高等数学下册电子教案

1、第四章 常微分方程4 1 基本概念和一阶微分方程内容要点一基本概念1常微分方程含有自变量、 未知函数和未知函数的导数 （或微分） 的方程称为微分方程，若未知函数是一元函数则称为常微分方程， 而未知函数是多元函数则称为偏微分方程， 我们只讨论常微分方程，故简称为微分方程，有时还简称为方程。2微分方程的阶微分方程中未知函数的导数的最高阶数称为该微分方程的阶3微分方程的解、通解和特解满足微分方程的函数称为微分方程的解；通解就是含有独立常数的个数与方程的阶数相同的解；通解有时也称为一般解但不一定是全部解；不含有任意常数或任意常数确定后的解称为特解。4微分方程的初始条件要求自变量取某定值时， 对应函数与

2、各阶导数取指定的值， 这种条件称为初始条件， 满 足初始条件的解称为满足该初始条件的特解。5积分曲线和积分曲线族微分方程的特解在几何上是一条曲线称为该方程的一条积分曲线； 而通解在几何上是一族曲线就称为该方程的积分曲线族。6线性微分方程如果未知函数和它的各阶导数都是一次项，而且它们的系数只是自变量的函数或常数，则称这种微分方程为线性微分方程。 不含未知函数和它的导数的项称为自由项， 自由项为零的线性方程称为线性齐次方程；自由项不为零的方程为线性非齐次方程。二.变量可分离方程及其推广1.变量可分离的方程(1)方程形式:p x dx(注：在微分方程求解中, 再加)习惯地把不定积分只求出它的一个原函

3、数,而任意常数另外(2)方程形式:mi x ni y dx m2 x n2 y dy 0通解mi x , dxm2 xdy ni ym20,ni2.变量可分离方程的推广形式(i)齐次方程 dxy x dy dxdu x一 dxduf u udxln|x|dy展axby0,b令 ax bydu则a dxbfdubf udx x(3)ax biycia?xb2 y c2当aia2bib20情形，先求出axa?xbiyb2 yc20的解0aibi 一dvaubi v则 f f -属于齐次方程情形dua2ub2v. va2b2 ua bi”当 110情形，a? b2ai bi则包 f aix biy

4、cdxaix bi y c2令 u aix biy ,du , dy , r u ci贝 u a biai bi f dxdxu c2属于变量可分离方程情形。三.一阶线性方程及其推广1 . 一阶线性齐次方程dx pxy 0它也是变量可分离方程，通解公式y ce pxdx, （c为任意常数）2 . 一阶线性非齐次方程dy pxy q x dx用常数变易法可求出通解公式p x dx令 y c x e代入方程求出c xp x dxp x dx则得 ye q x e dx c3 .贝努利方程dy八p x y q x y 0,1 dx令z y1dz把原方程化为1 p x z 1 dx再按照一阶线性非齐次

5、方程求解。4 .方程：曳一1一 dx q y pyxdx可化为一 pyx q y dy以y为自变量，x为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。四.全微分方程及其推广（数学一）(1) 微分方程p x, y dx q x, y dy 0 ,满足通解：u x, y c ,其中 u x, y 满足 du x,y p x, y dx q x, y dy求u x, y的常用方法。第一种：凑全微分法p x, y dx q x, y dy du x, y把常见的一些二元函数的全微分公式要倒背如流，就很有帮助。(1)xdx ydy(2) xdx ydy(3) ydx xdy d xy ;ydx xdyxyln

6、 xy ;(4)(5)(6)(8)(9)(10 )(11)(12 )(13 )(14 )(15 )(16 )xdxydy_1 _22- d -ln x yxy2xdxydy,122-z d ln x yx2y22xdyydxd_y .2 dxxydx xdyx2 d ，yyydxxdy,x22-darctan-;xyyxdy ydxy22 d arctan xyx*学dn。xy2x yxdy ydx d【lnu11二 222 x y1 1二-222 x yxy2 x yxdx ydy d d22 2x yxdx ydy o d22 2x yxdx ydy , 1,9 d arctan x22

