动点与抛物线专题复习

1、时间就是金钱，效率就是生命! 动点与抛物线专题复习 一、平行四边形与抛物线 1、（ 2012?钦州）如图甲，在平面直角坐标系中，A、B的坐标分别为（4，0）、（ 0，3），抛 物线yZ+bx+c经过点B,且对称轴是直线 x=- 4 2 （1 ）求抛物线对应的函数解析式； （2）将图甲中 ABO沿x轴向左平移到 DCE （如图乙），当四边形ABCD是菱形时，请 说明点C和点D都在该抛物线上； （3）在（2）中，若点M是抛物线上的一个动点（点 M不与点C、D重合），经过点M作 MN / y轴交直线CD于N，设点M的横坐标为t, MN的长度为I，求I与t之间的函数解析 式，并求当t为何值时，以 M、

2、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形. （参考公式：抛物 2 线y=ax2+bx+c （a用）的顶点坐标为（- 丄,心 ）,对称轴是直线 x= -.） 2a 4a2a 唯有惜时才能成功，唯有努力方可成就! 2、（ 2012?鸡西）如图，在平面直角坐标系中，已知 RtA AOB的两条直角边 OA、OB分别在 y轴和x轴上，并且OA、OB的长分别是方程 x2- 7x+12=0的两根（OAv OB）,动点P从点 A开始在线段AO上以每秒1个单位长度的速度向点 0运动；同时，动点Q从点B开始在线 段BA上以每秒2个单位长度的速度向点 A运动，设点P、Q运动的时间为t秒. （1 ）求A、B两点的坐标.

3、（2） 求当t为何值时， APQ与厶AOB相似，并直接写出此时点 Q的坐标. （3） 当t=2时，在坐标平面内，是否存在点M，使以A、P、Q、M为顶点的四边形是平行 四边形？若存在，请直接写出M点的坐标；若不存在，请说明理由. 2 3. (2012?恩施州)如图，已知抛物线 y=-x+bx+c与一直线相交于 A (- 1, 0), C (2, 3) 两点，与y轴交于点N .其顶点为D. (1) 抛物线及直线 AC的函数关系式； (2) 设点M (3, m),求使MN + MD的值最小时 m的值； (3) 若抛物线的对称轴与直线 AC相交于点B ,E为直线AC上的任意一点，过点E作EF / BD

4、 交抛物线于点F，以B, D , E, F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能， 求点E的坐标； 若不能，请说明理由; (4 )若 梯形与抛物线 1、已知，在 RtAOAB中，/ OAB=90 / BOA=30 AB =2.若以0为坐标原点， 0A所在直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，点B在第一象限内.将 RtAOAB沿OB折叠后，点A落在第一象限内的点 C处. (1) 求点C的坐标； (2 )若抛物线y=ax2+bx (a老)经过C、A两点，求此抛物线的解析式； (3)若上述抛物线的对称轴与 OB交于点D，点P为线段DB上一动点，过P作 y轴的平行线，交抛物线于点M，问：是否存在这样

5、的点P,使得四边形CDPM 为等腰梯形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由. 2、( 2012?泉州)如图，O为坐标原点，直线I绕着点A ( 0, 2)旋转，与经过点 C ( 0, 1) 的二次函数y=x2+h的图象交于不同的两点 P、Q . 4 O (1 )求h的值； (2) 通过操作、观察，算出 POQ的面积的最小值(不必说理)； (3) 过点P、C作直线，与x轴交于点B，试问：在直线l的旋转过程中, 四边形AOBQ是否为梯形？若是，请说明理由；若不是，请指出四边形 的形状. 3. （2012?玉林）如图，在平面直角坐标系 xOy中，矩形AOCD 的顶点A的坐标是（0，4）

6、，现有两动点P，Q，点P从点O 出发沿线段OC （不包括端点 O, C）以每秒2个单位长度的 速度匀速向点C运动，点Q从点C出发沿线段CD （不包括 端点C，D）以每秒1个单位长度的速度匀速向点D运动.点 P, Q同时出发，同时停止，设运动时间为t （秒），当t=2 （秒） 时，PQ=2 7. （1）求点D的坐标，并直接写出t的取值范围. （2）连接AQ并延长交x轴于点E,把AE沿AD翻折交CD 延长线于点F，连接EF，则 AEF的面积S是否随t的变化 而变化？若变化，求出 S与t的函数关系式；若不变化，求出 S的值. （3）在（2）的条件下，t为何值时，四边形 APQF是梯形？ 三、等腰三角

7、形、菱形与抛物线 1、（ 2012?龙岩）在平面直角坐标系 xOy中，一块含60角的三角板作如图摆放，斜边 AB在 x轴上，直角顶点 C在y轴正半轴上，已知点 （1）请直接写出点 B、C的坐标： A ( -1， 0). -:“ B、C:并求经过 A、B、 C三点的抛物线解析式； c) （2）现有与上述三角板完全一样的三角 板 DEF (其中/ EDF=90, / DEF=60 )， f 把顶点E放在线段AB上（点E是不与A、-1/ 0 pA x B两点重合的动点），并使ED所在直线/ r ; 经过点C.此时，EF所在直线与（1）中 的抛物线交于点 M. 备用图 设AE=x，当x为何值时， OC

