数学与应用数学毕业论文有关幂等矩阵与对合矩阵换位子的进一步讨论

1、有关幂等矩阵与对合矩阵换位子的进一步讨论聂晓柳(数学与应用数学系 指导教师:杨忠鹏)摘 要：本文主要研究了复数域上幂等矩阵和对合矩阵换位子的秩等式，及其可逆的等价条件.同时利用幂等矩阵与对合矩阵的性质,研究了它们的差与和的秩等式及其可逆的等价条件.在这篇文章中，主要使用了两种经典的方法：一、把对合矩阵转化为幂等矩阵；二、分块矩阵的高斯消元法.我们还进一步涉及了其它类型的特殊矩阵的换位子的相关性质，并提出了以后的研究方向.关键词：幂等矩阵 对合矩阵 换位子 矩阵的秩 可逆性 abstract：in this paper, we mainly study the rank equalities f

2、or the communicator of the idempotent matrix and the involutory matrix, and the invertible equivalent conditions of the communicator in the complex field. using properties of idempotent matrices and involutory matrices, we also study the rank equalities of the difference and the sum of one idempoten

3、t matrix and one involutory matrix, including their invertibility, respectively, by two classical tools: transforming an involutory matrix into an idempotent matrix and applying block gaussian elimination. besides we further study the rank equalities of the communicator of other special matrices. an

4、d we also propose some problems for further work in the future.key words： idempotent matrix involutory matrix communicator rank equality invertibility0、符号说明及引言幂等矩阵与对合矩阵是矩阵论中的重要组成部分,在许多内容和各种学科中都非常有用,请参看1-11,14-17.为了后面的写作方便，首先进行符号说明.用表示复数域上的所有矩阵组成的集合; 表示复数域上所有维列向量组成的集合, 表示阶单位矩阵，表示矩阵的秩。若，称a为幂等矩阵。设复矩阵为的

5、共轭矩阵,其中为的共轭复数.即对进行转置.表示的共轭转置矩阵. 在本文中用表示a的共轭转置矩阵;若，称为三次幂等矩阵。若，称为m次幂等矩阵；若，称为对合矩阵。若,称为幂么矩阵；分块矩阵,.,。若称为矩阵，以下简记为-矩阵；称为与的换位子.表示的值域.对分块矩阵的初等变换的符号说明:表示矩阵的第i行加上或减去第j行，表示矩阵的第i 列加上或减去第j列，表示第i行加上或减去第j行的倍；表示第i列加上或减去第j列的倍.yongge tian，george p.h.styan在文献1中得到了同一种类型矩阵的差，和，换位子的秩等式，即两个幂等矩阵的差,和,换位子的有关秩等式,同时相应地得到了两个对合矩阵

6、的换位子的秩等式. 左可正在文献2中分别得出了幂等矩阵的换位子与对合矩阵的换位子的可逆性的等价条件,至此基本上很少人涉及过幂等矩阵和对合矩阵的差，和，换位子的秩等式，及其可逆性等一些相关性质. 本文就从这里开始研究,因为研究换位子的秩等式有很强的概括性，当，则说明，说明它们可以同时对角化；若，则表明换位子可逆.本文利用两条研究思路：“求同存异”，即把不同的两类矩阵化成同一类矩阵，从而便于研究讨论，在此利用基本工具对对合矩阵和幂等矩阵进行相互转化；直接考虑一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差与和，换位子的秩等式，利用分块矩阵的高斯消元法直接进行研究讨论.文章在第三部分还对研究内容进行了延伸，讨论了其它

7、几种特殊类型的矩阵换位子的相应性质,并提出了以后的研究方向.1、预备定理我们首先引入本论文用到的基本工具:引理1 (见20,),如果则当且仅当.引理2 ,如果则当且仅当.证明 的证明由,且,则当且仅当时才成立.的证明由得,则,则当且仅当成立时才可以. 引理3 如果,则当且仅当.证明 的证明当且仅当成立.的证明由,得,由根据,得到. 引理4 如果,则当且仅当.证明 与引理3的证明类似,因此在此省略. 引理5 (见1,) 若且都为幂等矩阵,则有 (1.1) (1.2) (1.3) (1.4)引理6 （见1,定理2.1） 设，是复数域上的两个阶幂等矩阵，则有下列秩等式: (1.5) (1.6) (1

