浅谈数学思想和数学方法

1、实用文档 山西师范大学现代文理学院本科毕业论文 浅谈中学数学思想和数学方法 姓 名 系别 业专 级班 学 号 指导教师 答辩日期 成绩 文案大全实用文档 浅谈中学数学思想和数学方法 内容摘要 近年来随着我国教育事业的发展，人们越来越重视对数学教育的研究，数学教学大纲也在不断的改进。而数学的核心成分是数学思想和数学方法，掌握数学思想和方法比掌握数学知识更加重要。本文就数学思想和数学方法的概念，两者之间的区别和联系，它们的基本种类及在题目中的应用进行了简单的研究，以加强对数学知识的理解性记忆和数学能力、数学素质的提高。 数学思想和方法是对数学内容的高度的概括和总结。掌握数学思想和方法，有利于培养学

2、生创新思维和发散思维，加深学生对数学的迁移和应用，提高处理在自然和社会中出现的数学问题的技巧和能力。 【关键词】 应用种类 数学方法数学思想 文案大全实用文档 Plain talk middle school mathematical thought and mathematical methods Abstract In recent years, with the development of education in our country, there is a growing emphasis on the study of mathematics education, mathem

3、atics syllabus are constantly improving. The core component of the mathematics is mathematical ideas and mathematical methods to grasp mathematical ideas and methods to grasp mathematical knowledge are more important. Simple concept of mathematical thinking and mathematical methods, the difference b

4、etween the two and their basic types and title, in order to strengthen the understanding of memory and math ability of mathematical knowledge, mathematical qualities improved. Mathematical ideas and methods are the height of summary of the mathematics content. Mastering them is benefit for students

5、creative thinking and divergent thinking, deepen student migration and application of mathematics, and improve the skills and ability to deal with mathematical problems in the natural and social. 【Key Words】Mathematical thought Mathematical method kinds application. 文案大全实用文档 目 录 引言 1 一、数学思想和数学方法 1 二

6、、数学思想及应用 2 （一）化归的思想 2 （二）数形结合的思想 3 （三）函数和方程的思想 4 （四）分类讨论的思想 4 三、数学方法及应用 5 （一）待定系数法 5 （二）数学归纳法 6 （三）反证法 7 （四）三角法 8 （五）构造法 8 四、小结 10 参考文献 10 致谢 11 文案大全实用文档 浅谈中学数学思想和数学方法 指导教师：学生姓名： 引言 数学作为一门科学，是人们从数学活动中总结出来的。数学可以分为三个部分：数。这三部分中，数学思想最重要，是数学的灵魂，数学学知识、数学思想和数学方法方法是数学的外在表现形式，数学知识则是基础部分。数学思想和数学方法是对数学内作为数.容的高

7、度的概括和总结，是人们在长期的社会实践中提炼出的抽象的思维形式学的核心，数学思想和数学方法是整个数学的基础部分，是对数学在应用领域的归纳和它比数学知识更具有普遍性，可以应用到社会生活中.总结，是对数学本质的深刻认识 的各个领域，是人们处理不同问题的方法和手段。中对中学生应掌握的基础知识作了明确规定，全日制普通高级中学数学教学大纲 要求中学生必须掌握定理、公式中反映出来的数学思想和数学方法。一、数学思想和数学方法 数量关系反映到人的意识之中经过思维活现实世界的空间形式和“数学思想是指动而产生的结果”，是贯穿于数学领域的具有概括性、抽象性的内容。它是在基础数学知识和理论的基础上，为了数学教育而发展

8、和壮大起来的，并日渐趋于完善。中学阶段接触到的数学思想都比较简单，有化归的思想、函数和方程的思想、分类讨论思想、数形结合的思想等等.这些数学思想形成了一个整体化的数学思想系统.其中,化归的思想是其核心部分。 数学方法是数学思想的外在表现形式，指人们利用数学思想解决数学问题的手段、途径，并从这些途径中抽象出的操作性强的规则和模式。数学方法是数学思想的外化形式，注重程序性，可操作性。在中学阶段，经常用到的数学方法有反证法、待定系数法、数学归纳法等。 通常人们习惯把数学思想和方法统为数学思想方法，将两者混为一谈，这是不对的。数学思想和数学方法两个不同的概念，它们有相同点，也有不同点。 数学思想和方法