7、21 x y 2xdx ydyd 1 arctan x2 22y .，第二种：特殊路径积分法（因为积分与路径无关）通解u x, y c。x,yu x,y u xo,yop x, y dx q x, y dyx0,y0xyu xo,yop x, v。dx q x,y dyxoy。第三种：不定积分法由一u p x,y得 xu x, y p x, y dx c y对y求导，得 q x, y p x, y dx c y , y y求出c y积分后求出c y 2.全微分方程的推广（约当因子法）设p x, y dx q x, y dy 0不是全微分方程。“ q p不满足 x y但是存在r x, yrpy使

8、得r x, y p x, y dx r x, y q x, y dy 0为全微分方程,“ rq也即满足rq xr x, y p x, y dx r x, y q x, y dy du x, y则r x,y称为约当因子，按全微分方程解法仍可求出这种情形，求约当因子是关键。乙典型例题5432考研论坛()友情提供下载一.变量可分离方程及其推广求下列微分方程的通解。(1)2xyx dx y x2y dy(2)ex yxx ye dx eeydy例2.求下列微分方程的通解。(1)dy dxyex(2)x2dx xydx(3)dyx一dxln y ln x(4)dydx/ 2x 4

9、y 1解：(i)令du u x - dx则包dxduu edux dxdxc1,原方程化为in xc1ln cxin cx0,0 cx1)(2)xydydxdydx2y xydux一dxudxduu dudxc1uxin xu u c1yxu ec1 u ceu , y cexuln udy y y 人 y i du(3) ln上，令2 u,则u x dx x x xdxin in u 1 incxdudx 八ciu in u 1 x1 cx1 cxlnu 1 cx, u e , y xe112一 sin y csin y 2du4u2 1dx c1(4)令 x 4y1x arctan2u2-

10、1， cc arctan2 x24y 1 c例3.求微分方程x y x2 y2的通解。dx例4.求微分方程dydx例5.求微分方程 y x j1 x2 dy 1 y2，2的通解。dx例6.求微分方程y22y3y2的通解。dx x xy y2例 7. 求微分方程 曳 2 -dx x y 1例8.求微分方程dyyx1的通解dxyx5. 一阶线性方程及其推广例.求下列微分方程的通解dy(1dx2yx 1/c、 dy(2) x2y sinx dxdy(3) dx(4) xsin y dytan ydx解：（1）直接用常数变易法对应的齐次线性方程为dy dx令非齐次线性方程dydx2yx 2 1y通解y

11、 c x51 2的通解为代入方程得c故所求方程的通解为(2)直接用通解公式（先化标准形式dydxsin x)xsin x通解2 -dxxsin x2 -dxxdx(3)xsinxdx c此题不是一阶线性方程，但把sin xxcosxx看作未知函数,y看作自变量,即空 dydx所得微分方程 一dy是一阶线性方程p1dy y4y4 cy1dyy dy（4）此题把x看作未知函数,y看作自变量所得微分方程为cot y , q y cos ydx cot y x cos y , p y dycot ydycot ydyx e cos ye dy c4.2特殊的高阶微分方程(数学四不要)甲内容要点.可降阶

12、的高阶微分方程方程类型解法及解的表达式y n f x通解 yf x dx n c1xn1 c2xn 2cn 1x cny1 xn次令y p ,则y p ,原方程y f x,yp f x, p一阶方程，设其解为p g x,ci ,即y g x,ci ,则原方程的通解为 y g x,ci dx c2。令y p ,把p看作y的函数，则y 曲曲曲 p-dpdx dy dxdy把y , y的表达式代入原方程，得 出 -f y, p 一阶方程，dy py f y, y设其解为p g y,c1 ,即dyg y,c1 ,则原方程的通解为 dxdyx cx c2 0g y,ci二.线性微分方程解的性质与结构我们

