2021年初中数学竞赛专题培训(18)：归纳与发现

1、初中数学竞赛专题培训(18)归纳与发现鼎吉教育（dinjeducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练初中数学竞赛专题培训第十八讲归纳与发现归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法下面举几个例题，以见一般例1如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个

2、点)；第三层每边有三个点，这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？分析与解(1)在图2-100中，设以p点为公共点的圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表181(2)这n个圆共有多少个交点？(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数s2-s1=2，第一层有点数1；s3-s23，第二层有点数16；s4-s34，第三层有点数26；s5-s45，第四层有点数36；由此，不难推测第n层有点数(n-1)sn-sn-1n因此，这个点阵的第n层有点(n

3、-1)6个n层共有点数为由表181易知把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到sn-s1234n，因为s1=2，所以例2在平面上有过同一点p，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除p点外无其他公共点，那么试问学习地址佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2d第1页咨询热线0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育遵循“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念秉承以人为本，质量第一，突出特色，服务家长下面对sn-sn-1=n，即sn=sn-1n的正确性略作说明分析与解我们先来研究一些特殊情况因为sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆

4、，即当n个圆过定点p时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在sn-1上，所以有sn=sn-1n(2)与(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决为此，可列出表182(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表183(1)设b=n=1，这时b=1，因为abc，所以a=1，c可取1，2，3，若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c2，由于ab=2，那么ab不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个例3设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中abc，如果b=n(n是自然数)，试问

5、这样的三角形有多少个？由表182容易发现这时满足条件的三角形总数为1+2=3a11，(3)设b=n=3，类似地可得表184a2-a11，a3-a22，a4-a33，a5-a44，这时满足条件的三角形总数为123=6通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形an-1-an-2n-2，an-an-1n-1n个式子相加这个猜想是正确的因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1kn)由于bcab，即ncnk，所以c可能取的值恰好有k个(n，n1，n2，nk-1)所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为总数为例4设123n缩写为n！(称作n的阶乘)，试

6、化简注意请读者说明an=an-1(n-1)的正确性1！12！23！3n！n.分析与解先观察特殊情况以鲜明的教育理念启发人以浓厚的学习氛围影响人第2页以不倦的育人精神感染人以优良的学风学纪严律人鼎吉教育（dinjeducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练(1)当n=1时，原式=1=(11)！-1；(2)当n=2时，原式=5=(21)！-1；(3)当n=3时，原式=23=(31)！-1；(4)当n=4时，原式=119=(41)！-1由此做出一般归纳猜想原式=(n+1)！-下面我们证明这个猜想的正确性1+原式=1+(1！12！23！3+n！n)=1！22！23！3+n

7、！n=2！+2！23！3+n！n=2！3+3！3+n！n=3！+3！3+n！n=n！+n！n=(n1)！，所以原式=(n+1)！-例5设x0，试比较代数式x3和x2+x+2的值的大小分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路为此，设x=0，显然有x3x2+x+2设x=10，则有x3=1000，x2+x2=112，所以x3x2+x+2设x=100，则有xx+x+2观察、比较，两式的条件和结论，可以发现当x值较小时，x3x2+x+2；当x值较大时，x3x2+x+2那么自然会想到当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解

8、，则它很可能就是本题得解的“临界点”为此，设x3=x2x2，则x-x-x-20，(x3-x2-2x)(x-2)=0，学习地址佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2d第3页咨询热线0757-8630706713760993549（吉老师）3232(x-2)(x2+x+1)=0因为x0，所以x2+x+10，所以x-2=0，所以x=2这样(1)当x=2时，x=x+x+2；(2)当0x2时，因为x-20，x+x+20，所以(x-2)(x2x+2)0，即x3-(x2x+2)0，所以x3x2x(3)当x2时，因为x-20，x2+x+20，所以(x-2)(x+x+2)0，即x3-(x2x2)0，所以x3x2

9、x2综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答2232分析先由特例入手，注意到例7已知e，f，g，h各点分别在四边形abcd的ab，bc，cd，da边上(如图2101)鼎吉教育遵循“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念秉承以人为本，质量第一，突出特色，服务家长练习十八1试证明例7中2平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点试求(1)这n条直线共有多少个交点？(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？(2)当上述条件中比值为3，4，n时(n为自然数)，那s么s四边形efgh与s四边形abcd之比是多少？引gmac交da于m点由平行截

10、割定理易知g(2)设然后做出证明.)当k=3，4时，用类似于(1)的推理方法将所得结论与(1)的结论列成表184求适合x5=656356768的整数x(提示显然x不易直接求出，但可注意其取值范围505656356768605，所以502x602观察表185中p，q的值与对应k值的变化关系，不难发现当k=n(自然数)时有以上推测是完全正确的，证明留给读者以鲜明的教育理念启发人以浓厚的学习氛围影响人第4页以不倦的育人精神感染人以优良的学风学纪严律人扩展阅读初中数学竞赛专题培训(18)归纳与发现鼎吉教育（dinjeducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练初中数学竞赛专

11、题培训第十八讲归纳与发现归纳的方法是认识事物内在联系和规律性的一种重要思考方法，也是数学中发现命题与发现解题思路的一种重要手段这里的归纳指的是常用的经验归纳，也就是在求解数学问题时，首先从简单的特殊情况的观察入手，取得一些局部的经验结果，然后以这些经验作基础，分析概括这些经验的共同特征，从而发现解题的一般途径或新的命题的思考方法下面举几个例题，以见一般例1如图2-99，有一个六边形点阵，它的中心是一个点，算作第一层；第二层每边有两个点(相邻两边公用一个点)；第三层每边有三个点，这个六边形点阵共有n层，试问第n层有多少个点？这个点阵共有多少个点？分析与解(1)在图2-100中，设以p点为公共点的