8、.7)引理7 (见1，推论2.3)若且都为幂等矩阵,则有下列秩等式:(1.8) (1.9) (1.10)更进一步,有且是非奇异的当且仅当.引理8 (见1,定理2.19) 设且是任意选取的,且,则 (1.11) (1.12)若，则 . (1.13)引理9 (见1,推论2.20)是复数域上阶幂等矩阵，则 (1.14) (1.15)(1.16) (1.17).引理10 (见1,定理2.11) 是复数域上阶幂等矩阵，则和满足下列4个秩等式: (1.18) (1.19)(1.20)(1.21)引理11 (见1, )都是矩阵,是复数域上任意的数,则有下列秩等式成立: (1.22) (1.23) (1.24

9、) (1.25) (1.26)引理12 (见11,) 设为n阶矩阵，,则为幂等矩阵的充要条件是存在可逆矩阵,使.引理13 (见11,) 设为n阶矩阵，则下面三个命题是等价的：1）；2）存在可逆矩阵t ，使得；3） 2、主要结果由于本文主要研究的是幂等矩阵与对合矩阵的换位子的秩,利用的基本工具是引理1中的幂等矩阵与对合矩阵的相互转化公式,所以首先把幂等矩阵与对合矩阵的关系进行详细分类.2.1、幂等矩阵与对合矩阵相互转化之后秩的分类情况 由引理1,引理2可知:一个对合矩阵可以产生两个幂等矩阵:若 且,令则,且有和.因为由引理13,可知存在可逆矩阵,使得,则. 所以有,则即成立.定理2.1.1 两个

10、对合矩阵的差与和的秩可以表示成两个幂等矩阵之差的秩.证明 设是对合矩阵，令由引理1,引理2,可知都是幂等矩阵,且相对应地有:则 (2.1.1) (2.1.2)即两个对合矩阵的差与和的秩转化为两个幂等矩阵之差的秩. 定理2.1.2 两个幂等矩阵的差的秩可以表示成两个对合矩阵的差或和；两个幂等矩阵和的秩可以表示成两个对合矩阵的和的秩.证明 设,令；由引理3,引理4可知都是对合矩阵，则(2.1.3) (2.1.4)又有引理1,引理2,可知 , 都是幂等矩阵.即两个幂等矩阵的差的秩能转化为两个对合矩阵的差或和的秩；两个幂等矩阵的和的秩转化为两个对合矩阵的和的秩。 定理2.1.3 一个幂等矩阵与一个对合

11、矩阵的差与和的秩可以表示成两个幂等矩阵的和的秩.证明 设,令,相应地有;令，则，由引理1,引理2可知 都是幂等矩阵,由引理3,引理4可知,都是对合矩阵. (2.1.5) (2.1.6) 因为当是幂等矩阵时,也是幂等矩阵.同时,都是矩阵. 推论1 若,则其中.证明 由定理2.1.3和引理6可以得到. 2.2、 一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差，和的秩在这里我首先给出了一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差与和的新的秩等式,然后用新的方法得到了两个对合矩阵的差与和的秩等式,并且得到了几个推论.之前tian与styan在1中只对两个幂等矩阵与两个对合矩阵的秩等式进行了研究,没有涉及过一个幂等矩阵与一个对合矩阵

12、的差与和的秩,我以下给出了新的秩等式.定理2.2.1 若,则 (2.2.1) (2.2.2)证明 利用分块矩阵的高斯消元法和幂等矩阵与对合矩阵的性质,首先有因为分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,所以有 (2.2.3)又因为同样根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,有 (2.2.4)由(2.2.3)和(2.2.4),我们有；因为当 对合矩阵时,则也是对合矩阵,用代替 即有. 因为当p是幂等矩阵时，则，也是；当是对合矩阵时，则也是对合矩阵，则有以下推论.推论1 若 是复数域上的n阶幂等矩阵, 是复数域上的n阶对合矩阵,则有 （2.2.5） （2.2.6） (2.2.7)证明 若是幂等矩阵，则分别也

13、是幂等矩阵，是对合矩阵时，则也是对合矩阵。用代替，代替，就可以得到秩等式以上的所有秩等式. 推论2 若 是复数域上的n阶幂等矩阵,是复数域上的n阶对合矩阵，则以下几个命题等价:(a) 可逆；(b) 证明由（2.2.1），显然易得。推论3 若是复数域上的n阶幂等矩阵,是复数域上的n阶对合矩阵，则以下几个命题等价:(a) 可逆；(b) 证明 由（2.2.2），显然易得.推论4 若,则 (2.2.8) (2.2.9) (2.2.10)证明 令,则根据引理2,可知,则根据引理6,即可得证.推论5 若,则 (2.2.11)(2.2.12)(2.2.13)证明 令,则根据引理1,可知,则根据引理6,即可得

