(x),w w(x)，则法则1:两个可导函数之和(差)的导数等于这两个函数的导数之和(差)，即(u v) u v.(u v w) u v w.证明设 f (x) u(x) v(x)，则f (x x) f (x). u(x x) v(x x) u(x) v(x)f (x) lim - lim x 0xx 0xu(x x) u(x) v(x x) v(x)u . vlim - lim lim u v .x 0xxx 0 x x 0 x所以(u v) u v.例1求yx3 5的导数.解 y (x3 5)(x3)(5)3x2 0 3x2.例 2 设 f

13、(x)x34cosx sin万,求 f (x)及 f ().解 f (x)3x2注意：f ( ) f20),所以24sin x 0 3x 4sin x,(注意：(sin,)3 2f (a);4.例 4 设 y ex(sin x cosx)，求 y .解 y(ex) (sin x cosx) ex(sin x cosx)xxxe (sin x cosx) e (cosx sin x) 2e cosx.例5设f(x) (x a) (x), (x)为连续函数，求f (a).f (a h) f (a) h (a h)斛 f (a) lim - limlim (a h) (a).h 0hh 0 hh 0

14、错误解法：f (x) (x a) (x) (x a) (x)(x) (x a) (x),所以 f (a)= (a).错误的原因是：(x)不一定可导.法则3:两个可导函数之商的导数 的乘积，再除以分母的平方.即(-)v，等于分子的导数与分母的乘积减去分母的导数与分子u v uv2v.(v 0)，求y .(x22221)(x21) (x2 1)(x2 1)222x(x2 1) (x2 1) 2x(x21)2/ 22(x 1)4xt-2 ti .(x 1)ln x _f，求y .x(ln x) xn ln x2n x(xn)1 nn 1 -x ln x (nx )x2n x1 f(1 nlnx).

15、xy tan x,求 y .sinx.2、，(tan x) () sec x.cosx2(tan x) sec x.同理可得：12(cot x)2csc x.sin x同理可得:(cscx) csc x cot x .二.反函数的导数定理(反函数的求导法则)设y f(x)在x处有不等于零的导数f(x)，且其反函数x f 1(y)在相应点处连续则f 1(y)存在，且f 1(y)f (x)1f 1(y)即反函数的导数等于直接函数的导数的倒数y取得增量y时，因变1- 1证明 yf(x)的反函数x f (y).当x f (y)的自变量量x取得相应的增量x.当y 0时必有 x 0.事实上，如果-1- 1

16、_x f (y y) f (y) 0,则f 1(y y) f 1(y),但f(x)是一一对应的，故y y y,则y 0与y 0的假设矛盾.所以当 y 0时，有x 1,y _1x1 ,又x f (y)在相应点处连续，所以y 0时，x 0 .由f(x) 0 ,得f 1(y)11. y f (x) lim x 0 x例 8 设 y arcsin x,求 y .解 设x sin y为直接函数，则y arcsin x为其反函数x sin y在i y (万,3)内单调，可导，且(sin y) cosy 0.y arcsin x在对应白区间ix ( 1,1)内有(arcsin x)1(sin y)1cos

17、y2又 cosy 1 sin y21 x，所以(arcsin x) 1 x2同理可得：(arccosx)例 9 设 y arctanx，求 y解 设x tan y为直接函数，则y arctanx为其反函数.2x tany在1y (万,万)内单倜，可导，且(tan y) sec y 0. y arctanx在对应 的区间i x (,)内有(arctan x)1(tan y)12- sec y又 sec2 y 1 tan2 y 1 x2,所以,、1(arctan x) 21 x同理可得：,、1(arc cot x) 21 x2三.复合函数的求导定理(复合函数求导法则)(x)在x处设y f(u),u

