博弈论期末复习题

1、一、支付矩阵1、试给出下述战略式表述博弈的纳什均衡b再看看它是否有混合战略均衡设b以(巧-尸)玩混合战略，则有均衡条件：va(u) -12(1 - ) -2 -va(d) =46(1 - ) =6-22 - =6-2得t =4 1 ,这是不可能的，故无混合战略均衡，只有这一个纯战略均衡。2、试将题一中的支付作一修改使其有混合战略均衡解：由奇数定理，若使它先有两个纯战略均衡，则很可能就有另一个混合战略均衡。5.62,54,16,2lrud将博弈改成上述模型，则52(1 -)=46(1 -)2 3丁二6 -2/日 4得 =一5同样，设a的混合战略为(日,1日)，则46i - 1 (1 一 与=5i

2、 2(1 - u)1 5 - - 2 31-12于是混合战略均衡为二、逆向归纳法1、用逆向归纳法的思路求解下述不完美信息博弈的子博弈精炼均衡设在1的第二个信息集上，1认为2选a的概率为p , 则 1 选 l的支付=5p +2(1 p) =2+3p1 选 r的支付=6p +3(1 p) =3+3p a2 + 3p故1必选r。二 给定1在第二个决策结上选 r, 2在左边决策结上会选 a,故子博弈精炼均衡为1l,r；（a,d”四、两个厂商生产相同产品在市场上进行竞争性销售。第1个厂商的成本函数为ci =q1，其中qi为厂商1的产量。第2个厂商的成本函数为 c2 = cq2,其中q2为厂商2的产量，c

3、为其常数边际成本。两个厂商的固定成本都为零。厂商2的边际成本c是厂商2的“私人信息”，厂商1认为c在.11,3/ 上呈均匀分布。设市场需求函数为p =4-q -q2,其中p为价格，两个厂商都以其产量为纯战略，问纯战略贝叶斯均 衡为何？解：给定q2,厂商1的问题是max 二 1 二 (p 7)q1q1二(4 - q1 - q2 - 1)q1因q2 = q2(c)。厂商1不知道c,故目标函数为3/2max 1 (4 -。-q2(c) -1)qdcqi 2= max 3q -q； -q1 ：(溯一阶条件：3/23 -2q1 - 1 q2(c)dc =02(1)31 3/2得 q1二二一二 1 q2(

4、c)dc22 2厂商2的问题是：max二2 = (p -c)q2q2二(4 -q1 -q2 -c)q2二(4 -c)q2 -qq2 - q2一阶条件:(4 -c) -2q2 -0（2）4 - c - q1q2（c）:2代入式（1）：31 3/24-c-q1q =一23dc1 3/24-q13/21 cdc25g 碰34 -q11 i248得 qi =1代入式（2）:q2（c）=3 -c若 c =1 ,则 q1 = q2 =12725 3若信息是完全的且c = 1 ,则古诺博弈均衡为q1 =q2 =31 , n1 =n25这说明信息不完全带来的高效率。树找子2、完美信息动态博弈。会用策略式表达、

5、 扩展式表达。用方框找纳什均衡，用 博弈精炼均衡。讲理由，看例题。市场稣*体班加进入 a不进入-3 , -3-3 , -311 , 01,0_o , 10 , 0口，10,0（进入，进入x进入.不端入）1.5故选a2。当接收者看见 m2,选&的支付为u(m2) 1 (1 - u(m2) 5=5-4u(m2)选a2的支付为u(m2) 7 (1 -u(m2) 3=3 4u(m2)当t1选m1,接收者会选 a2, t1得支付10,要求t1不选m2,对u(m2)无要求，因 3总会选m1。当t2选m接收者会选a2, t2得支付3,要求t2不选m2是不可能的，因t2选mb 是占优于选 m1的，故此混同均衡

6、t t12 t ml1不存在。再看混同均衡 11t m2, 12 t m2此时u(m)=0,1为非均衡路径上的后验概率，u(m2) =0.5当接收者看见 m2,选研的支付为0.5 1 0.5 5=3选a2的支付为0.5 7 0.5 3 =5 3故接收者必选a2。当接收者看见 m1时，选a1的支付为u(m1) 2 (1 -u(m1) 1 =1 u(m1)选a2的支付为u(m1) 8 (1 -u(mi) 7 =7 u(m1) 1 u(m1)故必选a2。这样，无论发送者发出m1或m2信号，接u者总选a2,二给定接收者总是选a2。ti会选mi),t2会选m2。口故11t m2, 12 t m2不是混同