13、讨论二阶线性微分方程解的性质与结构，其结论很容易地推广到更高阶的线性微分方程。二阶齐次线性方程y pxy qxy0(1)二阶非齐次线性方程y pxy q x y f x (2)1 .若y1 x , y2 x为二阶齐次线性方程的两个特解，则它们的线性组合cl yi xc2 y2x(ci,c2为任意常数)仍为同方程的解，特别地，当yxy? x(为常数)，也即y1 x与y2 x线性无关时，则方程的通解为 y c1y1 x c2 y2 x2 .若y1 x , y2 x为二阶非齐次线性方程的两个特解，则y1 x y2 x为对应的二阶齐次线性方程的一个特解。3 .若y x为二阶非齐次线性方程的一个特解，而

14、 y x为对应的二阶齐次线性方程的 任意特解，则y x y x为此二阶非齐次线性方程的一个特解。4 .若y为二阶非齐次线性方程的一个特解， 而ciyi x c2y2 x为对应的二阶齐次线 性方程的通解(ci, c2为独立的任意常数)则 y y x cyi x c2y2 x是此二阶非 齐次线性方程的通解。5 .设yi x与y2 x分别是y p x y q x y fx与yp x yq x yf2 x的特解，则 y xy2 x 是yp x yq x yfx f2 x的特解。三.二阶和某些高阶常系数齐次线性方程1.二阶常系数齐次线性方程y py qy 0其中p , q为常数， 2特征方程 2 p q

15、 0特征方程根的三种不同情形对应方程通解的三种形式2(1)当p 4q 0,特征万程有两个不同的实根i , 2则方程的通解为y cie ix c2e 2x 2(2)当p 4q 0,特征方程有二重根i 2则方程的通解为y ci c2x e ix 2(3)当p 4q 0 ,特征万程有共轲复根i ,则方程的通解为y eci cosx c2 sinx2. n阶常系数齐次线性方程nn 1n 2y py p2ypny pny 0其中pi i 1,2, ,n为常数。相应的特征方程nn 1n 2plp2pn 1 pn 0特征根与方程通解的关系同二阶情形很类似。(1)若特征方程有n个不同的实根1, 2, , n则

16、方程通解yce1xc2e 2xcnenx(2)若0为特征方程的k重实根k n则方程通解中含有c1c2xckxk 1 e 0x(3)若i为特征方程的k重共轲复根 2k n则方程通解中含有e x c1c2xckxk 1 cos x d1 d2xk 1.dkx sin x由此可见，常系数齐次线性方程的通解完全被其特征方程的根所决定，但是三次及三次以上代数方程的根不一定容易求得，因此只能讨论某些容易求特征方程的根所对应的高阶常系数齐次线性方程的通解。四.二阶常系数非齐次线性方程方程：y py qy f x 其中p,q为常数通解：y y c1y1 x c2 y2 x其中c1y1 x c2 y2 x为对应

17、二阶常系数齐次线性方程的通解上面已经讨论。所以关 键要讨论二阶常系数非齐次线性方程的一个特解y如何求？我们根据f x的形式，先确定特解 y的形式，其中包含一些待定的系数，然后代入方程确定这些系数就得到特解 y ,常见的f x的形式和相对应地 y的形式如下：1. f x pn x ,其中pn x为n次多项式(1)若0不是特征根，则令 y rn x axn axn 1anx an其中ai i 0,1,2, ,n为待定系数。(2)若0是特征方程的单根，则令 y xrn x(3)若0是特征方程的重根，则令 y x2rn x2. f xpn x e x其中pn x为n次多项式，为实常数(1)若 不是特征