9、是不同的，它们表现的方式不同。通常,数学思想注重理论知识,是人们对数学理论与内容的本质认识,指引着数学活动的完成。而数学方法则倾向于技巧性,是解决某一数学问题的具体途径，有一定的规则性。因此可以认为,数学思想是内容,方法是形式。 数学思想和方法虽然各有其特点，但它们之间也是相互联系的。数学思想是数学方法产生的基础,指导数学方法的实施；而数学方法蕴含在数学思想之中，是数学思想的具体表现形式，而且数学方法在的使用又可以进一步完善数学思想。总之，两者相辅相 选自王培德，数学思想应用及探究构建教学M，人民教育出版社，2003, 56-78. 文案大全 实用文档 呈，共同组成数学的一部分。 二、数学思想

10、及应用 、， ：函数和方程在中学阶段化归的思想接触到的数学思想有数形结合的思想 。思想、分类讨论的思想这四种 （一）化归的思想把所要解决的问题通过一系列步骤化为已经解决了的或者较为简单的问题去处理 的思想就是化归的思想。化归的思想是数学思想的重要组成部分，是解读数学思想的一 把钥匙。划归定向观察分析联想 1：如表化归的进程，一般是： 1：表 BA 问题问题 CD 问题的解答问题的解答111?x +.=例1 、求实数,使xxxx11x1?x的等差是、,分析：由可以联想到等差中项的概念，即b2?ac?xx 211xx?1?x成、。、中项，变 d?d?xx 2211x?1?x?2， = 解： +?x

11、x 211x?1?x的等差中项 是. ， ?xx 211xx?1?xd?= =设 ， d?2xx 22 选自王培德，数学思想应用及探究构建教学M，人民教育出版社，2003, 56-78. 文案大全 实用文档 1122 ,得?d?321 22x2?1?1?x代入=0， ，整理得 13?x?5?1?x. 解得 25?1x?. 0，x? 2（二）数形结合的思想 数形结合是根据数学题目中的条件和问题的联系，分析其中蕴含的代数信息和几何意义，结合相关公式定理将两者巧妙地结合在一起的方法。既研究“数”的时候结合“形”，研究“形”时结合“数”，从而使问题简化。 pp例2、直线的方程为：(0),椭圆中心(2,

12、0)，焦点在轴上，长xxDLp 22半轴为2，短半轴为1，它的左顶点为。问在什么范围内取值，椭圆上有四个不同Ap 的距离等于该点到直线的距离？的点，它们中每一个点到点AL分析：由到点的距离等于到直线的距离，从而想到抛物线定义，进而将问题转AL化为抛物线和椭圆有四个交点，两方程联立求解。本题将有交点的几何问题转化成方程有解的代数问题。 p,0)，设椭圆与双曲线方程，有： 1, (解：由已知得：2，abA 22?pxy?2?p ?2)?(2x 2?21?y? 4?2p2xx?0 (2)(47pp 4122pp?410，得：30,即1。 1664p48?ppp 3 选自赵小云，叶立军，数学化归思维论

13、M，科学出版社，2005,5-9. 文案大全 实用文档 2ppp2x，7)(2，,4+)内两根设(4结合范围(x)xf(pp 422pppp4?71 0、4+即，且0即4)?(4fp 2123 。4?p 3（三）函数和方程的思想 函数和方程的思想是两个概念。函数思想，即利用函数去解决问题的方法，主要利数量关系入手建立方程使问题解决的方法方程思想，只从问题的用函数的性质。，。 ?a?2aa. 105，且山东卷）已知等差数列的前5项和为例3、（2012 5n10?a的通项公式；求数列 n?m2*bba的前m对任意的项的个数记为，将数列项.求数列中不大于7Nm?nmnS. 和m5a?10d?105?