14、证.定理2.2.2 若,则下列秩等式成立:(2.2.14) (2.2.15) (2.2.16)更进一步,有 ；是非奇异的证明 若，则，把代入引理2，有定理2.2.3 若,是矩阵,是任意实数,则有下列秩等式成立:(2.2.17)(2.2.18) (2.2.19) (2.2.20) (2.2.21)(2.2.22)证明 因为是矩阵,则则是幂等矩阵,因为,在引理13中,令,把引理11中的用来代替,则得到上述秩等式. 2.3、 研究幂等矩阵与对合矩阵的换位子的秩及其可逆性定理2.3.1 若,则 (2.3.1)证明 设换位子的形式为利用待定系数法,可以计算出根据,可有又因为根据分块矩阵的初等变换不改变矩

15、阵的秩,得到 所以 推论1 ,若,则, (2.3.2) (2.3.3) (2.3.4) (2.3.5 )且有. 证明 由定理2.3.1可知(2.3.2)式成立,再代入引理6,可得(2.3.3),(2.3.4),(2.3.5)都成立. 推论2 ,则下列几个命题是等价的:可逆;与都可逆; 且. 证明 因为所以成立;因为可逆,所以同理.又因为可逆,也是可逆的,由定理2.2.2的(b)式可知成立.因为由定理2.2.1的推论4 和定理2.2.2的(b)式可得 再由定理2.2.2的(2.2.14)式可知.则(b)成立. 推论3 ,有下列秩等式成立: (2.3.6) (2.3.7) (2.3.8) (2.3

16、.9)证明 由定理2.3.1 可知 ,由(2.2.14)式可以得到(2.3.6),由定理2.2.1的推论4得到(2.3.8),由引理5,只要令即可得到(2.3.9),(2.3.10). 推论4 若,则下列几个命题是等价的:且且. 证明 由定理2.3.1 的(2.3.1)式可以直接得到.可以由定理2.2.2得到.显然易得. 根据hartwig and styan在文献7中的定理:若,则.令,由引理2就可以得到,再根据,就可以证得. 因为,则显然成立.推论5 若,则下列几个命题是等价的:是非奇异的.证明 若(a) 成立,则由推论3的(2.3.7)得到即又因为则当且仅当(b)式成立时才可以.由(2.

17、3.1)式可以直接得到. 定理2.3.3 若,则下列等式成立: (2.3.10)证明 首先利用分块矩阵的高斯消元法,又有以下结果成立:根据分块矩阵的初等变换不改变矩阵的秩,得到 (2.3.11)然后再利用幂等矩阵和对合矩阵的性质有:同样的道理, (2.3.12)联立(2.3.11)和(2.3.12)则有秩等式 定理2.3.4., (2.3.17) (2.3.18)(2.3.19) (2.3.20)证明 根据引理2,令则,同时有 ,代入,得到,则把直接代入引理9,就可以 得到以上几个秩等式. 定理2.3.4 若,则有下列秩等式成立: (2.3.21) (2.3.22)(2.3.23)(2.3.2

18、4)证明 由引理1,可令,则,再代入引理10,就可以得到以上的秩等式. 定理2.3.5 若,则有下列秩等式成立: (2.3.25)证明 由定理2.3.1的关于的秩等式(2.3.1) ,再联立秩等式(2.3.21)即可以得到定理2.3.5的秩等式. 在引理7中研究这种情况的秩：设且是任意选取的,且,研究的秩，与我在本文中研究的一个幂等矩阵和一个对合矩阵的换位子形式不同。但由引理7可以得到几个特殊矩阵与一个任意的n阶矩阵的换位子的秩等式.定理2.3.6 若,是复数域上的任意矩阵,则证明 令,则， 即一个对合矩阵与任意一个矩阵的换位子的值等于一个幂等矩阵与任意一个矩阵的换位子的值.在引理8中,若令,