18、根，则令y rn x e x(2)若 是特征方程单根，则令 y xrn x e x(3)若 是特征方程的重根，则令 y x2rn x e x3. f xpn x e x sin x 或 fxpn x e x cos x其中pn x为n次多项式，皆为实常数x(1)若 i不是特征根，则令 y e rn x cos x x sin xnn 1其中 rn xaxaxanx anai i 0,1, ,n为待定系数tn xb0xn b1xn 1bn 1x bnbi i 0,1, n为待定系数若 i是特征根，则令 y xex rn x cos xx sin xn 1 n 1p1xy五.欧拉方程(数学一)pn

19、 1xypny 0,其中pi i 1,2, ,n为常数称为n阶欧拉方程。令x et代入方程,变为t是自变量,y是未知函数的微分方程，一定是常系数齐次线性微分方程。注意下面变换公式:dydxdy dt edt dxt dy dt1 dyx dtx dxdy dt d2ydx2dt d dydx dt dxt d-e dtt dy edt2t d 2ydt22t dy dt1 d2yx2 dt2dydt2 d2ydiy dy) x 22)dxdtdt乙典型例题.可降阶的高阶微分方程例1.求下列微分方程的通解,22(1) x y 2xy y 0(2) 1 x y y in x 1解：(1)令y p,

20、则y p ,原方程化为22x p 2xp p 0p再令z2 p2p2 属于贝努里方程x x1l-dz21p则有z2dxxx2通解：z2dx x1-dxe x dx c xx c11 x2z c1 x2dx c2c1 xc1c121nx c1c2(2)令y p ,则y p ,原方程化为x 1 p p in x 11 in x 1p p 属于一阶线性方程x 1 x 1dx x 11n x 1dxe x 1 dxc1特征根11重根，22例2.(1)(2)1 dx c1inin x 1c11n xci- dx 1c21 2xc2求下列微分方程的通解2yy y 1 022yy y 1二.常系数齐次线性微

21、分方程例1 .求下列微分方程的通解。(1) y7y 6y(2)6y9y(3) y6y 13y(4)4y4y2y 0解：(1)特征方程0,特征根微分方程通解cex c2e6x(2)特征方程69 0,特征根重根微分方程通解3xc1 c?x e(3)特征方程2 613 0特征根微分方程通解3xy e c1 cos2xc2 sin 2x(4)特征方程x 2x微分方程通解y ci c2x exc3e例2.设方程y3y 4y 0,求满足 y 0, yx 0 x 05的特解。三.二阶常系数非齐次线性微分方程例1.求微分方程y 2y 3y x 1 ex的一个特解。解：这是二阶线性常系数非齐次方程，其自由项呈p

22、m xe x的形状，其中pm x x 1 m 1 ,1。而该微分方程的特征方程是：22 230特征根是11,23。由于 1不是特征根，故设特解为xy b1x b0 e为了确定b1和b0,把y代入原方程，经化简，可得4b1x 4bo x 1令此式两端同次哥系数相等，有4b 14b。 1，111由此解得b1一，b0一 ,因此特解为441xy - x 1 e4例2 .求微分方程ylc2x5y 6y xe的通解。答案：最后得原方程通解为2xc1e3xc?e1 x2 2xe2x 2一2x 一一 例3.求y 4y 4y e 的通解。5. 1向量代数答案：因此原方程的通解为y22x2x x 2xcec2xe

23、 e2.、一_ 2.、一 ,例4.求万程y 3y 2y 2xx 1的通解。答案：原方程的通解为2x 仆 x 2513y c1ec2ex x24x .例5.求y 2y 3y 2e的通解。答案：原方程的通解为y c1e3x c2ex 1 xex例6.求方程y y 2y 2cos2x的通解。答案：原方程的通解为-2x-x 3八 1 y c1ec2ecos2x sin2x1010例7.求微分方程y y sin x的通解。答案：原方程的通解为：y c1 c2ex - cosx sin x。第五章向量代数与空间解析几何（数学一）甲内容要点.空间直角坐标系从空间某定点 。作三条互相垂直的数轴，都以 。为原点

