任意角的三角函数案例分析

1、1.2.1 任意角的三角函数、三维目标：1 .通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，理解三角函数是以实数为自变量的函数，并从任意角的三角函数的三角函数定义认识正弦、余弦、正切函数的定义域,理解并掌握正弦、余弦、正切函数在各象限内的符号。2,通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同角的同一三角函数值相等。、教学重、难点：重点：任意角的正弦、余弦、正切的定义，终边相同的角的同一三角函数值相等.难点：用角的终边上的点的坐标来刻画三角函数；三角函数的符号第一课时任意角的三角函数(一)一、创设情境提问：锐角 的正弦、余弦、正切怎样表示？借助右图直角三角形，复习回顾 .引入：锐角三角函数就是

2、以锐角为自变量，以比值为函数值的函数。数，你能用直角坐标系中角的终边上点的坐标来表示锐角三角函数吗那么它的终边在第一象限.在的终边上任取一点如图，设锐角 的顶点与原点o重合，始边与x轴的非负半轴重合p(a,b),它与原点的距离 r ja2 b2 0 .过p作x轴的垂线，垂足为m ,则线段om的长度为a ,线段mp的长度为b,则sincos om a； tanop r思考：对于确定的角mp bop r ；mp b.om a,这三个比值是否会随点p在的终边上的位置的改变而改变呢？显然，我们可以将点取在使线段 op的长r 1的特殊位置上，这样就可以得到用直角坐标系内的点的坐标表示锐角三角函数:sin

3、 mp b; cos om a; tan 空 b. opopoma思考：上述锐角的三角函数值可以用终边上一点的坐标表示,那么，角的概念推广以后，我们应该如何对初中的三角函数的定义进行修改，以利推广到任意角呢？本节课就研究这个问题一一任意角的三角函数.二、探究新知(1) 究：结合上述锐角的三角函数值的求法，我们应如何求解任意角的三角函数值呢？显然，我们只需在角的终边上找到一个点，使这个点到原点的距离为1,然后就可以类似锐角求得该角的三角函数值了,所以，我们在此引入单位圆的定义 ：在直角坐标系中，我们称以原点o为圆心，以单位长度为半径的圆.2,思考：如何利用单位圆定义任意角的三角函数的定义？如图，

4、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点p(x, y),那么:y叫做的正弦，记彳si sin ，即sin y；(2) x叫做 的余弦,记做cos ,即cosx ；(3) 叫做 的正切，记做tan ，即tan1(x 0).xx注意：当a是锐角时，此定义与初中定义相同(指出对边，邻边，斜边所在)；当“不是锐角时，也能够找出三角函数，因为，既然有角，就必然有终边，终边就必然与单位圆有交点p(x, y),从而就必然能够最终算出三角函数值.3 .思考：如果知道角终边上一点，而这个点不是终边与单位圆的交点，该如何求它的三角函数值呢？前面我们已经知道，三角函数的值与点 p在终边上的位置无关，仅与角的大小有关.

5、我们只需计算点到原点的距离rjx2y2 ,那么sincostan .所以，三角函数是以为自变量 ，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函 x数，又因为角的集合与实数集之间可以建立一一对应关系，故三角函数也可以看成实数为自变量的函数.4 .例题讲评例1求5-的正弦、余弦和正切值.3例2已知角 的终边过点f0( 3, 4),求角的正弦、余弦和正切值教材给出这两个例题，主要是帮助理解任意角的三角函数定义.我也可以尝试其他方法如例2:设x 3, y4,则 r j( 3)2 ( 4)2 5.y十无 sin 一 r5.练习：1.已知角2.已知角三角函数值4 x3y 4,cos, tan .5 r5x

6、3的终边过点 p 12,5 ,求 的三个三角函数值的终边上一点 p 15a,8a (acr且awo),求的三个6.探究：请根据任意角的三角函数定义，将正弦、余弦和正切函数的定义域填入下表:7 .例题讲评例3求证：当且仅当不等式组 sintan0成立时，角 为第三象限角.08 .思考：根据三角函数的定义，终边相同的角的同一三角函数值有和关系显然：终边相同的角的同一三角函数值相等.即有公式一：sin( 2k ) sin ;cos( 2k ) cos (其中 k z)；tan( 2k ) tan 。9 .例题讲评例4确定下列三角函数值的符号 ，然后用计算器验证：(1) cos250 ；(2) sin( ) ；(3)tan( 672 ) ；(4) tan3 。例5求下列三角函数值：小,小、9 小、,，11、 sin1480 10 ；(2) cos；(3) tan()。46利用公式一，可以把求任意角白三角函数值，转化为求0到2 (或0到360 )角的三角函数值.另外可以直接利用计算器求三角函数值，但要注意角度制的问题.10 .巩固练习11 .学习小结1 .内容总结： 三角