一道IMO试题的探究与推广

1、温州市第五届“摇篮杯”数学小论文研究主题：一道imo试题的探究与推广学 校：温州市实验中学成员姓名：陈子翔 苏津岳指导师：陈青丰二0一一年十一月道imo试题的探究与推广摘要关于一道imo试题的证明、推广和一些有趣的结论。定义同一折线：若折线ambw折线a m b为同一折线，则m到ab得距离与 m到a b的距离相等。正文题目：在线段ab上任意选取一点m ,在ab的同一侧分 别以am、mb为底作正方形amcd、mbef ,这两个正 方形的外接圆的圆心分别是p、q,设这两个外接圆又 交于m、n ,(a)求证 af、bc相交于n点；(b )求证 不论点m如何选取 直线mn都通过一定点s；(c)当m在a

2、与b之间变动时，求线段 pq的中点的轨迹(第一届imo试题)证明：(a )证法1、m在ab中点左右对结论无影响，只需沿 ab中垂线翻折即可，固只需讨论 m在ab中 点左侧情况。10z anm= 2 z amp= 4500zfnm= 180 2 zfqm= 1350 ./anm+ / fnm= 180：a、n、f三点在一条直线上又.在 amf, amcb 中，0am=ml ； / amf= / bmp= 90 ； mf=bm.amf amcb (sas)/ cmb= / afm= / nfm= / nbm：n、c、b三点一线：af、bc相交于n点证法2:连 af, bc易知fma wbmc延长b

3、c交af于k/ fkb=90 = / bka= / feb= / cda：febk四点共圆,adkm四点共圆.三点确定一个圆.k即为两圆交点n：af, bc 交于 n(b)设am=a,bm=b ,过n点做垂直于ab的线段nk:易证： ankaamf bnkabmlnk a-mkb ank b mka bn ka b相减得 m k b- a;延长nm与ab的中垂线交于一点v。中垂线与ab交号 .mnkamfuuf _ nk _ a b:mu mk b-aufa b 2不变:必经一点s(c )设pq中点离ab的高为ha与h的距离为sa b2 2 a b abh 二二二244a b as 二-42：

4、pq中点与ab距离不变a bab.pq中点的轨迹运行为平行于ap的平行线且绐终于 4处，长度为2探究与发现:发现一：通过图画，我们惊异的发现 dne似乎也三点一线，也就是说 de、af、bc三线共点于一点no那么是否果真如此?证明:连 dn, ne0. / dnm= / dcm= 900zmne= zf= 90：/dnm+ z mne= 1800 n、d、e三点一线结论成立与此同时，我们还发现固定s是以ab为边向下做正方形的外接圆圆心。 那么 是否对于任意正n边形均成立？我们先举一例特殊情况来进行检验特殊情况的讨论：n=3时为了检验猜想的准确性，我们选取了 n=3时特殊情况进行探究。证明: 设

5、 am= a , mb= b , ab= k : / cnm= /mnd= 1200“0z anm= zmnb= zacm= z mdb= 60：/and= 600+ 1200= 1800zcnb= 600+1200= 1800：c、n、b三点共一线；a、n、d三点共一线以ab为x轴，a为原点o创建直角坐标系a 23 23 2(x-a)2 (y a)2 =(-a)2263相减推出(a , 0)即m 22 也即为s过pfq分别做pk1, fk2,qr aba 3 b 3_2323 (a b) 3fk2 =212a b22 - abk1k2 一一24i/ a a b k八 kk2 a = a=-

6、a 0 三aw44（2 ）k（a b）、3轨迹为平行于ab的线段，长为 36001800b2nma1nm nn ：a1、b2、n三点成一线 其次我们证明n、ani bn三点一线 ,离ab的距离为12可由第二问发现s点并不是以ab为边向下做正方形的外接圆圆心。但仍为一 固定点。猜想与讨论:于是我们对于以上的发现，我们猜想对于以 am向上做的正n边形与bm向上做的正n边形是否也有（1）各不同的n-1对顶点所连接而成的线段共点交于no （2）两圆圆心pq的中点的轨迹平行于 ab。（3） mn所在直线经过ab的 中垂线上的一周定点so普通情况的证明： 第一问：必有各不同的n-1对顶点所连接而成的线段共