24、，有相同的长度单位，分别称 为x轴，y轴，z轴，符合右手法则，这样就建立了空间直角坐标系，称o为坐标原点。1 .两点间距离设点mi xi, yi, zi , m 2 x2,y2,z2为空间两点，则这两点间的距离可以表示为 j222d m1m 2 x x2 x1y2 ylz2 z12 .中点公式设 m x, y,z 为 m i xi, yi ,zi , m 2 x2, y2, z2 联线的中点，则xi x2yi y2zi z2x ；,y -;,z 222二.向量的概念1 .向量|ab既有大小又有方向的量称为向量。 方向是一个几何性质， 它反映在两点之间从一点 a到 另一点b的顺序关系，而两点间又

25、有一个距离。常用有向线段 旗表示向量。a点叫起点， b点叫终点，向量 ab的长度叫做模，记为模为i的向量称为单位向量。2 .向量的坐标表不若将向量的始点放在坐标原点o ,记其终点 m ,且点m在给定坐标系中的坐标为x,y,z 。记以三个坐标轴正向为方向的单位向量依次记为i,j,k,则向量om可以表示为om xi yj zk称之为向量om的坐标表达式，也可以表不为om x, y, z称xi, yj, zk分别为向量om在x轴，y轴，z轴上的分量。称x,y,z分别为向量om 在x轴，y轴，z轴上的投影。记om与x轴、y轴、z轴正向的夹角分别为coscoscosz222,x y z方向余弦间满足关系

26、cos22cos2cox,描述了向量om的方向，常称它们为向量的方向角。om的模可以表示为与向量om、，一、 一，1x, y, z同方向的单位向重可以表不为 1omom 。与向量om平行的单位向量可以表示为1 om。 |om向量a同方向上的单位向量常记为三.向量的运算a a1i a2 j a3k a1,a2,a3b b1i b2 j b3kb1,b2,b3c ciic2 jc3kcl,c2, c31.加法。aibi,a2b2, a3 b3减法。aib2,a3 b32.数乘。a2 , a3（是常数）向量的加、减和数乘运算统称线性运算。3.数量积。a b a bcos a, babia2b2a3b

27、3其中 ,为向量a,b间夹角a,bb为数量也称点乘。b0表示向量a在向量b上的投影，即b0prjba4.向量积a b也称为叉乘。b a|bsin a,bb的方向按右手法则垂直于a,b所在平面，且aia2a3bib2b3b是向量，a b ba。a b等于以a,b为邻边的平行四边形的面积。ai a2 a35.混合积：定义 a, b,c a b c,坐标公式 a,b,cb1 b2 b3ci c2 c3几何意义i a,b,c表示以a,b,c为棱的平行大面体的体积。四.两向量间的关系设 a ai ,a2, a3 ,bbi,b2 ,b3关系向里表小向里坐标表小a,b间夹角a b cosmbaibi a2b

28、2 a3b3 cos,=,=a ai a2 a3 jb； b2 b3a与b垂直a b 0a1bl a2b2b3b30a与b平行a b 0aa?a?bib2b3乙典型例题例.设a,b为两个非零向量， 为非零常数，若向量 ab垂直于向量b,则 等于()。a ba b,(a) (b) (c) 1(d) a bbb分析：所给向量为抽象向量，宜用向量运算公式。如果 ab垂直于向量b ,因此应有 a b b 0即 a b b b 0a b b2 0 a b由于b为非零向量，因而应有一,故应选(b)。b5. 2平面与直线甲内容要点一.空间解析几何1.空间解析几何研究的基本问题（1）已知曲面（线）作为点的几何