8、EOBC ; 在的条件下探究：抛物线的对称轴上是否存在点P使厶PEM是等腰三角形？若存在, 请写出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3、( 2012?湛江)如图，在平面直角坐标系中，直角三角形AOB的顶点A、B分别落在坐 标轴上.O为原点，点A的坐标为(6, 0)，点B的坐标为(0, 8).动点M从点O出发.沿一 OA向终点A以每秒1个单位的速度运动，同时动点N从点A出发，沿AB向终点B以每 秒：个单位的速度运动.当一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动，设动点M、 N运动的时间为t秒(t 0) .-1一J (1 )当t=3秒时直接写出点 N的坐标，并求出经过 O、A、N三点的抛物线的

9、解析式； (2) 在此运动的过程中， MNA的面积是否存在最大值？若存在，请求出最大值；若不存 在，请说明理由； (3) 当t为何值时， MNA是一个等腰三角形？ 4、如图，直线11经过点A (- 1, 0),直线12经过点B (3, 0), li、12均 为与y轴交于点C (0, _),抛物线 尸ax2+bx+c (a老)经过A、B、 C三点. (1) 求抛物线的函数表达式； (2) 抛物线的对称轴依次与 x轴交于点D、与12交于点E、与抛物线交 于点F、与11交于点 G.求证：DE=EF=FG; (3) 若h丄-于y轴上的C点处，点P为抛物线上一动点，要使 PCG 为等腰三角形，请写出符合

10、条件的点P的坐标，并简述理由. 5、如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC、OA分别与x轴、y轴重合，AB/ OC, / AOC=90 / BCO =45 BC=12，点 C 的坐标为(18, 0). (1) 求点B的坐标； (2) 若直线DE交梯形对角线 BO于点D，交y轴于点E,且OE=4, OD=2BD，求直线DE 的解析式； (3) 若点P是(2)中直线DE上的一个动点，在坐标平面内是否存在点Q,使以O、E、 P、Q为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 6、( 2012?铁岭)如图，已知抛物线经过原点 O和x轴上一点A (4, 0),抛

11、物线顶点为 E, 它的对称轴与x轴交于点D .直线y= - 2x- 1经过抛物线上一点 B (- 2, m)且与y轴交于 点C,与抛物线的对称轴交于点 F. (1 )求m的值及该抛物线对应的解析式； (2) P (x, y)是抛物线上的一点，若Saadp=Saadc，求出所有符合条件的点P的坐标； (3) 点Q是平面内任意一点，点M从点F出发，沿对称轴向上以每秒1个单位长度的速 度匀速运动，设点 M的运动时间为t秒，是否能使以 Q、A、E、M四点为顶点的四边形是 2、(2012?河池)如图，在等腰三角形 ABC中，AB=AC，以底边BC的垂直 平分线和BC所在的直线建立平面直角坐标系，抛物线

12、y x2+ x+4经过 菱形？若能，请直接写出点 理由. M的运动时间t的值；若不能，请说明 四、直角三角形与抛物线 3 3 1、( 2012?广州)如图，抛物线 y= 与x轴交于A、B两点 (3) 如图2,若点N在抛物线上，且/ NBO = Z ABO，则在(2)的条件下，求出所有满足 POD NOB的点P坐标(点 a 3 4. (2012?黄冈)如图，已知抛物线的方程Cl： y= -(X+2) (X-m) (m0) IT 与x轴相交于点B、C,与y轴相交于点E,且点B在点C的左侧. (1 )若抛物线Ci过点M (2, 2),求实数m的值; (2 )在(1)的条件下，求 BCE的面积； (3

13、) 在(1)条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH + EH最小，并求 出点H的坐标； (4) 在第四象限内，抛物线 C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点 的三角形与 BCE相似？若存在，求 m的值；若不存在，请说明理由. 5、(2012?常德)如图，已知二次函数 ._i.- - !. 的图象过点 A (- 4, 3) , B (4, 4). (1 )求二次函数的解析式： (2) 求证： ACB是直角三角形； (3) 若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存 在以P、H、D为顶点的三角形与 ABC相似？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由.

14、 4),直线DM丄x 6 (2012?鞍山)如图，直线 AB交x轴于点B (4, 0),交y轴于点A ( 0, 轴正半轴于点 M，交线段 AB于点C，DM =6，连接DA，/ DAC =90 (1) 直接写出直线 AB的解析式； (2) 求点D的坐标； (3) 若点P是线段MB上的动点，过点 P作x 轴的垂线，交AB于点F，交过0、D、B三点的 抛物线于点E，连接CE.是否存在点 卩，使厶BPF 与厶FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若 不存在，请说明理由. 2 7. (2012?阜新)在平面直角坐标系中， 二次函数y=ax+bx+2的图象与x轴交于A (- 3, 0), B (1, 0)

15、两点，与y轴交于点C. (1) 求这个二次函数的关系解析式； (2) 点P是直线AC上方的抛物线上一动点，是否存在点卩，使厶ACP的面积最大？若存 在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 考生注意：下面的(3)、( 4)、( 5)题为三选一的选做题，即只能选做其中一个题目，多答 时只按作答的首题评分，切记啊！ (3) 在平面直角坐标系中，是否存在点0,使厶BCQ是以BC为腰的等腰直角三角形？若 存在，直接写出点 Q的坐标；若不存在，说明理由; (4 )点Q是直线AC上方的抛物线 上一动点，过点 Q作QE垂直于x 轴，垂足为E.是否存在点Q,使以 点B、Q、E为顶点的三角形与 AOC 相似？若