18、 (x)，即y是x的一个复合函数：y f (x).如果u有导数du (x),yf (u)在对应点u处有导数dy f(u)muy f (x)在x处的导dxdu数存在，且dydy duf (u) (x)dxdu dx或yxyu ux如果 y f (u), u (v),v10 设 y (1 2x)30，求 dy dx11 求y1213(x)，则 ydy dxdydufdudv(x)的导数为dvdx30,u 1 2x,则(u30)u (1 2x)xcosnx的导数.y cosu,u nx则y (cosu)u (nx)x设 y ln tan x,求 dy dxy ln u,u tanx,则y(lnu)u

19、 (tanx)xdydx1430u29sin u1 2 -sec u60u2960(1n sin nx.1sin xcosx15162x)29.x3y e ,求dy dudu dxy sin 一 1dy dxx3 e3x23x2x3 /e , (ux3).2x2 x，求出dx2xcos21 x2(3)1 xcos-12x2 x222(1 x ) 4x7a2t2(1 x )2 2x2(1 x2)2cos一 12x2 . x2a2设 y ln(x的导数.x( a2x2)x2 % a2(a2x2)1 (x22 x x ax222a xa2),求 y .2x)2a2a22x22 xx2 a2)1122

20、x 1 x a(x2_2、x2a2)2 a17sin设y e1x,求 y .sin1(e x)sin1e x (sin ) xsin! e x1 cos-x(-)x.1 sin_x1 cos-.x18设y ln(1 x)e，求 y(0).:arccosx12ln(1x) xln arccosx则arccosx(7i21).,1 x arccosx ,1所以y (0)-例 19 设 yf (arctanx2),求 y .解 设 u arctanv,vx2,则y f(u)所以dy dydx dududvdvdxf (u)11 v22x2x4 f (arctanx2).1 x4四.高阶导数一阶导数：

21、yf (x)dy dx二阶导数：yf (x)d2y dx2s).dx dx三阶导数：yf (x),3d ydx3m). dx dx四阶导数：y(4)产(x) dxy (y).n阶导数：y(n)n(n)0 y (n 1)、f (x) n (y ).dx1.二阶导数例20设svot12 d 2s at，求 一22 dt解 s v0at, s例21证明函数y j2x x2满足关系式y3y 1 0.证明 y 般地，有sin(ax b)(n) an sin(x n ).2cos(ax b)(n) an cos(x n ).2 x yj3_,所以 y(cos2 x)(n)： (cos2x)(n) 2n 1

22、 cos(2x n).y 1 0.2x xyd 211如求y cos x的n阶导数，由于y cos x 一 一cos2x,则2 2 y例22设y f(e), f二阶可导，求 v.dx20,求今解 y ex f (ex), yex f (ex) ex f (ex) ex ex f (ex) e2x f (ex).例231 y sin222 cos y1-解 1 y cosy y 0 所以 y2(y)d dx(2cosy4sin y(2 cosy)2.高阶导数例 24 设 yeax,求 y(n).ax2 ax解 y ae , y a e ,(n)，yn ax例 25 设 y sin x,求 y(n

23、).解 y(n) (sin x)(n) sin(x n ). 2同理(cosx)(n) cos(x n ).2例26设y ln(1 x)，求y.解 y(1)n 1 (n 1(1 x)n2 x . .一 , .(n)如求y 的n阶导数y( ).1 2x例 27 设 f (x) anxn an 1xn 1(n)(k) /axa。，求 f (x), f (x), (k n).解 f(n)(x)n!an, f (k)(x) 0,(k n).第三节隐函数与由参数方程所表示的函数的求导一.隐函数及其求导法显函数：等号左边是因变量，右边是含有自变量的代数式.隐函数：非显函数，形如f(x,y) 0.32如：y

24、 *)为显函数，而* y sin y 0为隐函数.将隐函数化为显函数称为隐函数的显化，但不是所有隐函数都可以显化.37如：y 2y x 3x0就不可以显化.不用显化直接由方程求隐函数的导数称为隐函数的求导.例1由方程y xln y确定y是x的函数，求y .解方程两边对x求导，有1 y ln y x y y所以y 4y x例2由x2 xy y24确定y是x的函数，求其曲线上点(2, 2)处的切线方程解方程两边对x求导，有2x y xy 2yy 0所以y 空*切dy|x21.所以切线方程为x 2y dx y 2y ( 2) 1 (x 2)，即 y x 4.例3设y2f(x) xf (y) x2淇中

