因式分解与唯一性定理教学注记

1、因式分解与唯一性定理教学注记0 引言 一元多项式理论是高等代数与解析几何课程的重要内容之 一。虽然它在整个高等代数与解析几何课程中是一个相对独立且 自成体系的一部分， 却为高等代数与解析几何课程的基本内容提 供了理论依据。 此外，一元多项式理论中的一些重要定理和方法， 在进一步学习其它数学理论以及解决实际问题时也经常要用到。如求矩阵的 Jordan 标准形时，需要先求出其特征矩阵的全 部初等因子。此时，需要用到的是一元多项式理论中的互素理论： 设，若多项式，都与，互素，则矩阵与等价（见文献 1 第 262 页引理 8.3.5 ）。一元多项式理论可归纳为以下四个方面： 基本理论： 包括数域上一元

2、多项式的基本概念、运算、导数及其基本性质；整 除理论：包括整除、最大公因式、互素等的概念与性质；因式 分解理论： 包括不可约多项式、 因式分解与唯一性定理、 重因式、 实数域、 复数域上多项式的因式分解、 有理系数域上多项式不可 约的判定等；根理论：包括多项式函数、多项式的根、代数学 基本定理、本原多项式、有理数域上多项式的有理根求法等。虽 然一元多项式理论内容丰富， 但重点是整除理论和因式分解的理 论，主要定理是带余除法、最大公因式存在性表示定理、因式分 解唯一性定理。 在教学过程中， 若能把握住两大重点和三大基本 定理，就能够避免一元多项式理论由于“概念术语多且抽象、 证 明思路难入手”所

3、带来的麻烦， 进而从整体上掌握一元多项式理 论，提高课堂教学效果。就因式分解与唯一性定理的教学而言，目前国内主要教材 （见文 1-4 ）采用的是：首先给出不可约多项式的概念、列举 出不可约多项式的 3 条性质，最后讲因式分解与唯一性定理并证 明之。老师没有用更多时间强调不可约多项式的定义、 让学生充 分理解不可约多项式的概念。 另一方面， 因式分解存在性的证明 采用的是中学不怎么讲的数学第二归纳法。 虽然唯一性定理的证 明采用的是数学第一归纳法， 但仍有很多学生学习起来有一定困 难。结合笔者在因式分解与唯一性定理的教学实际， 我们首先用 给出数域一元多项式不可约的两个充分必要条件， 以让学习充

4、分 理解这一数学概念； 然后用反证法证明因式分解与唯一性定理的 存在性，以期让学生更容易地理解这一重要的基本定理。1 不可约多项式的充分必要条件 关于不可约多项式的定义，国内教材基本都采用如下形式： 定义 1 设为数域上一元多项式， 且的次数。 如果不能表示 为数域上两个次数比低的多项式的乘积， 则称为上的不可约多项 式。否则，称为上的可约多项式。下面，我们给出不可约多项式的两个充分必要条件。定理 设为数域上一元多项式， 且的次数。 则下列命题等价： 为上的不可约多项式； 若，是满足的任意多项式，则或者，或者； 若，是满足的任意多项式，则或者，或者是非零的常数。证明：见1，第9页性质133。：

5、假设。则由知，或者，或者。从而有，或者。（*）另一方面，由假设可知：。（ #）欲使（ *）式和（ #）式都成立，除非 ，或者 。因此，或者， 或者是非零的常数。：设为的任一因式，即有，。由知，要么，要么，其 中且。若，则为上的不可约多项式。若，则， 。从而，仍为上 的不可约多项式。2 因式分解与唯一性定理的新证明定理1 设为数域上一元多项式， 且。则可唯一性地分解成 数域上一元不可约多项式的乘积。 唯一性指的是， 如果有两个分 解式其中和均为数域上不可约多项式，则必有，而且适当排 列不可约因式的次序后，有，其中为数域上非零的常数。证明 唯一性：同文 1-4 中相应证明。下面，我们给出存在 性定理的一个新的、更为学生所能理解的简捷方法。存在性：记不能表示成一些不可约多项式的乘积，。故需证明。我们用反证法证明之。假设。令从而。记中的最小元为，相应的一元多项式为。故不能表示 成一些不可约多项式的乘积，且自身也不是一个不可约多项式。 从而，存在