14、1解：由已知得： ?a?9d?2(a?4d)?11ad=7， 解得=7，11a?7?(n?1)?7?7n. 通项公式为 ?n2m2m?17a?n?7，由 ，得7n?n2m?17b?. 即m2m?1b71?k， ?49? 1m2?b7k?b?是公比为49的等比数列， n ?m74971?n1?S?49? m481?49（四）分类讨论的思想 分类讨论的思想，当问题出现多种情况无法继续综合分析时，需要对各种情况加以分类，求出各种情况下的结论的思想。注意：分类对象的确定性，标准的统一性，划分科学性，做到不遗漏、不重复。 文案大全 实用文档 ?2, ,例4、设,集合BA?D?0?62xa?3(1?a)x

15、?RxBA?x?Rx?0? 1a?. 广东理）（2012 求集合（用区间表示）；D2 :解：0?1?a)x?62xa?3(B?2 ，所以可分以下三种情况：因为，且)1)(3a)a?4?2?6a?3(a?3?3(1?1a?1. 时，当，此时，1?a),?A?(0D?0?R?B1 31?. xx?1，时，当，此时B?a )?(1,?D?(0,10?2 312xxxx，、当时， ，此时，且有两根，设为0a?a)x?62x(?31?a0?3 22113)13)(3a?(1?a)?3(a?)(31?a)?3(a?3)(3a?13?xx 则，2144?xx?. 或于是B?xx?x 2131时所以，当此，时

16、，0?x?0?)x?x?(1?a?0xxx?0?a?3a 12122123. 时，所以，此时；当)?D?(x,x?3a?0?x?0,x,D?(0x)?(x?)0x0?a2221112111；当；综上所述，当时，当时，?a?01?a?a?)?(0,D?A?)(1,?,D?(01)? 333)3a?1)?3(a?3)(13(?a?x)D?(x,?)D?(0,x?(x,?，.时，时，；当其中0?a12214)?13)(3a3(1?a)?(a?3?x. 24 三、数学方法及应用等几种方法、数学归纳法、三角法数学方法有待定系数法在中学阶段经常用到的。 下面就常用的几种方法做出分析。 （一）待定系数法待定

17、系数法就是根据题目中所给变量的函数关系，设出未知数，然后根据题目要求 确定未知数的方法。主要是寻找关系式。2nx?mx3?4?y1,7y?m,n。求, ,、已知函数5例 2?1x 文案大全 实用文档 ?2. ，由已知得 变形为： 解0?n)?43x?(y?myx0my?22 即)12?(mn?(m?n)yy0?y?m)(y?n(?43)?4(0?120的两根，代入7是方程不等式的解集为(-1,7)，则1、)?12?n)y?(ymn?(m11?(m?n)?mn?12?0m?5m?1?得： 得或 ?n?1n?549?7(m?n)?mn?12?0?（二）数学归纳法 n）相关的命题。过程分三步：第一步

18、是证明(数学归纳法可以用来证明与nN?nnknn时命题成立，证明1或1）时结论成立；第二步是假设在当=（=0nk00时命题也成立；第三步，由第一、二步就可以断定对一切n的自然数结论都正确。 n?0 运用数学归纳法证明问题时，关键是第二步的推理，在这步要正确的推导和运算，逐步缩小自己解得的结果与结论之间的差距，从而证明题目结论的成立。 ?nSS?aaS?a，其中满足的前。、重庆设数列项和 例60a?）（2012 n1n2nn?12?a是首项为1求证：的等比数列； nn?1 证明：用数学归纳法证明aa?2nS?aS?aa?a?aa?aa?aaa?0a?1，又，得 ，得，当时，得1?n1221211

19、2122112所以结论成立。 k?1。则，时命题成立， 假设a?akn?2k?ka(S?aS)a?SaS?aa?aSSa?= a2k2k21kk?22k?11kk?11k?1所以时，结论也成立。 1k?n?nn*?na1?a23?a?Nn?N?，.、数列例7证明：对一切，通项公式是，且nn11113?.?. 有 aaa2n21111n?nnn1nn?n?1?1n?3?2?322332?23? ，所以，所以证明：因为 1?na3n31?1?时，左边，右边，命题成立. 当1n?1 a21 文案大全实用文档 k13?成立.为了证明当）时成立，即假设当（，?n?kn?k?k?2Nk?12 ii223?