25、f(x)为可微函数，求y.dx一2 -解 2x y f (x) f(y)2yf(x) xf (y)二.由参数方程所表示的函数的求导设参数方程为x x(t),y y(t).确定y y(x)则第二章一元函数微分学21dydxd2y dx2dx dtd2y dx2d2y dx2d2y dx2x t2y (t) x(t)dy dxdy dtdx dtd dy一(一 dx dxy x y x(x)3y ln(1dy dtdx dt小翳)dx dty(t)x(t) y(t)x(t)2x(t) x2t,求业叮t). dx dx2t2 2(1f (t), tf (t)酱dxdtx6证明曲线切点的距离为常数.证

26、明设切点坐标为程为ddidxdt1(1 t)32(1 t)1_4 .2(1 t)其中 f(t).d2vf(t)为二阶可导，求 智. dxtf (t),则电 t.dx1f-(tja(ln tan- cost), 2 (aasint(x0, y0),对应的参数为yy(t0)y (t0)x x(t) x(t)0,0t0 .由dydx)上任一点的切线与x轴的交点至，所以切线方x (t0)高等数学教案第二章一元函数微分学切线与x轴的交点为* x(to)y(to) x(to)y(to) x x(t0) acost0.y (to)所以d2(x(to) x* )2 y(to)2a2 cos2 to a2 si

27、n2 to a2.三、相关变化率变量x与y都随另一变量t而变化，即x x(t) , y y(t)，而x与y之间又有相互依赖关系：f(x, y) 0,研究两个相关变化率x(t)与救t)之间关系的问题称为相关变化率问题。解决这类相关变化率问题可采用以下步骤：1 .建立变量x与y之间的关系式f(x,y) 0;2 .将f(x, y) 0中的x与y均看成是t的函数，利用复合函数链导法则，等式f(x(t), y(t) 0两端分别对t求导；3 .从求导后的关系式中解出所要求的变化率。29第四节微分一.微分的概念1 .定义 设y f(x)在u(x0)内有定义，x0 x u(xo).如果函数的增量y f(xo

28、x) f(xo)可表不成y a(x0) x o( x)则称y f (x)在xo处可微的，a(xo) x称为yf(x)在xo处相应于自变量的增量x的微分，记作dy，即dy a x.2 .函数可微的条件定理 f(x)在xo处可微f(x)在xo处可导，且a f (xo).即dy f (xo) x .证明 :f(x)在xo处可微，则y a(xo)x o( x)，所以lim/ a hm2l2)x o xx o x得f (x)在xo处可导，且a f (xo).:f (x)在xo处可导，则f (xo),所以f (xo),limxc).故 y f (xo) xx.,而所以则。limx0,y f (xo) x

29、o( x),即 f (x)在 xo 处可微，且 a f (xo).例1求函数yx2当x1, x o.oi时的微分.3.函数的微分函数y一 一2 .2x ,所以y x当x 1, xo.oi时的微分为dy (2x)|x1 x 2 o.o1 o.o2.f (x)在任意点处x的微分称为函数y f(x)的微分，记作dy或df (x),即dy f (x) x.当y x时,dy dxx,称dx为自变量的微分，故函数的微分又可记作dy f (x)dx.由此有dy dx 从而导数又称为f (x)”微商例 2 设 y arctan ex，求 dy .xe1(ex)2xe1 e2x所以x, e .dy -一27dx

30、.1 e二.微分的几何意义1.微分在近似计算中的理论基础当yf (x)在x0处可导时，则dyf (x0)dx.当f (x0)0时有yy 1ylim - lim lim - 1,x 0 dy x 0 f (x0) f (x0) x 0 x即 ydy,( x 0),所以y dy o(dy).称dy为y的线性主部，且y dy o(dy).所以lim0|y dy dy0.dy.由此有，当x 0时，y当y是曲线的纵坐标增量时,dy就是切线纵坐标对应的增量.当x很小时，在点m的附近，切线段mp可近似代替曲线段mn.三.微分的运算dy f (x)dx.1 .基本初等函数的微分公式.2 .函数和，差，积，商的