7、均衡。看分离均衡t1 t mi , 12tm2u(m1) =1, u(m2) =0接收者看见mi时，必选a2接收者看见m2时，必选a1此时，ti选mi, t2选m2二 故11tm1, 12 t m2是一个分离均衡。最后看分离均衡11tm2, 12 tmiu(mi) =0 , u(m2)=1接收者看见m1时，必选a2接收者看见m2时，必选a2二给定接收者总选a211tm1, 12tm2= 故ti t m2, 12 tmi不是分离均衡。故只有一个纯战略子博弈精炼分离均衡ti . mit2 m2鹰-鸽(hawk-dove)博弈(1)参与人：争食的两只动物 -动物1和动物2。动物1和动物2的行动空间都

8、是一样的，即： ai=鹰，鸽 i=1 , 2支付矩阵如下:第动物h动物q鸽口,匹3鸽小h 4小3, 3口(2)此博弈属于完全信息静态博弈，根据奇数定理知道共有三个纳什均衡，两个纯策略 纳什均衡和一个混合策略纳什均衡。两个纯策略纳什均衡是：（鹰，鸽）和（鸽，鹰）。混合策略纳什均衡是：动物 1和动物2 分别以50%的概率随机地选择鹰（象鹰一样行动）或者鸽（象鸽一样行动）。纯策略纳什均衡可以用划线法或箭头法求解。混合策略纳什均衡则可根据无差异原则求解概率分布，即：首先，动物1应该以q的概率选择鹰，以1-q的概率选择鸽，使得动物2在鹰或者鸽之间无差异，那么可得 q* :由4（1-q） = q+3（1-

9、q）得q*=50% ;其次，动物2应该以a的概率选择鹰，以1-a的概率选择鸽，使得动物1在鹰或者鸽之间无差异，那么可得 a*:由4（1-a） = a+3（1-a）得a*=50%。（3）此博弈实际就是一个斗鸡博弈，在现实生活许多现象都与此类似，如市场进入、前苏联与美国在世界各地争抢地盘等。七、狩猎博弈此博弈同样是一个完全信息静态博弈，参与人是两个猎人，他们的行动是选择猎鹿或者猎兔。支付矩阵如下：猎人2a猎人3鹿。鹿。500, 500p0, 1 叩4兔一100,根据划线或箭头法我们可以很容易地知道此博弈有两个纯策略纳什均衡，即：（鹿，鹿）和（兔，兔），也就是两个猎人同时猎鹿或同时猎兔都是纯策略纳什

10、均衡。由于存在两个纯策略纳什均衡，现实中究竟哪个均衡会出现就是一个问题，这是多重纳什均衡下的困境。 但是，比较两个纳什均衡， 很容易发现两人都猎鹿帕累托优于两人都 猎兔，所以，对两个猎人而言，都猎鹿是一个“更好”的纳什均衡，因此，在现实中两 个人都决定猎鹿的可能性要更大一些。然而，正如卢梭所言，如果一只野兔碰巧经过他们中的一个人附近，那么也许这个人会去猎兔而使猎鹿失败，因为两个人都猎兔也是一个纳什均衡，这就是人的自私性。此外，在多个纳什均衡下，博弈之外的其他因素有助于我们判断哪个均衡会出现。比如，两个猎人是好朋友，经常合作，那么我们几乎可以100%的肯定他们都会同时选择猎鹿。 如果他们是仇敌，

11、那么我们可以肯定他们不会合作猎鹿，因此他们都会选择各自猎兔。不完全信息夫妻博弈混合策略均衡给定妻子分别以q,1-q的概率选择时装、足球，则丈夫选择时装、足球的期望收益相等，即来源:考试大-考博考试1.q+0.(1-q)=0.q+3.(1-q),解得妻子选择时装、足球的概率分别为(3/4, 1/4)给定丈夫分别以p,1-p的概率选择时装、足球,夫妻之争两博弈 方的反应威迪“3,1变子选符网装的 期生捋益小于逢异足球邸t 去了南宏每早球.t31q=0；如 果则支子法界时装的期 呈杵益为大于造瘠足球的卷 瑞诜g ,即pt则妻子选择时装、足球的期望收益相等，即2.p+0.(1-p)=0.p+1.(1-