29、轨迹，建立这曲面（线）的方程。（2）已知坐标x, y和z间的一个方程（组），研究这方程（组）所表示的曲面（线）。2.距离公式 空间两点axi,yi,zi与bx2,y2,z2间的距离d为2 22dx2 xiy yiz2 43 .定比分点公式m x, y,z是ab的分点：公m，点a,b的坐标为axi,yi,zi ,mbb x2, y2, z2 则xix2iyiiy2 ziz2，z i当m为中点时,xi x2x 丁，yyiy2 ziz22，z 2二.平面及其方程1 .法（线）向量，法（线）方向数。与平面 垂直的非零向量，称为平面的法向量，通常记成 n o法向量 m,n, p的坐标称为法（线）方向数。

30、对于给定的平面，它的法向量有无穷多个，但它所指的方向只有两个。2 .点法式方程 已知平面 过m xo,yo,zo点，其法向量n a, b,c ,则平面 的 方程为ax x0 by y0 c z z00或 n r r00其中 roxo, yo,zo , r x, y,z3 . 一般式方程ax by cz d 0其中a, b, c不全为零。x, y, z前的系数表示的法线方向数，n a,b,c是的法a1a2 bi b2 cic2向量。特别情形:axbycz 0 ,表示通过原点的平面。axbyd 0 ,平行于z轴的平面。ax0 ,平行yoz平面的平面。0表示yoz平面。4 .三点式方程设 a x1，

31、y1，zx2 , y2 , z2 ,c x3,y3,z3三点不在一条直线上， 则通过a,b,c的平面方程为x xiyizix2 xiy2yiz2zix3xiy3yiz3zi5 .平面束设直线l的一般式方程为axa2xbiyb2 ycizc2zdid20,则通过l的所有平面方程为0ki aix biy ciz dik2d20,其中 ki,k20,0 o6 .有关平面的问题 两平面为i : aixbi y cizdi2 : a2xb2 y c2zd20cos夹角a2bi2ci2：a b；c22垂直条件nab1b2c1c2o平行条件a1b1c1d1a2b2c2d2重合条件a1b1c1d1a2b2c2

32、d2m到平面的距离d :设平面 的方程为ax by cz d 0,而点m xi,yi,z1为平面 外的一点，则ax1 by1 cz1 d.a2 b2 c2三.直线及其方程1 .方向向量、方向数与直线平行的非零向量 s,称为直线l的方向向量，方向向量的坐标称为方向数。2 .直线的标准方程（对称式方程）xxoyyozl mzo其中xo, yo, zo为直线上的点，l, m,n为直线的方向数。3 .参数式方程xo ltno mt zo ntl, m,n ,t为参变量。设 axi,yi,z1 ， b4 .两点式x2,y2,z2为不同的两点，则通过 a和b的直线方程为x xi yy1zz1x2xiy2y

33、iz2 zi5. 一般式方程（作为两平面的交线）ax b1ya2x b2yc1z d1c2z d2,方向向量 sa,b1,c1a2,b2,c26 .有关直线的问题 两直线为x xiyyiz ziliminix x2 y y2 z z2l2m2n2li与l2间夹角coslil2m1m2 n1n2j；22,、22mini ql2 m22n2垂直条件lil2m1m2 n1n20平行条件li mi nil2 m2 n2四.平面与直线相互关系平面的方程为：ax by cz d 0直线l的方程为：x xo y yo zzol m nl与间夹角（）al bm cn sin；,ja2 b2 c2 vl2 m2

34、 n2l与垂直条件l m nabcl与平行条件al bm cn 0l与重合条件al bm cn 0l上什-点在 上乙典型例题5432考研论坛()友情提供下载 x 1 y 1 z 例1.已知直线l : - ，若平面 过点m 2,1, 5且与l垂直，求平面321的方程。分析：由题意可知，直线 l的方向向量s 3,2, 1必定平行于所求平面的法线向量n ,因此可取n s 3,2, 1利用平面的点法式方程可知3x22 y 1 z 50即3x22y1 z5 0为所求平面方程。或写为一般式方程3x 2y z 13 0。例2.设平面 过点1,0, 1且与平面4x y 2z 8 0平行