7、点交于 n证明: 如图：以a1开始，顺时针命名a1a2 an以b1开始，顺时针命名b1b2 bnanm1 3601800n首先我们证明a1、 b2、 n三点成一线.mnanl =1800=.mnbn.n、an以三点一线最后我们证明如果aj、bj + n三点一线,则ajt bj卡、n三点一线，0aj inaj =也 n0 1800.bj 1nbj 2 =180 - n.a inbj 2 =180.aj书、bj也、n三点一线，结论成立。annnan由此，可递推至 22 (三三);占i幺戋k八、另半支的三点一线可由anbnn三点一线同理可推得anan.1当n=2k时，有一特殊情况，2 2bnbn,1

8、22ana1800-4 2心zb-22annbn 1：22共线结论成立综上各不同点共有(2n-1)个共有n-1条线共点，结论成立。abn第二问：两圆圆心pq的中点的轨迹也平行于 ab几何法:设am= a , mb= b , ab= k n为多边形的边数90(n -2)过p、q和pq中点x,分别做pklqk3xk2aba2x 180 tanxk2 ;n-b2x 180tan 一 n21804 tan na bx tan490(n-2)na bxtan 34a bk1k2 二4 a bak2 二4,.,0 a k3k2 4：轨迹为平行于ab的线段，长为1k2,离ab的距离为a bxtan -4代数

9、法:以a为原点建立坐标系，设am=a,mb= b , ab= kn为多边形的边数92m设n边形时，na abp(, tan - ) q(a此时，2 22b,2t an )pq中点3a b a b, 一、k(,tan - )44=2a k k. 一、 k (, tan - )结论成立,平行于ab的直线第三问:mwt在直线经过固定点so(x -)2 (y -atan 1 )2 二以p为圆心， 224cos2 ：以q为圆心,/ bx-(a 2), b,、2 b2(y tan ) 二-24cos ;b22、 1 , 2, 、 ，1 八 22、ab-x(a b) (b -a ) tan ,二(a-b)y

10、tan： =2(b -a )444cos ;112abi /k 12k 1 、k xk ( ak)tan 工(2a - k) y tan ： - ( ak) 2 ：-424242 cos22,k21 ,、. 2 ,k21 ,、.小一( ak -xk) sin _：( ak) sin ： cos.：y(2a -k) 4242化得 k(a-x)cos二+y(2a-k)sin =二0飞点坐标为4-1)结论仍成立，对于n边形，mn仍过一固定点s,坐标如上所示。另一方面的思考关于amb为折线时第一问显然还是成立但前提是两圆有交点即为顶角大于竺0度。定义同一折线即为ab长度相等，m与ab的距离相等的折线，

11、m可以在与ab 平行的直线上任意移动第二问：zanm = zacm =作正人加厉的外接圆ox 延长与。汇交于点。zanm = zacms.au=bu/ zanb = rt/: zaub = rta二月l/b为等腰般小,二月b的长度已经确定 二。点唯一确定,经过定点第三问w为原点与为与轴正方向建立直角坐标系设4b 二4幽”(0,0”60)c(a b9a + b)f(a +b9l - a + b),ab apwc,a + b + i (2 + 6 + /a + i+ 0(工 22坏变，。的纵坐标不变，。的轨迹是一条与大轴平行的直线 再进一步的思考: 对于任意在任意折线上相似的两有外接圆的 n边形，

12、第三问仍然成立吗?对于任意的两个相似的 n边形，任意一对对应线段的两端点与其外接圆圆心构成的等腰三角形显然相似（如图， pabs/xqcd）对于任意的n边形，都可以化为等腰三角形，即对于任意两个有外接圆的 相似n边形，均有两个相似等腰三角形使得有两边上的顶点与外接圆圆心与之 等价。所以 任意n边形的问题必然可以转化为等腰三角形的问题所以问题转化为： 对于在折线上的任意两个相似的等腰三角形，这两个等腰三 角形的外接圆的圆心连线的中点的运动轨迹如图知对于任意等腰三角形都有一个直角三角形与之外接圆一样 所以问题进一步转化为直角三角形的问题。二。在一条与ab平爷总结:所以我们得出结论:(一)对于以am向上做的正n边形与bm向上做的正n边形有(1)各不同的n-1对顶点所连接而成的线段共点交于 no(2)两圆圆心pq的中点的轨迹平行于 ab。且长为1k,离ab的距离为2a b tan ;4(3)mn所在直线经过ab的中垂线上的一固定点s且坐标为。(k,_),2 2tan:90(n -2)