31、微分.3 .复合函数的微分法则一一微分形式不变性y f(u), u (x) y f (x),则dyyxdxf (u) (x)dx .又du (x)dx所以dy f (u)du.由此，不论u为自变量还是中间变量，微分形式dy f (u)du不变，称为微分形不变性2例 3 设 y ln(1 e )，求 dy .x2解 dy d ln(1ex)-d(1ex)eexd(x2)xe 2 dx.1 ex1 ex1 ex例4设yxln x ,求dy及也.dx解ln y (lnx)2,两边彳it分，有11dy 2ln x -dx yx所以dy例5由exy2ln x inx . dyx dx,xdx2ln x

32、in xxxy2 x 0确定y是x的函数，求dy及业. dx解d(exy y2 x) 0,得 d(exy) dy2 dx 0,即xy /e (xdy ydx) 2ydy dx 0,解得dy1 yexy xexy 2ydx,dy 1 yexydx xexy 2y四.微分在近似计算中的应用当 f (x0)0 时有 y dy f (x0)dx .即f(xx)f(xo)f (x)dx或f(xx)f(xo)f (x) x令 x x x, x x x0,则f (x) f(x) f (x)(x x).运用此近似公式计算函数的近似值时，要求(1) x x x0 很小；(2) f (x0), f (x0)易于计

33、算.由以上两点，关键是点x0的选取.特别地，如果取x00,则f(x) f(0) f (0)x.由此有工程上的几个近似公式(类似于x0时的等价无穷小)：1(1) j x 1 x； n(2) sin x x,tan x x;x e 1 x, ln(1 x) x.解 sin30030sin().取 x06 360例6 求sin 30030的近似值.,x , f (x) sin x, f (x) cosx 则 6360sin30030f(6) f(6) x0.5076.1.3sin cos-66 36022 360例7求v996的近似值.一 c。44 、解 3 996 3.1000 4 103 110

34、(1) 9.9867.,10003000弟早元函数微分学第五节平面曲线的曲率.曲率的概念曲率是用来反映曲线弯曲程度的量.比值s,即单位弧度切线转过的角度称为弧段的 平均曲率记作k，即而极限称为曲线在点 m处的曲率，记为k，即当lims 0k lims存在时，则dds卜面给出曲率k的计算公式.设曲线方程为yf (x)，且f (x)具有二阶导数.由一阶导数的几何意义知两边微分得所以tan2secd2 d2、d(1 tan )(1 y ) dxdxdxy1 y2dx.#又由弧微分公式dsdy 21 (dx) dx所以有dds3 ,(1 y2)2高等数学教案第二章一元函数微分学故曲率k的计算公式为y3

35、(1 y2)2如果曲线的参数方程为x x(t), y y(t).则曲率k的计算公式为xy x yk3 .222x2(x y )2例1试问抛物线y ax2 bx c上哪一点处的曲率最大 ？解 y 2ax b, y 2a .所以曲率2a3(1 y2)231 (2ax b)2产，即抛物线在顶点处的b_当2ax b 0,即x 时，曲率k最大，此时对应着抛物线的顶点 2a曲率最大.曲率的计算 设 y f (x)二阶可导，tan y ,有 arctan y , dds .1 y 2dx. k 3.(1 y2)2设x，二阶可导， y(t),dy (t) d2y (t) (t)(t)dx (t) , dx23

36、(t),i (t) (t)(t)k3.2(t)2(t)2例2抛物线y ax2 bx c上哪一点的曲率最大 ？c .c2a解：y 2ax b, y 2a, k 3.31 （2ax b）2k显然，当x旦时，k最大.又（a, b2 4ac）为抛物线的顶点,2a2a 4a抛物线在顶点处的曲率最大.例3铁轨由直道转入圆弧弯 道时，若接头处的曲率 突然改变，容易发生 事故，为了行驶平稳，往往在直道和弯道之间 接入一段缓冲段（如 ，1图），使曲率连续地由零过渡 到1 （r为圆弧轨道的半径）.r通常用三次抛物线 y x3, x 0,x0.作为缓冲段 oa,其中l 6rl为oa的长度，验证缓冲段 oa在始端o的