35、，则平面 的方程为例3.通过点m 1,2,3且与直线l :x 2 3t, y 2t , z 1 t垂直的平面方程为。例4.求点m0 1,2,1到平面 :3x 4y 5z 2 0的距离。例5.试确定过m 1 2,3,0 , m 22, 3,4 及 m30,6,0三点的平面方程。例6.求通过坐标原点且垂直于直线x y z l :4x 3y7 0的平面方程。z 6 0例7.求通过点p 1,2,1且垂直于两平面：x y 0和5y z 0的平面方程。 53曲面与空间曲线内容要点一曲面方程1一般方程fx, y,z 02参数方程x x u.vy yu,vu,v d （平面区域）z zu,v二空间曲线方程1一

36、般方程f1x, y, z 0f2x, y, z 02参数方程xxtyyttz zt三.常见的曲面方程1.球面方程设po xo,yo,zo是球心,r是半径，p x, y,z是球面上任意一点，则|pp r,即22x xoy y02.旋转曲面的方程(1)设l是xoz平面上一条曲线，其方程是z zo 2r2f x, z 0,l绕z轴旋转得到旋转曲面, y o.设p x, y,z是旋转面上任一点，由点po xo,o, zo旋转而来(点 m 0,0, z是圆心)。由xo |mpo| |mp| jx2 y2,zo z得旋转面方程是fx2y2,z o或 由参数方程x ft,y gt,z htt ,得旋转面的参

37、数方程x f2 tg2tcos ,yv f21g2tsin ,t , o 2z h t .f1 x, y, zo(2)求空间曲线1 ,绕z轴一周得旋转曲面的方程f2 x, y,z o第一步：从上面联立方程解出x f z , y g z 2222第二步：旋转曲面方程为x y f z g z绕y轴一周或绕x轴一周的旋转曲面方程类似地处理。5.二次曲面曲面名称方程曲面名称方程椭球面222xyzi2. 221abc旋转抛物面22xy八z p 02p 2p椭圆抛物面22x ynz- z p,q 02p 2q双曲抛物面22x y- z p, q 02p 2q单叶双曲面222xyz2.221abc双叶双曲面

38、222x y z12,221a b c二次锥面222、匕2 02,22a b c椭圆柱面22上工12.21a b双曲柱面223工1a2 b2抛物柱面2xcy p 0 2p四.空间曲线在坐标平面上的投影1 .曲线c的方程f x, y,z0g x, y, z0曲线c在xy平面上的投影先从曲线c的方程中消去z得到h x, y 0,它表示曲线c为准线，母线平行于 z轴 的柱面方程，那么h x, y 0z 0就是c在xy平面上的投影曲线方程。曲线c在zx平面上投影或在 yz平面上投影类似地处理2.曲线c的方程则曲线c在xy平面上的投影曲线方程为x f t曲线c在zx平面上投影曲线方程为y 0z h tx

39、 0曲线c在yz平面上投影曲线方程为y g tz h t第六章多元函数微分学6.1 多元函数的概念、极限与连续性甲内容要点1 .多元函数的概念1 .二元函数的定义及其几何意义设d是平面上的一个点集，如果对每个点 p x,y d ,按照某一对应规则f ,变量z都有一个值与之对应，则称 z是变量x, y的二元函数，记以z f x, y , d称为定义域。do例如 z j1 x2 y2 , d : x2 y21二元函数的图形为以原点为球心，半径为1的上半球面，其定义域 d就是xy平面上以原点为圆心，半径为1的闭圆。2 .三元函数与n元函数u f x,y,z x, y,z空间一个点集称为三元函数u f