16、存在，直接写出点 Q的坐 标；若不存在，说明理由； (5 )点M为抛物线上一动点，在 x 轴上是否存在点 Q,使以A、C、M、 Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点Q的坐标；若不存在，说明理由. 六、抛物线中的翻折问题 2 1、( 2012?天门)如图，抛物线 尸ax+bx+2交x轴于A (- 1, 0), B (4, 0)两点，交y轴 c J Zz / oy? 备用團 5 于点C,与过点C且平行于x轴的直线交于另一点 D，点P是抛物线上一动点. (1) 求抛物线解析式及点 D坐标； (2) 点E在x轴上，若以 A, E, D, P为顶点的四边形是平行四边形，求 此时点P的坐标；

17、(3) 过点P作直线CD的垂线，垂足 为Q,若将 CPQ沿CP翻折，点Q 的对应点为 Q.是否存在点 P，使Q 恰好落在x轴上？若存在，求出此时 点P的坐标；若不存在，说明理由. 2 2、( 2010?恩施州)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x +bx+c的图象与x轴交于A、 B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为(3，0)，与y轴交于C (0，- 3)点，点P是 直线BC下方的抛物线上一动点. T (1) 求这个二次函数的表达式. (2) 连接PO、PC，并把 POC沿CO翻折，得到四边形 POP C，那么是 否存在点P，使四边形POP C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若 不存

18、在，请说明理由. (3) 当点P运动到什么位置时，四边形 ABPC的面积最大并求出此时 P点 的坐标和四边形 ABPC的最大面积. 动点与抛物线专题复习答案 、平行四边形与抛物线 3 2 1解：(1由于抛物线 y=x+bx+c与y轴交于点B( 0，4)，贝U c=4; 抛物线的对称轴 x=-丄=-, 2a 2 b=5a=_ 4 即抛物线的解析式：y= x2+ x+4. 4 4 (2) T A (4, 0)、B ( 3, 0) OA=4, OB=3, AB=J.- 一 + -厂上=5 ； 若四边形ABCD是菱形，则 BC=AD=AB=5 , C (- 5, 3)、D (- 1, 0). 将 C

19、(- 5， 设直线CD的解析式为：y=kx+b，依题意，有： )代入 y= x + x+4 中，得： X ( - 5) + X ( - 5) +4=3，所以点 C 在抛 4444 物线上； 同理可证：点D也在抛物线上. 直线 CD : y= - _x - _ 一 44 由于MN / y轴，设 M （t，卫+丄色+4）,贝V N （t,卫t -）; 4444 tv- 5 或 t- 1 时，l=MN=（+4）-（- t- ） = t2+ t+ ; 4444424 - - - 2 2 -5 v tv - 1 时，l=MN= （- _ t-二）-（_ t + t+4） = -1 - t - 44444

20、24 若以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形，由于 MN /CE，贝U MN=CE=3，则有: t2+ 1+=3，解得:t= - 3 二; 424 -r3，解得：匸-3; 综上, 母谭（Y-5或1） 号t甲（ / OA v OB , OA=3, OB=4 . （2）在 RtAAOB 中，OA=3, OB=4 且当t= - 3+2匚或-3时，以M、N、C、E为顶点的四边形是平行四边形. _r 2、解：（1）解方程 x - 7x+12=0，得 xi=3, x2=4 , 圏b AB=5,. AP=t, QB=2t, AQ=5 - 2t APQ与厶AOB相似，可能有两种情况: （I） APQAO

21、B，如图（2） a 所示. 则有二丄,即：，解得t=. AO AB 3511 i onon i o 此时 OP=OA - AP=f PQ=AP?ta nA 亠, Q （牛）; 111111 11 （II ） APQABO，如图（2） b 所示.则有二一三，即 小，解得i匚. ABAO 5313 此时 AQ=_2, AH=AQ?cosA=, HQ=AQ?si nA=：，OH=OA - AH= ； ,a Q （ 二）. 131313131313 综上所述，当t=_L秒或t=_秒时， APQ与厶AOB相似，所对应的Q点坐标分别为（， 111311 卩或（J J. 1113 13 （3）结论：存在如图

22、（3）所示. /1=2,. AP=2 , AQ=1 , OP=1 . 过 Q 点作 QE 丄 y 轴于点 E,贝U QE=AQ?sin / QAP= , AE=AQ?cosZ QAP=, 5 5 194 19 OE = OA-AE=- , Q (，二). 5 5 5 ?APQMi,. QMi 丄 x 轴，且 QMi=AP=2,. Ml (,)； 5 5 ?APQM2, QM2 丄 x 轴，且 QM2=AP=2,. M2 (,：); 55 如图(3),过M3点作M3F丄y轴于点F , ?AQPM3,. M3P=AQ,Z QAE=Z M3PF，/ PM3F = Z AQE ; 在厶 M3PF 与厶

23、 QAE 中，/ QAE= / M3PF , M3P=AQ,Z PM3F= / AQE , M3PFQAE , 43R - M3F=QE=, PF=AE= , OF = OP+PF=, M3 (- IS Q、 M为顶点的四边形是平行四边形. 3解：（1 ）由抛物线y= 当t=2时，在坐标平面内，存在点 M，使以A、P、 ，眷，M3（匚 2 (2, 3)得, x +bx+c 过点 A (- 1, 0 )及 C -1 - b+c=O - 4+2b+c=3 解得(b=2, L c=3 2 故抛物线为 y= - x +2x+3 又设直线为y=kx+ n过点A (- 1, 0 )及C (2, 3 )得

