数列中恒成立问题的研究(续)(20210222180409)

1、专题：数列中恒成立问题的研究 、问题提出 问题i:已知等差数列an的首项为i,公差为2，若aia2 a?a3 * 玄3玄4 8485 a2na2n i t n对 n N 恒成立，则实数 t的取值范围是 .( ,i2 aia2a2a3a3a4a4a5a2na2n i a2 (aia3 ) a4(a3 a5) a2n (a 2n i a2n i) 4(a2 a4 La?n)4 生包 2 l n8n2 4n，所以 8n2 4n tn2 ，所以t 8 -对 n n N*恒成立，t 12 问题2: 、思考探究 探究1：设首项不为零的等差数列 2 an的前n项和为Sn，若不等式an sn 2 mai对任意

2、正整数n都成立, 则实数m的最大值为 .- 5 解析：ai= 0时，不等式恒成立，当 aiK 时， r 2q2 an ,Sn 违P + 2 2,将 ai n ai an = ai+ (n 1)d, Sn=nai+n n d代入上式，并化简得:遡n： d+52+记漓= 探究2:已知常数 1 (2) 若an ian对一切n N*恒成立，求实数 入的取值范围. 2 解：(i)入=0 时，Sn i an an i . 二 SnSn . 2 分 an an 0 , Sn 0 . 二 an i an .Vaii , an i . 4 分 a (2)V Sni 亠5 an 3 an i ,an0 , 则蛍

3、3 S3 1 ,- 鱼31 2 a2 a1 a3 a2 相加， 得 1 3 3 2 L 3n an 则Sn n 33 nan (n 2). 2 Sn 1 Sn an 1an 上式对n = 1也成立， Sn 1 Sn Si in 1 1，九 31 (n2). an an 1 n 1 . 3n 3 二 Sn n an ( n N* ). 2 an 1 ( n N * ). ，得an 1 an 1 3n 3 an . 3n an 1 n an. /入0, 3n 3 2 3n 13 3n 3 3n 13 n对一切n N*恒成立. 即託对一切n N*恒成立. 33 12分 记bn bn 1 2n 3n

4、3 2n 2 3n 1 4n 2 3n 6 nn 1 33 33 当 n = 1 时，bn bn 1 0 ； 当 n 2 时，bn bn 1 0 ； 15分 1 二b1 b2-是一切bn中的最大项. 16分 3 探究3:数列a*满足：a1L 0,n N ) (1)求数列an的通项公式; (2) 当 4时，是否存在互不相同的正整数r,s,t，使得ar,as，at成等比数列？若存在，给出r,s,t满 足的条件；若不存在，说明理由； (3) 设Sn为数列an的前n项和若对任意n N，都有(1 )Sn a. 2 n恒成立，求实数的 取值范围. 【解】 (1) 印 3 当n 2时, 由 _a2a3 a1

5、2 L 黒 n2 2n 得a1 a2 a3 2 Lan 1 Ln 2 2 (n 1)2(n 1) -得黒2n 1，所以an (2n 1) n 1 ( n 2) n 1 因为 a13，所以 an (2n 1)( n N ) (2) 当 4时，an (2n 1)4n 1 若存在 ar，as，at 成等比数列，则(2r 1)(2t 1)4r t 2s (2s 1)2 由奇偶性知r t 2s 0 所以(2r1)(2t1) (r t 1)2，即 r t，这与 r t 矛盾. 故不存在互不相同的正整数r,s,t，使得ar,as,at成等比数列 (3)(0, 3 2 三、真题链接 四、反思提升 五、反馈检测

6、 1.设各项均为正数的数列an的前n项和为3,满足a2+1 = 4Sn+ 4n + 1, n N*，且a2, a5, a14构成等 比数列数列bm满足对于任意正整数 m, bm是使得不等式 an m( 0)成立的所有n中的最小值. (1) 求数列 an的通项公式； (2) 当 1时，求数列bm的前2m项的和； (3) 是否存在实数，使得bm 3m 2(m N*)，若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明 理由. 解 (1)当 n2 时，4Sn1= a2 4(n 1) 1,.4an= 4Sn 4Sn-1= a2+1 a2 4, 即 a2+1 = an+ 4an+ 4 = (an+ 2)2,

7、又an0,. an+1 = an+ 2,.当n2时，an是公差为2的等差数列. 又 a2, a5, ai4成等比数列.二 a2= a2 ai4,即(a2+ 6)2= a2 (a2+ 24)，解得 a2= 3. 证法1:假设存在实数 满足条件，由不等式an 2 n 3m 2(mN*),根据b-的定义可知，对于任意的正整数 m都有 3- 1 1)m 对任意的正整数m都成立. 由(1)知ai = 1 .又a2 ai= 3 1 = 2,.数列an是首项ai = 1,公差d= 2的等差数列.二an= 2n 1. (2) 由(1 )得an 2n 1 , 对于正整数 n,由a In m, m 得n 2 根据

8、1 bm的定义可知 当m 2k 1 时，bf m k(k N*)； 当m 2k 时，bm k 1(k N*). 二 d b2 Lb2m (b1 b3 Lb2m 1 )(b2 b4 L b2m) (1 2 3 L m) 23 4 L (m 1) m(m 1) m(m 3)2 m 2m . (3)不存在，理由如下: 所以黑6，(話加7，所以17，矛盾，故不存在. 10 (或610 )时，得m 证法2：用“分离变量求最值”来做的，假设存在实数 满足条件，由不等式 an 2 n (或 m w ),这与上述结论矛盾. 6 1 6 1 1 当610，即时，得 3 w 0 6 不存在正实数，使得bm 3m 2(m N*). bm 3m 2(m N*),根据bm的定义可知，对于任意的正整数 m都有由3m 1 w