椭圆典型题型归纳

1、椭圆典型题型归纳题型一 定义及其应用例1.已知一个动圆与圆 C ：(x 4)2 y2 =100相内切，且过点A(4,0)，求这个动圆圆心 M的轨迹方程；练习：1. 方程.(x-3)2寸_(x3)2y2 =6对应的图形是()A.直线B.线段C.椭圆D.圆2. 方程(x一3)2y2 (x3)2y2 =10对应的图形是()A.直线B.线段C.椭圆D.圆4.如果方程;x2 (y m)2亠亠.x2 (y -m)2 = m 1表示椭圆，则 m的取值范围是 5. 过椭圆9x2 4y2 =1的一个焦点F1的直线与椭圆相交于 A, B两点，则A, B两点与椭圆的另一个焦点f2构成的 abf2的周长等于；6. 设

2、圆(x V)2 y2 =25的圆心为C，A(1,0)是圆内一定点，Q为圆周上任意一点，线段AQ的垂直平分线与 CQ的连线交于点 M，则点M的轨迹方程为 ；题型二.椭圆的方程(一) 由方程研究曲线x2 y2例1.方程1的曲线是到定点 和的距离之和等于 的点的轨迹；1625(二) 分情况求椭圆的方程例2.已知椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点P(3,0)，求椭圆的方程；(三) 用待定系数法求方程例3.已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P(J6,1)、巳(-J3,-J2)，求椭圆的方程；2 2例4.求经过点(2, -3)且与椭圆9x 4y =36有共同焦点的椭圆方程;

3、2 2 2 2注：一般地，与椭圆 笃爲=1共焦点的椭圆可设其方程为邛21(k -b2);aba+kb+k(四) 定义法求轨迹方程；例5.在占ABC中，A,B,C所对的三边分别为 a,b,c，且B(4) C，求满足bac且b, a,c成等差数列时顶点 A的轨迹；(五) 相关点法求轨迹方程；2例6.已知x轴上一定点A(1,0)，Q为椭圆y2 =1上任一点，求 AQ的中点M的轨迹4方程；(六) 直接法求轨迹方程；例7.设动直线l垂直于x轴，且与椭圆x2 2y2 =4交于A, B两点，点P是直线l上满足paLpb -1的点，求点P的轨迹方程；(七) 列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为 F (0,

4、 50)的椭圆被直线y = 3x - 2截得的弦的中点的横坐标1为丄，求此椭圆的方程；2题型三.焦点三角形问题225例1.已知椭圆 -L =1上一点P的纵坐标为一，椭圆的上下两个焦点分别为F2、F1，16 253求 PF1、 PF2 及 coF1PF2 ；题型四.椭圆的几何性质x2 v25例1.已知P是椭圆 二 2 =1上的点，的纵坐标为，F1、F2分别为椭圆的两个焦点，ab3椭圆的半焦距为c,则PRLPF的最大值与最小值之差为2 2X V例2.椭圆2 =1 (a b 0)的四个顶点为 代B,C, D，若四边形a bABCD的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为221例3.若椭圆 V 1的离心率

5、为一，则k =k +142 2例4.若P为椭圆笃爲a2 b2= 1(a b 0)上一点，F1、F2为其两个焦点,且.PF1F2 =150 , PF2R =75，则椭圆的离心率为题型七.求离心率2 2例1椭圆 笃 再=1(a b 0)的左焦点为 斤(卡0)，A(-a,0)， bB(0,b)是两个顶点,如果Fi到直线KAB的距离为，则椭圆的离心率 e =2 2PF1F2 -，例2.若P为椭圆笃V2 =1(a b 0)上一点，F1、F2为其两个焦点，且a b PF2F2，则椭圆的离心率为例3. F1、F2为椭圆的两个焦点，过F2的直线交椭圆于P,Q两点，PF1 _ PQ，且PR二PQ，则椭圆的离心率

6、为 ；题型八椭圆参数方程的应用2 2例1.椭圆 0+1=1上的点P到直线X-2y+7 = 0的距离最大时，点 P的坐标43例2.方程x si n；：-y cos=1(0八八)表示焦点在y轴上的椭圆，求的取值范围；题型九.直线与椭圆的关系(1 )直线与椭圆的位置关系例1.当m为何值时，直线丨：y = x m与椭圆9x2 16y2 =144相切、相交、相离？ 例2.曲线2x2 y2a2 ( a . 0 )与连结A(-1,1), B(2,3)的线段没有公共点，求 a的取 值范围。例3.过点P( -3, 0)作直线I与椭圆3x2 4y2 =12相交于 代B两点，O为坐标原点，求OAB面积的最大值及此时