40、 x1，x2 ,xn称为n元函数它们的几何意义不再讨论，在偏导数和全微分中会用到三元函数。条件极值中，可能会遇到超过三个自变量的多元函数。2 .二元函数的极限设f x, y在点x0,yo的邻域内有定义，如果对任意0,存在 0,只要v x xo 2 y yo 2,就有 f x, y a则记以 lim f x, ya或lim f x, y ax xox,y xo,yoy yo称当x, y趋于xo,yo时，f x, y的极限存在，极限值为a,否则，称为极限不存在。值得注意：这里 x,y趋于xo,yo是在平面范围内，可以按任何方式沿任意曲线趋于xo, yo ,所以二元函数的极限比一元函数的极限复杂；但

41、考试大纲只要求知道基本概念和 简单的讨论极限存在性和计算极限值，不像一元函数求极限要求掌握各种方法和技巧。三.二元函数的连续性1 .二元函数连续的概念若lim f x, y f xo,yo则称f x, y在点xo,yo处连续。x xo y yo若f x, y在区域d内每一点皆连续，则称 f x, y在d内连续。2 .闭区域上连续函数的性质定理1.（有界性定理）设 f x, y在闭区域d上连续，则f x, y在d上一定有界.定理2.（最大值最小值定理）设 f x, y在闭区域d上连续，则f x,y在d上一定有 最大值和最小值max f x, y m （最大值）， min f x, y m （最小

42、值）x,y dx, y d定理3.（介值定理）设 f x,y在闭区域d上连续，m为最大值，m为最小值。若m c m ,则存在 xo, yod ,使得 f xo, y c乙典型例题.求二元函数的定义域例1.求函数z arcsin x xy的定义域x解：要求一 1 即 3 x 3；3又要求 xy 0 即x0, y 0 或 x 0, y 0综合上述要求得定义域0x3例2.求函数z,4in2x 1的定义域二.有关二元复合函数例 1 .设 f x y, xx, y解：设x y uv解出代入所给函数化简f u,v故 f x, y例2.y,xy3xy5,x, y例3.1时,例4.0时,x2,求函数f和z。.

43、有关二元函数的极限例1.讨论limx2x y解：原式而limxy axy0常数）limx y axy1xyxyx2xy x yxy令_ xylimt2又limxy a xy x y1limxy a y 11原式ealimx 0 y 02x y42x y例3.讨论2 x limn - x 04y 0 x3y22y例4.讨论lim x yx y22x xy y 6. 2多元函数的偏导数与全微分甲内容要点一.偏导数1 .定义设二元函数z f x,yf x0x, y0f x0, y0z若lim -0存在，则记以fx x0,y0 ,或一x 0xx x0,y0x,y。或zx称为z f x, y在点x0,y

44、0处关于x的偏导数。f xo,yoy f xo,yo同理，若lim 存在，则记以 fy xo,yoy oyz成y xo,yo或zy称为z f x, y在点xo, yo处关于y的偏导数。xo, yo类似地，设uf x,y,zfx xo,yo,zoxodf x,yo,zodxyofy xo, yo,zodf xo, y,zodyfz xo, yo,zodf xo,yo,zzodz2.二元函数偏导数的几何意义fx xo,yo表示曲面 z f x, y 与平面 y yo的截线在点 xo, yo, f xo, yo处的切线关于x轴的斜率；fyxo,yo表示曲面 z f x, y与平面x xo的截线在点x

45、o, yo, f xo, yo处的切线关于y轴的斜率3.高阶偏导数设z f x, y的偏导数fx x, y和f y x, y仍是二元函数，那么它们的偏导数就称为z f x, y的二阶偏导数，共有四种。2zzf 一2fxx x, yx x x2z z - fxy x, yy x x y2z,一fyx x, yy xfyy x,y2222当 一z , 一z在x, y处为连续则 一z 一z xyyxx y y x也就是说在这种情况下混合偏导数与求导的次序无关。类似地可以讨论二元函数的三阶及n阶偏导数。也可以讨论n元函数n 3的高阶偏导数。二.全微分1 .二元函数的可微性与全微分的定义设z f x, y在点xo,yo处有全增量z f xo x,yo y f xo, yo若 zaxby0x 2 y 20其中a,b不依赖