24、-k+n=O L2k+n=3 解得(E ,n=l 故直线AC为y=x+1 ； (2) 作N点关于直线x=3的对称点N,贝U N(6, 3)，由(1)得D (1, 4), 故直线DN的函数关系式为y= - x+二, 55 当M (3, m)在直线 DN上时，MN+MD的值最小， (3) 由(1)、(2)得 D (1 , 4), B (1, 2) 点E在直线AC 上, 设 E ( x, x+1), 当点E在线段AC上时，点F在点E上方， 则 F ( x, x+3), / F在抛物线上， 2 -x+3= - x +2x+3 , 解得，x=0或x=1 (舍去) 二 E (0, 1)； 当点E在线段AC

25、 (或CA)延长线上时，点 F在点E下方, 则 F ( x, X- 1) 由F在抛物线上 2 X- 1= - x +2x+3 解得X=或x=_L - 2 2 E （呵箜叵或（凹H 2 2 2 2 综上，满足条件的点 E为E （0, 1）、（L-0，旦鱼）或（竺匝，竺鱼）； 2 2 2 2 （4）过点P作PQ丄x轴交AC于点Q , 交x轴于点H ;过点C作CG丄x轴于点G ,如图2, 又.SA APC=S APH+S 直角梯形 PHGC - S AGC= 设 Q (x, x+1),贝y P (x,- x2+2x+3) -(x+1) (- x2+2x+3) +(- x2+2x+3+3) (2- x

26、) 2 2 -_X3X3 2 ：2 -： Q =x +x+3 =-(x -) 2 2 APC的面积的最大值为 27 Y 二、梯形与抛物线 1、解：（1）过点C作CH丄x轴，垂足为H ; 在 RtAOAB 中，/ OAB=90 / BOA=30 , AB=2, 0B=4, OA=2 ：; 由折叠的性质知：/ COB=30 0C=A0=2二， / COH=60 0H = , CH=3; C点坐标为(二，3). (2)抛物线 y=ax2+bx ( af 经过 C (丘，3)、A (2晶,0)两点, 0=12a+2V3b 解得. a= - 1 b处， 此抛物线的函数关系式为：y=- x2+2 ix.

27、(3)存在. 因为y= - x2+2:x的顶点坐标为( 二 3), 即为点C, MP丄x轴，垂足为N,设PN=t; 因为/ BOA=30 所以 0N=;t, P ( 3, t)； 作PQ丄CD，垂足为 Q, ME丄CD,垂足为 E; 把 x=W jt 代入 y= - x2+2；x, 2 得 y= - 3t2+6t, M (Vt,- 3t2+6t), E (V5,- 3t2+6t), 同理：Q ( 7, t), D ( 7, 1); 要使四边形CDPM为等腰梯形，只需 CE=QD , 2 即 3 -( - 3t +6t) =t - 1, 解得 t= 1, t=1 (舍), P点坐标为（ 3 3

28、存在满足条件的P点，使得四边形 CDPM为等腰梯形，此时 P点坐标为（二：，）. 1 2 2、解：(1)v抛物线y=,+h经过点C ( 0, 1), 4 +h=1 , 4 解得h=1 . (2) 依题意，设抛物线 y=2x2+i 上的点，P (a,丄a2+1 )、Q (b, 2b2+1) (av Ov b) 444 过点A的直线I: y=kx+2经过点P、Q, 2 - a +仁ak+2 4 一 2 b +仁bk+2 4 2 2 b - xa 得：-：(a b - b a) +b - a=2 (b - a), 4 化简得：b=-:； -Spoq= OA?XQ- xp|= ?OA? - a|= (

29、 ) + ( - a) 2?=4 22 aav a 由上式知：当-=-a，即|a|=|b| ( P、Q关于y轴对称)时， POQ的面积最小； 即PQ / x轴时， POQ的面积最小，且 POQ的面积最小为4. (3) 连接BQ,若I与x轴不平行(如图)，即PQ与x轴不平行， 依题意，设抛物线 yx2+i 上的点，P ( a,丄a2+1)、Q (b, 4b2+1) ( av Ov b) 444 直线BC: y=kix+1过点P, 2_ a +1=ak1+1，得 k1= - a, 44 即 y=ax+1 . 4 令 y=0 得：xb=-, a 同理，由(2)得：b=- 点B与Q的横坐标相同， BQ

30、 / y 轴，即 BQ/ OA, 又 AQ与0B不平行， 四边形AOBQ是梯形， 据抛物线的对称性可得(a 0 b)结论相同. 故在直线I旋转的过程中：当I与x轴不平行时，四边形AOBQ是梯形；当I与x轴平行时, 在 RtA PCQ 中，由勾股定理得：PC=,=_ 霍=.二： O C E X 三、等腰三角形、菱形与抛物线 1、解:(1)v点 A (- 1 , 0), OA=1 , 由图可知，/ BAC是三角板的60角，/ ABC是30角, 所以，OC=OA?a n60=1 x=， OB=OC?cot30 ;x；=3, 所以，点 B (3, 0), C (0, V3), 2 设抛物线解析式为 y