37、曲率为零，并且当-很 r小（l 1）时，在终端a的曲率近似为 2.rry /37证：如图x的负半轴表示直道，oa是缓冲段，ab是圆弧轨道.在缓冲段上2rl一 x.在 x0处,y 0, y0,故缓冲始点的曲率k0 0.实际要求l x0,有 y xx0l2rll2ry x x0rl rlr故在终端a的曲率为y|(1 y2)2ir12 3(1二)24r-i，略去二次项 r三.曲率半径与曲率中心定义：设曲线y f（x）在点m （x,y）处的曲率为k（k 0）.在点m处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点d,使dm| 1.以d为圆心，为半径作圆（如图），称此圆为曲线在点m处的曲率圆.d 曲率中心， 曲率半径

38、.汪后：1 .曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的曲率互为倒数2 .曲线上一点处的曲率半径越大，曲线在该点处的曲率越小（曲线越平坦）；曲率半径越小，曲率越大（曲线越弯曲）.3 .曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附近曲线弧（称为曲线在该点附近的二次近似）.例42飞机沿抛物线y（单位为米）俯冲飞行,在原点o处速度为4000v 400米/秒，飞行员体重70千克.求俯冲到原点时，飞行员对座 椅的压力.解：如图受力分析f q p,视飞行员在点o作匀速圆周运动2mv. .20000, y x 0120001得曲率为kxxn .曲率半径为x020002000 米.70 4002f 20005600（牛

39、）571.4（千克）,f .（ 为。点处抛物线轨道的曲率半径）q 70（千克力）571.4（千克力），641.5（千克力）.即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.第六节微分学中值定理一.rolle 定理如果f (x)在a,b上连续;(2) f (x)在(a,b)内可导；(3) f(a) f (b).则(a,b),stf( ) 0.证明 因为f(x)在a,b上连续，则f(x)在a,b上必取得最大值 m和最小值m .(1) mm,此日f (x) m,x a,b,所以 f (x) 0,x (a,b),从而可取(a,b)内的任点作为，有f ( ) 0 .(2)mm.不妨设 f(a)m,则必存在(a

40、,b),s.t.f( ) m.往证 f ( ) 0.由f ()的存在，可得.f( x)f()lim -x 0 x存在.对于f ( ) lim f( x) f() x 0x和f()limof(x)f().x 0x显然 f( x) f( ) 0.当x0时，f(一上)0,从而f ( )0,即f ( )0.(1)x当x0 时，f(f-)0,从而 f ( )0,即f ( )0.(2)x由(1)与(2)得0 f ( ) 0即f ( ) 0.注意 rolle定理主要应用在证明f(x)的导函数f(x)有零点.例1设f(x),g(x)在a,b上连续，在(a,b)内可导，且f (b) f(a) g(b) g(a)

41、.证明在分析：.f ( ) g()(a,b)内至少有一点,s.t.f ( ) g ().f (x) g(x)|x0f(x) g(x) lx0.即要证明f(x)f (x) g(x)的导函数在(a,b)内有根.证明令f(x)f (x) g(x)，显然f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导，且f(a) g(a) f(b) f (b) g(b)(f (b) f (a) g(b) g(a)f (b) f (a) g(b) g(a).从而f(x)在a,b上满足rolle定理的条件，故存在(a,b),s.t.f ( ) 0,即f ( ) g ( ) 0所以f ( ) g ().例2设工如l曳a00,证明