19、就可以得到一个幂等矩阵与任意一个阶矩阵的换位子: 若,是复数域上的任意矩阵,则 (2.3.26) (2.3.27)把代入(2.3.26),(2.3.27)就得到定理2.3.6. 3、问题的延伸本部分在原来研究的基础上再深入一些,下面研究几类特殊矩阵的换位子问题,然后推广到阶.首先研究幂等矩阵,对合矩阵,三幂等矩阵三种矩阵的换位子问题:可以分为6类换位子:两个幂等;两个对合矩阵;一个幂等矩阵与一个对合矩阵;两个三幂等矩阵;一个幂等矩阵与一个三幂等矩阵;一个三幂等矩阵与一个对合矩阵.已经有人研究了,我在本论文中也讨论了,这部分研究换位子问题.由于存在,即一个对合矩阵是一个非奇异的三幂等矩阵,则根据

20、三幂等矩阵是否是非奇异的分两种情况讨论:(1) 三幂等矩阵是非奇异的,则三幂等矩阵是对合矩阵.就相应地变为情况；(2) 三幂等矩阵不是非奇异的. 则首先讨论一个三幂等矩阵与一个对合矩阵的换位子: 定理3.5.1 若，且，则换位子可以转化为两对幂等矩阵与对合矩阵的换位子的代数差.证明 因为，则存在可逆矩阵t，使得 通过简单的计算可以知道矩阵都是幂等矩阵.则有: 这类换位子的秩等式及可逆性作为以后的研究内容.以下研究两个三幂等矩阵的换位子问题：定理3.5.2 若则根据以上的讨论，则换位子可以转化为四对幂等矩阵的换位子的代数和.证明 由定理3.5.1的分析,有，在这里都是幂等矩阵，则有 这类换位子的

21、秩等式及其可逆性将作为以后的研究重点.因为在矩阵是非奇异的情况下,阶幂等矩阵就是阶的幂么矩阵.，而对于，则,对任意的正整数k都成立。则对于满足的a，b 的换位子的各种相应性质如何，将是以后的研究内容.利用对合矩阵的性质,由引理3,，可以化为两个幂等矩阵的差，即存在可逆阵,使得 分别是n阶幂等矩阵，则则研究的对象转化为研究两对幂等矩阵的换位子的代数和.这个作为以后的讨论重点.结束语本论文是在认真研究阅读george p.h. styan 和 yongge tian 的文章（文献1）和左可正的文章（文献2）之后，查阅大量相关资料的基础上，提出了新的研究方向，即研究一个幂等矩阵与一个对合矩阵的差，和

22、，换位子等的秩等式，可逆性相关性质,研究秩等式有很强的概括性,在引言中已经简单说明过.本文不仅是在原来研究内容上的拓宽，研究程度上的深入,在研究方法上,所得结果都有创新之处。最重要的是此研究课题是几乎没有人涉及到的新问题,同时得到了很多好的结论.并且提出了以后的研究方向,本文初步涉及了三阶幂等矩阵的换位子,三幂等矩阵与幂等矩阵和对合矩阵交叉项的换位子形式.还可以更深入地研究阶幂等矩阵与阶幂么矩阵的换位子的相应性质。这里有很大的研究空间。参考文献：1 yongge tian,george ph styan .rank equalities for idempotent and involutor

23、y matrices j.linear algebra appl issn, 2001(335):101-117.2 左可正.幂等矩阵与对合矩阵的换位子的可逆性n. 湖北师范学院学报(自然科学出版社), 2007,27(2): 11-14.3groj,trenkler g. nonsingularity of the difference of two oblique projectorsjsiam j. matrix anal appl,1999(21):390-395. 4 g.e.harting,g.p.h.styan,equalities and inequalities for ra

24、nks of matrices,linear and multilinear algebra, 1974(2):269-292.5gro j,trenkler g,nonsingularity of the difference of two oblipue projectors j.siam j matix anal appl,1999,21(2):390-395.6r.e.hartwig,g.h.styan,on some characterizations of the“star”partial ordering for matrices and rank subtractivity,l

25、inear algebra appl.1986(82): 145 - 161.7j.j.koliha,v.rakocevic.the nullity and rank of linear combinations of idempotent matricesj. linear algebra and its applications issn, 2006 (418):11-14.8 gro j.on the product of orthogonal projectors j linear algebra appl ,1999(289):141-150.9y.takane,h.yanai,on

26、 the oblique projectors, linear algebra appl.1999(289 ): 297-310.10 樊恽. 代数学辞典.华中师范大学出版社, 1994(1) 499-506. 11gro j,trenkler g.on the product of oblipue projectors j.linear and multilinear algebra, 1998(44):247-259.12jerzy k.baksalary,oskar maria baksalary. idempotency of linear combinations of two idempotent matreces j.linear alg