31、=ax+bx+c, a - b+c=O 则 * 9+31+匚二0 , 所以，抛物线的解析式为 y=- x2+- *x+二； 33 (2)/ OCEOBC, 一一 - 解得OE=1 , 所以，AE=OA+OE=1+1=2, 即 x=2 时， OCEOBC ; 存在理由如下: 2體 抛物线的对称轴为x= 3 = 2a 2X (-孕 所以，点E为抛物线的对称轴与 x轴的交点, / OA=OE, OC 丄x 轴，/ BAC=60 ACE是等边三角形, / AEC=60 , 又/ DEF =60 , / FEB=60 , / BAC=Z FEB, EF / AC, 由A (- 1, 0), C (0,)

32、可得直线AC的解析式为 尸, 点 E (1, 0), 直线EF的解析式为y= =x-二， 联立、 解得* y=V3x-V3 V3 22V3 厂, y-x +x+Vs L (舍去)， y2= - 4屈 Xj=2 yx=3 I * 点M的坐标为(2,7), EW:- ：=2， 分三种情况讨论 PEM是等腰三角形， 当 PE=EM 时，PE=2 , 所以，点P的坐标为（1, 2）或（1,- 2）, 当 PE=PM 时，/ FEB=60 , / PEF=90 - 60 =30 , PE= EM POS30=-X2十二=工 , 2223 所以，点P的坐标为（1,）, 3 当 PM = EM 时，PE=2

33、EM?;os30=2X2X =2 7, 2 所以，点P的坐标为（1, 2 ）, 综上所述，抛物线对称轴上存在点P （1, 2）或（1 , - 2）或（1 ,-：）或（1, 2）, 3 使厶PEM是等腰三角形. 3、解：(1)由题意，A(6,0)、B(0,8),则 OA=6, OB=8, AB=10; 当t=3时，AN= t=5=AB,即卩N是线段 AB的中点； 32 设抛物线的解析式为：y=ax (x- 6),贝U： 4 4=3a (3 - 6) , a=-; g 抛物线的解析式：y= - x (x- 6) = - x2+ x. 993 (2)过点N作NC丄OA于C; 由题意，AN= t, A

34、M=OA-OM=6 - t, NC=NA?sin/ BAO= t? = t; 3 3 5 3 则：Samna=AM?NC= x (6- t) 厂t= - (t- 3) 2+6. 2233 MNA的面积有最大值，且最大值为6. (3) RtA NCA 中，AN= t, NC=AN?sin/ BAO= t, AC=AN?cosZ BAO=t; 3 3 OC = OA-AC=6 - t, N (6- t, t). 3 NM=二-=.:- ； 又：AM =6 - t, AN= t (Ov tv 6); 3 J = ：t，即：t2-8t+12=0 , t1=2, t2=6 (舍去); 才;6 - t，

35、6- t=t, 即卩 t=; 3 4 2或或 时， MAN 4 43 当MN=AN时, 当MN=MA时, 当AM=AN时, 4、解：（1）抛物线 : 2 即：一t2- 12t=0, t1=0 9 是等腰三角形. （舍去），t2=； 43 2 y=ax +bx+c (a0 经过 A (- 1, 0), B (3, 0), C (0, ；）三点, a - b+c=O 9a+3b+c=0，解得 a=, b=- 严73 ,c= , 抛物线的解析式为: （2）设直线li的解析式为y=kx+b，由题意可知，直线li经过A （- 1, 0）, C （0，-価） 两点, .“比，解得k=-听,b=-听，直线l

36、i的解析式为：y=-Jx-听； b=-V3 抛物线 对称轴为x=1 , D （1 , 0）,顶点坐标为F （1 , 点E为x=1与直线12: x=1，得 y= - E (1, 点G为x=1与直线11： y= ；x 1的交点，令x=1，得y= -G （1, -也三）. 各点坐标为：D （1 , 0）, E （1, 位于对称轴x=1 上, -23）,它们均 DE=EF=FG= 直线12经过B （3, 0）, C （0，価）两点，同理可求得直线 （3）如右图，过 C点作C关于对称轴x=1的对称点P1, CP1交对称轴于H点，连接CF . PCG为等腰三角形，有三种情况： 当CG=PG时，如右图，由抛

37、物线的对称性可知，此时P1满足P1G=CG . / C （0，一）,对称轴 x=1 , P1 （2, 换）. 当CG=PC时，此时P点在抛物线上，且 CP的长度等于CG . 如右图，C （1,-听），H点在x=1上， H （1，-氏）， 在 RtA CHG 中，CH=1, HG=|yG - yH|=| ：-（；） |=二, 由勾股定理得：CG= -：亠2 . PC=2. 如右图，CP1=2，此时与中情形重合； 又RtA OAC中，AC= |- :=2，点A满足PC=2的条件，但点 A、C、G在同 一条直线上，所以不能构成等腰三角形. 当PC=PG时，此时P点位于线段 CG的垂直平分线上. 丨1