7、直线倾斜角的正切值。例4.求直线xcosr ysin v - 2和椭圆x2 3y6有公共点时，二的取值范围(0 r : -：)。(二) 弦长问题例1.已知椭圆x2 2y2 =12，A是x轴正方向上的一定点，若过点 A，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点A的坐标。3例2.椭圆ax2 by2 =1与直线x y =1相交于 代B两点，C是AB的中点,-J2若|AB|=2、2，O为坐标原点，OC的斜率为，求a,b的值。22 2例3.椭圆-1的焦点分别是Fj和F2，过中心O作直线与椭圆交于 A, B两点，若4520ABF2的面积是20,求直线方程。(三) 弦所在直线方程2 2例1.已知椭圆1，过点P

8、(2,0)能否作直线I与椭圆相交所成弦的中点恰好是P ;164例2.已知一直线与椭圆4x2 9y2二36相交于A, B两点，弦AB的中点坐标为 M (1,1)，求直线AB的方程；例3椭圆E中心在原点0，焦点在x轴上，其离心率e = J?,过点C(1,0)的直线I与椭 3圆E相交于A,B两点，且C分有向线段 AB的比为2(1) 用直线I的斜率k(k =0)表示. OAB的面积；(2) 当 OAB的面积最大时，求椭圆 E的方程.2 2X y例4.已知A(X1,yJ,B(1,y0),C(X2,y2)是椭圆1上的三点，F为椭圆的左焦点,43且AF ,BF , CF成等差数列，则 AC的垂直平分线是否过

9、定点？请证明你的结论。(四) 关于直线对称问题2 2例1.已知椭圆 11，试确定m的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线43y =4x m对称;例2.已知中心在原点，焦点在 y轴上，长轴长等于 6，离心率 ，试问是否存在直31线I，使I与椭圆交于不同两点 代B，且线段AB恰被直线x二-一平分？若存在，求出直2线丨倾斜角的取值范围；若不存在，请说明理由。题型十最值问题2 2例1若P(2 旷,f2为椭圆 +止=1的右焦点，点M在椭圆上移动，求MP +|mf2|251611的最大值和最小值。M 1M22 2结论1：设椭圆 笃 笃=1的左右焦点分别为F1,F2,P(x),y0)为椭圆内一点，M(

10、x,y)为a b椭圆上任意一点，贝V MP + MF2的最大值为2a十| PF,，最小值为2a- PF1 ；2 2例2. P(2,6),F2为椭圆 + =1的右焦点，点 M在椭圆上移动，求 MP + MF2的 2516最大值和最小值。2 2X y论2设椭圆 飞 2 -1的左右焦点分别为 F1,F2, P(Xo,yo)为椭圆外一点，M(x, y)为椭a b圆上任意一点，贝V MP +|MF2的最大值为2| PF!，最小值为PF2; 2二次函数法2 2例3求定点A(a,0)到椭圆 笃-每=1上的点之间的最短距离。a2b22 2结论3：椭圆X- L- =1上的点M (x, y)到定点A(m,O)或B

11、(O,n)距离的最值问题，可以用 a2 b2两点间距离公式表示丨MA丨或丨MB丨，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围。3.三角函数法2例4求椭圆X2 y2 =1上的点M (x, y)到直线l :x 24的距离的最值;4结论4:若椭圆2x2a2笃=1上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时b2，可通过椭圆的参数例2 .求函数2t 4 r 6 -t的最值方程，统一变量转化为三角函数求最值。4.判别式法例4的解决还可以用下面方法结论5:椭圆上的点到定直线 l距离的最值问题，可转化为与I平行的直线 m与椭圆相切的问 题,利用判别式求出直线 m方程，再利用平行线间的距离

12、公式求出最值。例5.已知定点A(-2, i3),点F为椭圆魚右1的右焦点，点M在该椭圆上移动时,求AM +2 MF的最小值，并求此时点 M的坐标；(第二定义的应用)题型一 .轨迹问题例1 到两定点(2,1) , (-2, -2)的距离之和为定值 5的点的轨迹是()椭圆E.双曲线C.直线D.线段例2.已知点A(3,0),点P在圆x2 y 1的上半圆周上(即y0), / AOP的平分线交PA 于Q,求点Q的轨迹方程。例3已知圆C:(x-3)2 y2 =100及点A(-3,0) , P是圆C上任一点，线段 PA的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程。题型十二椭圆与数形结合例1.关于x的方程.2 -2x2 -kx 2k =0有两个不相等的实数解，求实数 k的取值范围你的四大平稳和合，你身体的风水就为上乘风水，散发的都是好的能量，你的四大不合，就为差风水，散发出来的就是坏的能量。人的身体也是一个风水宝地。你的心念，你的所想所思，内在的情志，从你的外在，展现的淋漓尽致。你内心是不安，还是从容，都会从你的言语和行为中展现出来，所以人身体的本身就是一个风水场，它又是一个强大的磁场，吸引和抵御着好与坏的事物。人身体内在的机体，在儒家思想里以仁、义、礼、智、信来表述。佛家的思想中被阐述为，地、 水、火、风。老子；以道、天、地、王来表述。真正的好风水，好人生，其实就是我们内心的咼贵。在