12、圆有1，2，3，4，5个(取这n个特定的圆)，观察平面被它们所分割成的平面区域有多少个？为此，我们列出表181(2)这n个圆共有多少个交点？(1)这n个圆把平面划分成多少个平面区域？分析与解我们来观察点阵中各层点数的规律，然后归纳出点阵共有的点数s2-s1=2，第一层有点数1；s3-s23，第二层有点数16；s4-s34，第三层有点数26；s5-s45，第四层有点数36；由此，不难推测第n层有点数(n-1)sn-sn-1n因此，这个点阵的第n层有点(n-1)6个n层共有点数为由表181易知把上面(n-1)个等式左、右两边分别相加，就得到sn-s1234n，因为s1=2，所以例2在平面上有过同一

13、点p，并且半径相等的n个圆，其中任何两个圆都有两个交点，任何三个圆除p点外无其他公共点，那么试问学习地址佛山市南海区南海大道丽雅苑中区雅广居2d第1页咨询热线0757-8630706713760993549（吉老师）鼎吉教育遵循“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念秉承以人为本，质量第一，突出特色，服务家长下面对sn-sn-1=n，即sn=sn-1n的正确性略作说明分析与解我们先来研究一些特殊情况因为sn-1为n-1个圆把平面划分的区域数，当再加上一个圆，即当n个圆过定点p时，这个加上去的圆必与前n-1个圆相交，所以这个圆就被前n-1个圆分成n部分，加在sn-1上，所以有sn=sn-1n(2)与

14、(1)一样，同样用观察、归纳、发现的方法来解决为此，可列出表182(2)设b=n=2，类似地可以列举各种情况如表183(1)设b=n=1，这时b=1，因为abc，所以a=1，c可取1，2，3，若c=1，则得到一个三边都为1的等边三角形；若c2，由于ab=2，那么ab不大于第三边c，这时不可能由a，b，c构成三角形，可见，当b=n=1时，满足条件的三角形只有一个例3设a，b，c表示三角形三边的长，它们都是自然数，其中abc，如果b=n(n是自然数)，试问这样的三角形有多少个？由表182容易发现这时满足条件的三角形总数为1+2=3a11，(3)设b=n=3，类似地可得表184a2-a11，a3-a

15、22，a4-a33，a5-a44，这时满足条件的三角形总数为123=6通过上面这些特例不难发现，当b=n时，满足条件的三角形an-1-an-2n-2，an-an-1n-1n个式子相加这个猜想是正确的因为当b=n时，a可取n个值(1，2，3，n)，对应于a的每个值，不妨设a=k(1kn)由于bcab，即ncnk，所以c可能取的值恰好有k个(n，n1，n2，nk-1)所以，当b=n时，满足条件的三角形总数为总数为例4设123n缩写为n！(称作n的阶乘)，试化简注意请读者说明an=an-1(n-1)的正确性1！12！23！3n！n.分析与解先观察特殊情况以鲜明的教育理念启发人以浓厚的学习氛围影响人第

16、2页以不倦的育人精神感染人以优良的学风学纪严律人鼎吉教育（dinjeducation）中小学生课外个性化辅导中心资料初中数学竞赛专题培训讲练(1)当n=1时，原式=1=(11)！-1；(2)当n=2时，原式=5=(21)！-1；(3)当n=3时，原式=23=(31)！-1；(4)当n=4时，原式=119=(41)！-1由此做出一般归纳猜想原式=(n+1)！-下面我们证明这个猜想的正确性1+原式=1+(1！12！23！3+n！n)=1！22！23！3+n！n=2！+2！23！3+n！n=2！3+3！3+n！n=3！+3！3+n！n=n！+n！n=(n1)！，所以原式=(n+1)！-例5设x0，试

17、比较代数式x3和x2+x+2的值的大小分析与解本题直接观察，不好做出归纳猜想，因此可设x等于某些特殊值，代入两式中做试验比较，或许能启发我们发现解题思路为此，设x=0，显然有x3x2+x+2设x=10，则有x3=1000，x2+x2=112，所以xx+x+2设x=100，则有xx+x+2观察、比较，两式的条件和结论，可以发现当x值较小时，x3x2+x+2；当x值较大时，x3x2+x+2那么自然会想到当x=？时，x3=x2+x+2呢？如果这个方程得解，则它很可能就是本题得解的“临界点”为此，设x3=x2x2，则x-x-x-20，(x3-x2-2x)(x-2)=0，学习地址佛山市南海区南海大道丽雅

18、苑中区雅广居2d第3页咨询热线0757-8630706713760993549（吉老师）323232(x-2)(x2+x+1)=0因为x0，所以x+x+10，所以x-2=0，所以x=2这样(1)当x=2时，x=x+x+2；(2)当0x2时，因为x-20，x2+x+20，所以(x-2)(x2x+2)0，即x3-(x2x+2)0，所以x3x2x(3)当x2时，因为x-20，x2+x+20，所以(x-2)(x2+x+2)0，即x3-(x2x2)0，所以x3x2x2综合归纳(1)，(2)，(3)，就得到本题的解答322分析先由特例入手，注意到例7已知e，f，g，h各点分别在四边形abcd的ab，bc，cd，da边上(如图2101)鼎吉教育遵循“授人以鱼，不如授人以渔”的教育理念秉承以人为本，质量第一，突出特色，服务家长练习十八1试证明例7中2平面上有n条直线，其中没有两条直线互相平行(即每两条直线都相交)，也没有三条或三条以上的直线通过同一点试求(1)这n条直线共有多少个交点？(2)这n条直线把平面分割为多少块区域？(2)当上述条件中比值为3，4，n时(n为自然数)，那s么s四边形efgh与s四边形abcd之比是多少？引gmac交da于m点由平行截割定理易