38、丄12,.厶ECG为直角三角形， 由(2)可知，EF=FG，即F为斜边EG的中点， CF=FG,. F 为满足条件的 P 点， P2 (1,- EG 2 又 cos/ CGE=d=迟，/ CGE=30 / HCG=60 又PiC=CG , PiCG为等边三角形， Pi点也在CG的垂直平分线上，此种情形与 重合. 综上所述，P点的坐标为Pi (2, ). 5、解：(1)过点B作BF丄x轴于F 在RtA BCF中 V/ BCO=45 BC=6血 CF=BF=12 / C的坐标为(-18, 0) AB=OF=6 点B的坐标为(-6, 12). (2)过点D作DG丄y轴于点G / AB / DG OD

39、G OBA V =!= = ：, AB=6, OA=12 AB OB OA 3 - DG =4, OG=8 D (- 4, 8), E (0, 4) 设直线DE解析式为y=kx+b ( k0 .f-4k+b= 4 .k=-l 4 上二4 直线DE解析式为y= - x+4. (3)结论：存在. 设直线y=- x+4分别与x轴、y轴交于点E、点F，则E (0, 4), F (4, 0) , 0E=0F=4, EF=4 ：. 如答图2所示，有四个菱形满足题意. 菱形OEPlQl,此时0E为菱形一边. 贝U有 PiE=PiQi=OE=4, PiF = EF - PiE=4： - 4. 易知 PiNF为

40、等腰直角三角形, 设 PiQi 交 x 轴于点 N，则 NQi=PiQi- PiN=4 -( 4 - 2 _：) =2 :, 又 ON=OF - NF=2 匚， Qi (2 匚，-2 匚); 菱形OEP2Q2,此时OE为菱形一边. 此时Q2与Qi关于原点对称， Q2 (- 2 _, 2二); 菱形OEQ3P3,此时OE为菱形一边. 此时P3与点F重合，菱形 OEQ3P3为正方形， Q3 (4, 4); 菱形OP4EQ4,此时OE为菱形对角线. 由菱形性质可知，P4Q4为OE的垂直平分线， 由OE=4，得P4纵坐标为2,代入直线解析式 y=- x+4得横坐标为2,则P4 (2, 2), 由菱形性

41、质可知，P4、Q4关于OE或x轴对称， Q4 (- 2, 2). 综上所述，存在点 Q,使以O、E、P、Q为顶点的四边形是菱形； 点 Q 的坐标为：Qi (2-门,-22), Q2 (- 22, 2 展),Q3 (4, 4), Q4 (- 2 , 2). m=3 即 B (- 2, 3) 又抛物线经过原点 0 设抛物线的解析式为 y=ax2+bx 点B (- 2, 3), A (4, 0)在抛物线上 .乜a-223 1伽+业二。， 解得：_ J. IL,.， 又点C是直线y= - 2x- 1与y轴交点， C (0, 1), 0C=1 , 丨-L】，即厂I或尸工-, 解得：,-_ 2 8= -

42、8t +32t+32= - 8 (t - 2)+64 ; P (2t,- 2t +7t+4)、Q (2t, - t+4) , PQ= (- 2t +7t+4)-( - t+4) =- 2t +8t; 而/ APM是锐角，所以 PAM若是直角三角形，只能是/ FAM=90 所以，直线AP可设为：y= - 2x+h，代入A (8, 0), 得: 当t=2时，S有最大值，且最大值为64. (3) ： PM / y 轴，/ AMP=Z ACO v90 x2=3 y2=io -16+h=0, h=16 直线AP： y= - 2x+16，联立抛物线的解析式，得: 旷討樟+4,解得严2=3 y= - Zx+

43、16(yl_0 ly2_i0 存在符合条件的点 P,且坐标为(3, 10). 14* 3解：（1厂二次函数的顶点坐标为（4,- 4）, 设二次函数的解析式为y=a （x- 4） 2 - 4, 又二次函数过（0, 0）, 2 1 0=a (0 - 4)- 4，解得：a=, 4 二次函数解析式为 y= (x - 4) 2 - 4=x2- 2x; 4 4 I与x轴交于点D，如图所示: 1 2 ? 彳 m - 2m y= x= m 直线AO的解析式为 (m-2) x, 4 1 2 则 M (4, m- 8) , N (4,- m), H (4, m - 2m), 4 一 2 OD=4, ND=m, H

44、A=m - 4, NH = ND - HD= m2 - m, 4 在 RtAOND 中，tan/ ONM=, DH ir U4 iti 4 4 (id_ 4)4 在 RtAANH 中，tan/ANM=-=- HN 1 2m *4)r / tan / ONM =tan / ANM , 贝ANM= / ONM ; ANO不能为直角三角形，理由如下： 分三种情况考虑： (i) 若/ ONA 为直角，由 得：/ ANM= / ONM=45 AHN为等腰直角三角形， / HA = NH，即 m - 4= m2-m, 4 2 2 整理得：m 8m+16=0,即(m- 4) =0, 解得：m=4, 此时点A

45、与点P重合，故不存在 A点使 ONA为直角三角形； (ii) 若/ AON为直角，根据勾股定理得：OA2+ON2=AN2, 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 1 2 2 T OA =m + ( m - 2m) , ON =4 +m , AN = (m - 4) + ( m - 2m+m), 44 22c、222212c、2 m + ( m - 2m) +4 +m = (m - 4) + ( m - 2m+m), 44 2 整理得：m ( m- 4)=0, 解得：m=0或m=4 , 此时A点与P点重合或与原点重合，故/ AON不能为直角； (iii )若/ NAO 为直角，可得/ NAM