12、p),解得妻子选择时装、 足球的概率分别为(1/3, 2/3)当妻子以(3/4, 1/4)的概率分布随机选择时装表p产箝可；=)p5演和足球，丈夫以(1/3, 2/3)的概率随机选择时装表 演和足球时，双方都无法通过单独改变策略，即单独改变随机选择纯策略的概率分布而提高利益，因此双方的上述概率分布的组合构成一个混合策略纳什均 衡。该混合策略纳什均衡给妻子和丈夫各自带来的期望收益分别为:q.p.2+q.(1-p).0+(1-q).p.0+(1-q).(1-p).1=2/3;q.p.1+q.(1-p).0+(1-q).p.0+(1-q).(1-p).3=3/4 双方的期望收益均小于纯策略时的期望收

13、益。某些静态贝叶斯博弈的例子1、市场进入博弈一个完全垄断企业 b正在垄断一个行业市场，另一个潜在的试图进入该行业的企 业a,称a为进入者，b为在位者。a不知道b的成本特征，设b有两种可能的成本, 即高成本和低成本。两种成本情况下的博弈矩阵如表6.1。表6.1市场进入博弈b高成本低成本40,50-10,030,80-10,1000,3000,3000, 400进入不进入默认 斗争 默认 斗争假定b知道进入者a的成本为高成本，且与b为高成本时的成本相同。 假若信息 是完全的，则当b为高成本时，唯一的精炼纳什均衡为(进入，默认)，另一纳什均衡(不进入，斗争)是含有不可置信的威胁。当 b为低成本时，唯

14、一的纳什均衡为(不 进入，斗争)，即若a进入行业，具有低成本优势的b将通过降低价格将 a逐出市场。由于存在行业进入成本，所以a被逐出市场后将有净的 10单位进入成本的损失。当a不知道b的成本情况时，他的选择将依赖于他对 b的成本类型的主观概率或 先验概率密度。设a对b是高成本的先验概率判断为p ,则a认为b为低成本的概率为1 - p。如果a进入，其期望支付为p(40) (1 -p)( -10)如果1不进入，其期望支付为 0。11当且仅当p(40) +(1 p)(10)之0或p之一时，a选择进入；反之，当p一时, 55a不进入。于是，贝叶斯均衡为：一 1(进入，默认)，高成本，p之二；5，、，小

15、 ，一 一1(进入，斗争)，低成本，p之一；51(不进入，*), p 0, p为产品价格，q为市场需求量。 假设a充分大时总有a -p 0 ,企业i的成本函数为ci =biqi ,其中ci为企业i的总 成本，qi为其产量，bi为其平均成本，bi为常数且bi 0 ,故bi也是边际成本。bi是 企业i的私人信息，企业j不知道bi但认为bi在d,e上呈均匀分布，d 0 , e0, d e-dhjj一阶条件：-ui-qi(e -d)- 1 (ed)qi +(a -qi)(e-d) - jqj (bj)dbj h(e d) =0(a -bi)(e -d) - qjqi =2(e-d)(6.(5)同样由对

16、称性有2(e -d)(6.(6)在上式两端对也进行积分22e - d c a(e _ d) - q iqj =22(6.(7)在式(6.5)两端对bi积分2, 2e -da(e-d)- q jqi =2(6.(8)将式（6.7）代入式（6.8）的右端，得e da(e -d)(6.(9)由对称性有qj = qie da -(e-d)3代入式（6.5）得*qi(a -bi)(e - d)(e - d)2(e-d)e d2a -3bi e d2hj2a-3bj同理有q*=26 e de d2a - 3b12a - 3b2于是得静态贝叶斯均衡为 (22)。66一. 、一 一， * *当a充分大时，qi

17、和qj均为非负数。 *当 b1 ab?时，q1 q2； * _ _ * _ _ * *均衡利润n1 =(pb1)q1 (p-b2)q2 =n2,即成本较高的一方利润较低，产量较低。当e = d时，博弈退化成完全信息静态博弈的场合。为了与例 3.26相比较，进 步设 d =e 二c , b1 =b2 =c,则4* i .q1 =q2 = 3(a -c)这正好回到例3.26的结果。d e若假设 dec -(a -c),此时每个厂商都误以为对万的成本较自己局的可能性大一 3些，从而过于自信地扩大产量。d ，e一,相反，若假设 o-e , b1 =b2 =c,则24 * iq1 =q2 -(a-c),此时每个厂商都误以为对万的成本较自己低的可能性大一3些，从而过于谨慎地计划自己的产量。b 企业成本寡头市场两个企业遵循古诺模型， a