20、1i?111（，）. 时命题也成立，我们先证明不等式：?1?iNi? i1i1ii?3233?211111i11i?i?1i?，要证,需证,需证23?2?33? i11i?11i?i?1iiii32?3?3?23?23?23111. 需证，该式子明显成立，所以?3?2? i1i?i1i?32?233?kkk33111111?所以命当时，,?1?11n?k? iiiiii3?2323223?23?23?1i?i?1?i1题在时也成立. 1?n?k1113n?.?. ，有综合，可得，对一切正整数21 aaa2n12（三）反证法 反证法不想前面介绍的方法，是一种间接论证的方法，在肯定题设的基础上否定

21、结论，推出与假设矛盾的结论，从而证明原命题成立。 反证法证明分三步： 第一步：假设结论错误，推出相反的结论； 第二步：再假设的基础上，正确推导，找出矛盾； 假设不成立证明原命题成立。第三步： ， 运用反证法作题时，一定要用假设进行推导。如果证明的题目中出现“至少”、“至多”、“不全是”、“唯一”等这样的字眼时，可以尝试用反证法进行证明，进而使问题简单化、清晰化，即正难则反。 反面反面至多有一个 全都是，至少有一个常见的否定有：都不，不全是?反面反面至少有两个。全是，唯一 ?22220?xa?(a?1)x至,8例、若下列方程：，0?2xa?2ax?4x?4ax?a?30 的取值范围。少有一个方程

22、有实根。求实数a分析:至少有一个方程有实根，反面就是：三个方程都没有实根。先求出反面情况时a的范围，再求补集就是所要的答案了。 2?4(4a?316?a)?01?22?(a?1)?4a?0 设三个方程都没有实根，则有：解:?2?2?4(?2a?4a)?0?3 选自陈彤，陈淑珍，高中代数常用解题方法M,东方出版中心，2003，8,19-21. 文案大全 实用文档 ?13?a? 22?31? 即 解得： 1a?,?a?1或a? 23?0?2?a ?3 时，三个方程至少有一个方程有实根。所以当?a?a?1或 2中的三个数都是正数，且公差不为零。求证：它们的、已知等差数列、 例9cab111 不可能是

23、等差数列。、倒数组成的数列 cba 分析：本体的题断是否定式，可以用反证法证明。c?bb111a?1111 。=，即证明：假设、成等差数列，则? cbcbabcbbaa11 =。，,所以，即因为ca?00,c?a?0,b?0?ab?b?c? bcab111 、不可能是等差数列。、是公差不为零的等差数列矛盾，故、 这与、cab cba （四）三角法从,就是把所求问题转化为含有三角函数问题的方法.使复杂问题简单化 所谓三角法,要特别注意化为三角函数后未知量的取值范围而更好的解题。再用三角法解题的时候, .慎重审题2222y?6xx3x?2y ，求且 设的范围。例10、Rx、y? ：解：对条件和结论

24、都可以进行三角换元（转化为三角问题）?cos1?x?2y2?222?1)1(x?x3x?2y?6，则，设由得 6? ?siny?3? 2?33122222?y?x cos?cos2?sincos?1?cos1?2? 222152? 40,2cos?cos? 222222?4?yx?y0?x。所以的范围是： （五）构造法 构造法是这些数学方法中最难掌握的一种方法，它要求根据题目的要求，以结论作为思考的方向，寻找新的思维形式的数学方法。构造法适用于常规思维解决不了的问题。构造法的使用，需要大量的做题技巧和发散的思维形式，而且基础知识必须扎实，对学生的综合能力要求很高。 文案大全实用文档 例11、已

25、知函数是自原点出发的一条折线。当（=1,2，）n1?y?ny?f(x)?n?n由（=1,2，该数列，）时。该图像是斜率为的线段（其中正常数）n(xx)?fbn1?bnn定义。 x的表达式。 、和求：xxn21求的函数表达式，并写出其定义域。 )(xf解：由题意得，又由，当时，函数的图像是1?f(x)(xy?fyf(0)?00?11f(x)?f(0)01，得，=1. 的线段，故由又由，当斜率为时，x2?f(x)1?b2y?1?1? 12x?01f(x)?f(x)112得， 。 函数的图像是斜率为的线段，故由?1x?)x?f(ybb? 2bxx?12n?10x?，为故得段线段的设斜率，由函数的图像中第n b)xy?f(0n?1)(xf(x)?f1?1n?1?nn。=1,2，），又，所以（1?)f(x?nf(x)?nn?xxb? 1n?n 1nn?bx?x?1?nn1xx?得。 因，首，其相为1，由此可知数列公比为为等比数列1?b 1nn?b11?n)(b? b)xx?(x?x?)(x?x)?.?(?x 。= 011nn?2nn?n?11?b 欲求的表达式，由于其图像为折线，因而应是分段函数。要求