46、= / ODM=90 ,且/ AMN = / DMO , AMNDMO , 又/ MAN= / ODN=90 且/ ANM = / OND , AMNDON , AMNDMO DON , 匹一鱼即口 1 1 M i，；， 2 整理得：(m- 4)=0, 解得：m=4, 此时A与P重合，故/ NAO不能为直角， 综上，点A在对称轴I右侧的二次函数图象上运动时， ANO不能为直角三角形 4、 3 E (- 1, 0), 2 A( 0, 2), 抛物线 y x +bx+c的图象过点 2 2-c 0=-丄-b+c L 2 抛物线的解析式为：y=八年 (2) 直线y= x+2分别交x轴、y轴于点P、点A

47、, 3 P (6, 0), A (0, 2), OP=6, OA=2. / AC 丄 AB, OA丄 OP , RtA OCA s Rg OPA,., OA OP oc=二- OP 6 3 又C点在x轴负半轴上， 9 点C的坐标为C ( 二0). - 2 31 (3) 抛物线y= x + x+2与直线y x+2交于A、B两点, 令 丄x2+_x+2=_x+2 , 223 解得 X1 =0 , x2=, 如答图 所示，过点B作BD丄X轴于点D, 则 D（，0）， BD=_1, DP=6 - 一=丄. 93 3 点M在坐标轴上，且 MAB是直角三角形，有以下几种情况: 当点M在X轴上，且BM丄AB

48、,如答图 所示. 设 M （m, 0）,贝U MD=H- m. 3 / BM 丄 AB, BD 丄 X 轴, MD BD 117 -m 一 _39 解得口=上, 27 此时M点坐标为（,0）; 27 当点M在X轴上，且BM丄AM，如答图 所示. 设 M （m, 0）,贝U MDi- m. 3 / BM 丄 AM，易知 RtA AOM s Rt MDB , 0A 即2 :M 即I ， 9 3 化简得：m2- 1 m+ =0, 3 9 解得：X1=, X21 , 6 6 此时M点坐标为（11+护,0）,（ I】 V, 0）； 6 6 （说明：此时的 M点相当于以AB为直径的圆与X轴的两个交点） 当

49、点M在y轴上，且BM丄AM，如答图 所示. 7 此时M点坐标为（0，）; 当点M在y轴上，且BM丄AB，如答图所示. 设 M （0, m）,贝 U AM=2 1=卫,BM=H, MM = m. 9 939 易知 RtA ABM s RtA MBM : _11J_1 ir 即 面二 Mir 3 9 解得m= :一 9 此时M点坐标为（0 ,二）. 9 综上所述，除点 C外，在坐标轴上存在点 M，使得 MAB是直角三角形. 符合条件的点M有5个，其坐标分别为：（昱，0 ）、（口+佰,0）、（ I】-厲,0）、（ 0, 2766 五、相似三角形与抛物线 2 1、解：(1)：抛物线 y=y=ax+bx

50、 (a工0 经过 A (3, 0)、B (4, 4) .二Q，解得：严1 L16a+4b=4I 匕二 .抛物线的解析式是 y=x2- 3x. (2)设直线0B的解析式为y=g,由点B (4, 4), 得：4=4ki,解得：ki=i .直线OB的解析式为y=x, 直线OB向下平移m个单位长度后的解析式为：y=x- m, 2 点D在抛物线y=x - 3x 上, 2 可设 D (x, x - 3x), 又点D在直线y=x- m 上, 2o x - 3x=x- m,即卩 x - 4x+m=0, 抛物线与直线只有一个公共点， =16 - 4m=0, 解得：m=4, 2 此时 Xi=x2=2 , y=x

51、- 3x= - 2, D点的坐标为(2, - 2). (3厂直线OB的解析式为y=x,且A (3, 0), 点A关于直线OB的对称点A的坐标是(0, 3), 设直线AB的解析式为y= k2x+3，过点(4, 4), 4k2+3=4，解得：k2=, 4 直线AB的解析式是y= I ,：|:;, / NBO= / ABO , 点N在直线AB 上, 2 设点N ( n，专口+3),又点N在抛物线y=x - 3x 上, .1 2 .：:=n - 3n, 解得：n 1=-M, n2=4 （不合题意，舍去） 4 N点的坐标为（-_!, _二）. 4 16 方法一： 如图1,将厶NOB沿x轴翻折，得到 Ni

52、OBi, 则 Ni （空生），Bi （4, - 4）, 4 16 0、D、B1 都在直线 y= - x 上. PiODNOB , PiODNiOBi, 丄丄 点Pi的坐标为（：T）. 832 将厶OPiD沿直线y=- x翻折，可得另一个满足条件的点P2 C1,；）, 32 8 综上所述，点P的坐标是（；，）或（；，；）. 83232 8 2 2、解：（i）设函数解析式为：y=ax+bx+c, 由函数经过点 A （- 4, 0 ）、B （i, 0 ）、C （ - 2, 6）, f16a- 4b+c=0 可得 * a+b+c=0, 2b4-c=6 X. 上- 1 解得：*- 3 , ,c=4 故经