42、函数n 1 n 2f(x) anxn an ixn 1ax a0在(0,1)内必有一根证明 令 f(x) -an-xn 1 axn曳 x2ax,显然 f(x)在0,1上满足 rolle 定n 1 n2理的条件，且 f (x) f (x)anxn anxn 1a1x a。.由 rolle 定理得，(0,1)，使得f ( ) 0,即f( ) 0,所以 f (x)anxnan 1xn 1ax ao 在(0,1)内必有一根.例3 设f(x)在0,上连续，在(0,)内可导，且0 f(x) 1, f (x) 1 .证明方程 44f(x) tanx在(0,)内恰有一根.第二章一元函数微分学证明(1)先证f(

43、x) tanx在(0,-)内有一根.令 f(x) f (x) tanx,则 f(x)在0,上连续，且4f(0) f(0) 0,f(4)f(-) 1 0,由零点定理，(0q),st.f( ) 0,即f (x) tanx在(0,工)内有一根.(2)往证f (x) tanx在(0，i)内只有一根.反证法：设f (x)f (x) tan x 在(0,彳)内有两个根x1 x2，则f(x)在x1,x2上满足rolle定理的条件，所以(0,-)，使得4但 f (x)、2)sec 0,2f (x) sec x 0,x(0,-)，故假设不成立.由与(2)知，f (x) tanx在(0,一)内恰有一根.4二.la

44、ngrage中值定理(也称有限增量定理或微分中值定理)如果函数f(x)(1)在a,b上连续;(2)在(a,b)内可导；则(a,b),s.t.f (b)f (a) f ( )(b a).(*)注意 (1)当b a时，公式(*)仍成立.公式(*)称为langrage中值公式.从而即由(2)公式(*)的等价形式：令a x,bx,则f (xf (xlangragex)x,0x)(xf(x) f ()1，所以f(x) f (xx) xx)x (0x之间.1)(*)(*)中值公式，可得函数增量的精确表达式，从而该定理又称为有限增量定理，有时39也称为微分中值定理高等数学教案第二章一元函数微分学推论 如果f

45、 (x)在区间i上的导数恒为零，则f(x)在区间i上是一个常数.证明x3x2i,不妨设xix2,显然f(x)在xi,x2上满足langrage中值定理的条件故存在(x1,x2)，使得f (x2)f(xi)f ( )(x2 xi)(xi, x2)又f ( ) 0 ,所以f(x2)f(xi) 0即f(x2) f (xi).由x1,x2的任意性知：f (x) c, x i .注意此处的区间i可以是任何类型的区间. _ x例4证明当x 0时, ln(1 x) x.1 x证明 (分析 ln(1 x ln(1 x) ln(1 0).令f(t) ln(1 t),则f(t)在区间0,x上满足 langrage

46、中值定理的条件，故存在(0,x)，使得f(x) f(0) f ( )(x 0)即x ln(1 x) ，(0 x)1一 11,又 1,所以1 x 1xln(1 x) x.1 x注意 从例4的证明可以看出用langrage中值定理证明不等式的基本思路是：(1)构造辅助函数：这可以从待证不等式分析出辅助函数的构造；(2)由langrage中值定理f(b) f(a) f ( )(b a), 在 a与 b 之间估at f ()，从而得待证不等式.例5设f(x)在(a,)内可导，且lim f(x)与lim f (x)存在，证明lim f (x) 0. xxx证明 f (x)在x, x 1上满足langra

47、ge中值定理的条件，故有f (x 1)f (x) f ( ), x x 1 ,所以jim f (x)lim f ( ) jimf(x1) f (x)jimf (x 1) jimf (x) 0.cauchy中值定理cauchy中值定理如果函数f(x)与g(x)在a,b在连续，在(a,b)内可导.且g (x)在(a,b)内不为零，则存在(a,b)，使得f(b) f(a) f () g(b) g(a) g ()例6设f (x)与g(x)是可导函数，且当x a时，f(x) g (x),证明当x a时，有f (x) f (a) g(x) g(a).证明(分析：由 f (x) g(x”dg(x) 0 g(x) g(a) g ( )(x a),x a)显然f(x)与g(x)满足cauchy中值定理的条件，所以存在(a,x),有f(x)f(a)f(),、,(a, x).g(x)g(a)g()即f (x)f (