和绝对值有关的问题

1、和绝对值有关的问题知识结构框图:i I相反数H绝对值 J有理数比较大小|绝对值的意义:几何意义：一般地，数轴上表示数 a的点到原点的距离叫做数a的绝对值, 记作|a|。（2）代数意义：正数的绝对值是它的本身；负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零。a当a为正数也可以写成：|a戶三0当a为0-a（当a为负数）说明：（I）|a| 0即|a|是一个非负数；（n） |a|概念中蕴含分类讨论思想。典型例题例1.（数形结合思想）已知a、b、c在数轴上位置如图:的值等于（A ）则代数式 | a | + | a+b | + | c-a | - | b-c |A . -3aB . 2c aC . 2a 2b

2、D. b解：| a| + | a+b |+| c-a |- |b-c|=-a_(a+b)+(c-a)+b_c=-3a分析：解绝对值的问题时，往往需要脱去绝对值符号，化成一般的有理数计算。 脱去绝对值的符号时，必须先确定绝对值符号内各个数的正负性， 再根据绝对值 的代数意义脱去绝对值符号。这道例题运用了数形结合的数学思想，由a、b、c在数轴上的对应位置判断绝对值符号内数的符号，从而去掉绝对值符号，完成化简。例 2.已知：xOz ， xyO，且| y|a 凶， 那么 | x+z| + y + z| -|x-y的值（C ）A.是正数B.是负数C.是零D.不能确定符号解：由题意，x、y、z在数轴上的位

3、置如图所示:x+z + y+z _x_y 二x z-(y z)-(x-y) =0分析：数与代数这一领域中数形结合的重要载体是数轴。 这道例题中三个看似复 杂的不等关系借助数轴直观、轻松的找到了 x、y、z三个数的大小关系，为我们 顺利化简铺平了道路。虽然例题中没有给出数轴，但我们应该有数形结合解决问 题的意识。例3.（分类讨论的思想）已知甲数的绝对值是乙数绝对值的 3倍，且在数轴上 表示这两数的点位于原点的两侧，两点之间的距离为 8,求这两个数；若数轴上 表示这两数的点位于原点同侧呢？分析：从题目中寻找关键的解题信息，“数轴上表示这两数的点位于原点的两侧” 意味着甲乙两数符号相反，即一正一负。

4、那么究竟谁是正数谁是负数，我们应该 用分类讨论的数学思想解决这一问题。解：设甲数为x，乙数为y 由题意得：x | =3 y ，（1）数轴上表示这两数的点位于原点两侧：若x在原点左侧，y在原点右侧，即x0，则4y=8 ，所以y=2 ,x= -6若x在原点右侧，y在原点左侧，即x0，y0，则-4y=8 ，所以y=-2,x=6（2）数轴上表示这两数的点位于原点同侧：若x、y在原点左侧，即x0，y0，y0，则2y=8 ，所以y=4,x=12例4.（整体的思想）方程x-2015 =2015-x的解的个数是（A. 1个 B . 2个 C . 3个 D .无穷多个分析：这道题我们用整体的思想解决。将x-20

5、15看成一个整体，问题即转化为求方程| a |-a的解，利用绝对值的代数意义我们不难得到， 负数和零的绝对值等于它的相反数，所以零和任意负数都是方程的解，即本题的答案为D。例5.（非负性）已知|ab 2|与|a 1|互为相互数，试求下式的值.aba 2014 b 2015分析：利用绝对值的非负性，我们可以得到：|ab 2|=| a 1|=0 ,解得：a=1,b=2于是1aba 2 b 21a 2014 b 201512015 201711-+2015 201722201720162017在上述分数连加求和的过程中，我们采用了裂项的方法，巧妙得出了最终的结 果同学们可以再深入思考，有兴趣的同学可

6、以在课下继续探究。例6.(距离问题)观察下列每对数在数轴上的对应点间的距离 4与- 2 ,3与5, -2 与-6，-4 与 3.并回答下列各题：(1) 你能发现所得距离与这两个数的差的绝对值有什么关系吗？答：等(2) 若数轴上的点A表示的数为x,点B表示的数为一1,则A与B两点间的距离x-(-1)可以表示为分析：点B表示的数为一1,所以我们可以在数轴上找到点 B所在的位置。那么 点A呢？因为x可以表示任意有理数，所以点 A可以位于数轴上的任意位 置。那么，如何求出A与B两点间的距离呢？结合数轴，我们发现应分以下三种情况进行讨论。idi _- *I- i 0 x当 x0,-1 0 -1当x-1时，距离为-x-1,当-1x3的x的取值范围为x-1分析:x-2即x与2的差的绝对值，它可以表示数轴上 x与2之间的距离分析：同理x+1表示数轴上x与-1之间的距离，x + 4表示数轴上x与-4之间的距离。本题即求，当x是什么数时x与-1之间的距离加上x与-4之间的距离会大于3。借助数轴，我们可以得到正确答案：x-1 0说明：借助数轴可以使有关绝对值的问题转化为数轴上有关距离的问题，反之， 有关数轴上的距离问题也可以转化为绝对值问题。这种相互转化在解决某些问题时可以带来方便。事实上，| A-B|表示的几何意义就是在数轴上表示数 A与数 B的点之间的距