53、过A、B、C三点的抛物线解析式为：y= - x2- 3x+4; （2）设直线BC的函数解析式为 y=kx+b, （k+b=0 由题意得:*, -2k+b=6 k 二 _ 2 解得：乜, 12 即直线BC的解析式为y= - 2x+2. 故可得点E的坐标为（0, 2）, 从而可得：AE 叮-下二=2 7, CE= | 一-=2 , 故可得出AE=CE; （3）相似理由如下: 设直线AD的解析式为y=kx+b， 则* 41 II- |二4 fk=l 即直线AD的解析式为y=x+4. 联立直线AD与直线 BC的函数解析式可得: y=x+4 y= - 2x+2 解得： 即点F的坐标为（- 2 10) ,

54、 丿, 33 则 BF =：二1-, AF= （一4）2+（一0）=呼, 又 AB=5, 匚工-Li =3， EF卫 ABW5 , , AB 3 BC 3 .BF_AB 二壬 故以A、B、F为顶点的三角形与 ABC相似. 3、解：（1由函数图象经过原点得，函数解析式为 2 y=ax +bx (a工0 , 又函数的顶点坐标为（3, - 7）, -A-3 9計-翻 f _V3 a=v 故函数解析式为: X， J, 由二次函数图象的对称性可得点A的坐标为（6, 0）; （2 ）poa=2S aob， 点P到OA的距离是点B到OA距离的2倍，即点P的纵坐标为2二, 代入函数解析式得：2、空x2- x,

55、 93 解得：xi =3+0 二,x2=3 -, 即可得满足条件的有两个，Pi （3+，2 1）, P2 （ 3- ，2二）. （3）存在. 0 F x 阳 ) 过点b作Bp丄则曲bap=；, 故可得/ BOA=60 设Qi坐标为（x, X2-x),过点 Qi 作 QiF 丄 x 轴, 93 / OABOQiA, / QiOA=30 故可得 OF= 7Q1F，即 x=二（二x2 x）, 93 解得：x=9或x=0 （舍去）， 即可得Qi坐标为（9，3 7）, 根据函数的对称性可得 Q2坐标为（-3, 3二）. 4解：（1）依题意，将 M （2, 2）代入抛物线解析式得: 2=-丄（2+2） （

56、2 m）,解得 m=4. (2) 令 y=0, 即卩 (x+2) ( x 4) =0,解得 x仁-2, x2=4, 4 B ( 2, 0), C (4, 0) 在 Ci 中，令 x=0 ,得 y=2 , E (0, 2). 二 S bce= BC?OE=6 . 2 (3) 当m=4时，易得对称轴为 x=1，又点B、C关于x=1对称. 如答图1，连接BC,交x=1于H点，此时BH + CH最小(最小值为线段 CE的长度) 设直线 EC: y=kx+b,将 E (0, 2)、C (4, 0)代入得：y= - x+2 , 2 当 x=1 时，y= , H (1,-). 2 2 （4）分两种情形讨论:

57、 当厶BECBCF时，如答图 2所示. BEJX； 廿卞, 2 - BC =BE?BF. 由(2)知 B ( 2, 0) , E ( 0, 2), 即 卩 OB=OB ,/ EBC=45 ,CBF=45, 作FT丄x轴于点F,贝U BT=TF. 可令F (x, x 2) ( x 0),又点F在抛物线上， x 2= (x+2) (x m) , / x+20 (v x0), IT x=2m , F (2m , 2m 2). 此时 BF=2血衣卷(缶匚g) 2= 2讥(m+1), BE=2伍,BC=m+2, 又 BC2=BEBF,( m+1) 2=八辽曲;(m+1), m=2土.二 / m0,二 m

58、= J 二+2. 当厶BECFCB时，如答图3所示. 则討海販 同，/ EBC=Z CFB , BTFCOE,二_bL_ BTOC_ir 可令 F (x, (x+2) (x 0) IT 又点F在抛物线上， E (x+2) =-(x+2) (x- m), rrir /x+20 (I x0), x=m+2, F (m+2, -2 (m+2) , EC= IT ，BC=m+2, 2 又 BC =EC?BF ,( m+2) (nH-2+2)屮(册)2 2 ID BCE 整理得：0=16,显然不成立. 综合 得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与 5、解：(1)由题意得，

59、函数图象经过点 A (- 4, 3) , B ( 4, 4), (-4+2) ( - 4a+b) (4+2) (4a+b) 故二次函数关系式为：=亠（x+2） （13x- 20）. 43 (2)由(1)所求函数关系式可得点C坐标为(-2, 0),点D坐标为(,0), 13 又点 A (- 4, 3), B (4, 4), 二AB |1一 = _ 二；=I , AC= | 一 二+1 _：_ ?=:, BC= _一二-1.=：， 满足 ab2=ac2+bc2, ACB是直角三角形. (3)存在点P的坐标，点P的坐标为(-,)或(-1 一，). 13 131313 设点 P 坐标为(X,丄(x+2

60、) (13x-20),贝 y PH=2 ( x+2) (13x - 20) , HD= - x+2?, 484813 若厶DHPBCA, 贝心 713 ,20 X+I3 V52 解得：x=或x=：（因为点p在第二象限，故舍去） 代入可得ph=T，即P1坐标为（-：，） 若 PHDBCA，则 I / :，即 説）（13X-20） 解得：x=-或x： 1 （因为点P在第二象限，故舍去）. 1313 代入可得PH，即P2坐标为：（- ：,）. 131313 综上所述，满足条件的点 P有两个，即Pi （-邑!，色）、P2 （ ）. 13131313 6、解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A