概率论与数理统计各章节

1、第五章大数定理和中心极限定理 I.-据以往经验某种电器元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现在随机 的抽取16只，设它们的寿命是相互独立的，求这16只元件寿命总和大于1920小时的概率。 解：设第/只寿命为X, (1/16),故(Xj)=100, D(X )=1OO2(I=12J6)依本章定理1 知 16 22 Xf. -1600 1920) = 1-P(工 Xi 15 1500 -15SXjS15 匸i- =1一戸 -15 11.18 1500 工X, f=l 11.18 15 11.18 = l-O(1.34)-O(-1.34) = 2l- 75） = 1 - P（X 5 75） =

2、 1 - P二T - = 1 - npq yjnpqy/npq -55 =1-（一H =（+ -） = 0.8944 44 （2） p二由中心极限定理知 7.七一复杂的系统，由100个互相独立起作用的部件所组成匚在整个运行期间每 个部件损坏的概率为。为了整个系统起作用至少必需有85个部件工作。求整个系统工作的 概率。 （2） 一个复杂的系统，由n个互相独立起作用的部件所组成，每个部件的可靠性（即 部件工作的概率）为。且必须至少有80%部件工作才能使整个系统工作，问n至少为多少才 能使系统的可靠性不低于。 解：（1）设每个部件为Xgz100） 部件工作 部件损坏不工作 设X是100个相互独立，服

3、从（0-1）分布的随机变虽:Xj之和 X=X1+X2+X100 由题设知 n=100 P X,=l=p=/ P Xf0= E (X ) =p= D(Xf)=p(l-p)=X= n E (Xi) =100 x=90, n D (X ) =100 x=9 1(X) P工 Xf 85 = X - nE(XJ 85 畀 乔D(Xj 一 85-90 I _ X -90 咛 (-Oh -d) 0.5 1 0.3丽丿 0.95 =1 一 P丿 X-90 由中心极限定理知 -广丄 J-x厉 =1-4(-|)查标准正态分布表 =4) 解：(2)设每个部件为X(=L2n) X J1部件工作 一0 部件损坏不工作

4、PXf=l=p= PXrO=l-p= E(Xi)=p= D(Xj=x= 由问题知 v、80 Xf7oon =0.95 求 n= “D(XJ “D(XJ 护0.9J討 0.9” 0.3丽 0.3丽 =1- P 1.645 03丽 解得n 取”25,即门至少为25才能使系统可靠性为. 八随机地取两组学生，每组80人，分别在两个实验室里测量某种化合物的PH值, 各人测疑的结果是随机变疑，它们相互独立，且服从同一分布，苴数学期望为5,方差为, 以乂，卩分別表示第一组和第二组所得结果的算术平均： （1）求 PX 5.1（2） P-0.1X-F0.1 解：由中心极限定理知 80 工X, -80 x5 U = W , 一 N (0,1) 780 x0.3 80 -80 x5 V = 7=1 , N (0,1) V80 x0.3 80 工X； -80 x5 (1) P4.9X ?=| 780 x0.3780 x0.3 5,1x80-80 x5 V80 x 0.3 80 工 X, -80 x5 川一163 V24 1.63 = 20(1.63) 一 1 = 2x0.9484 一 1 = 0.8968 80 80 （2）由的相互独立性知x：与工y;独立。从而a u独