小学奥数平面几何五种面积模型(等积鸟头蝶形相似共边)

1、小学奥数平面几何五种模型（等积，鸟头，蝶形，相似，共边）目标：熟练掌握五大面积模型等积，鸟头，蝶形.相似（含金字塔模型和沙漏模型）.共 边（含燕尾模型和风筝模型）.掌握五大面积模型的各种变形 知识点拨一、等积模型等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等.面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比； 如右图ssaib夹在一组平行线之间的等积变形，如右图a c f b；反之.如果s qmsr,则可知直线ab平行于cd.等底等高而两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等，面积

2、比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等.面积比 等于它们的高之比.二、鸟头定理两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角（相等角或互补角）两夹边的乘积之比.bb如图在abc中.d,e分别是ab,ac上的点如图 （或d在ba的延长线上.e在ac上）. 则 s戒：= （ab x ac）: （ad x ae）三、蝶形定理任意四边形中的比例关系（“蝶形定理”储、：s? = sq : s3 或者 x s3 = s. x s4 ao oc = （ + s2）:（s4 + s3） 蝶形定理为我们提供了解决不规则四边形的面积问题的一个途 径.通过构造模型.一方面

3、可以使不规则四边形的面积关系与 四边形内的三角形相联系；另一方面.也可以得到与面积对应 的对角线的比例关系.梯形中比例关系（“梯形蝶形定理”）：（dw g =a2 :b: sj: s3: s?: s$ = a，: f: ab: ab ;s的对应份数为（a + b）2 .（二）沙漏模型=;ab ac bc ag sdes s3c = af - ： ag .四、相似模型（一）金字塔模型所谓的相似三角形.就是形状相同.大小不同的三角形（只要其形状不改变.不论大小怎 样改变它们都相似）,与相似三角形相关的常用的性质及定理如下： 相似三角形的一切对应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比;相似三

4、角形的面积比等于它们相似比的平方； 连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所对应的底边长的一半.相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系相互转化的工具.在小学奥数里，出现最多的情况是因为两条平行线而出现的相似三角形.五、共边定理（燕尾模型和风筝模型）在三角形abc中.ad. be, cf相交于同一点那么saabo -=:上述定理给出了一个新的转化面积比与线段比的手段，因为aab。和 aaco的形状很象燕子的尾巴.所以这个定理被称为燕尾定理.该定 理在许多几何题目中都有着广泛的运用.它的特殊性在于.它可以 存在于任何一个三角形之中，为三角

5、形中的三角形面积对应底边之 间提供互相联系的途径.典型例题例i如图，正方形月86的边长为6, ae = l5,cf=2.长方形分由的面积为【解析】连接。区。尸则长方形属劭的面积是三角形座面积的二倍. 三角形际的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积.s.def =6x6-l5x6 + 2-2x6 + 2-4.5x4 + 2 = 16.5,所以长方形切谢面积为33.【巩固】如图所示，正方形abcd的边长为8厘米，长方形ebgf的长bg为1。厘米，那么长 方形的宽为几厘米?bfb【解析】本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形 可以看作特殊的平行四边形）.三角形面积

6、等于与它等底等高的平行四边形面积 的一半.证明：连接ag.（我们通过aaeg把这两个长方形和正方形联系在一起）.在正方形abcd中，s皿=：x abx边上的高，saabg=1s阳cd （三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，s/.abg = efgb ，正方形abcd与长方形efgb面积相等. 长方形的宽=8x8 + 10 = 6.4 （厘米）.【例21长方形abcd的面积为36cm, e. f. g为各边中点，h为ad边上任意一点, 问阴影部分面积是多少？【解析】解法s -isafhb - t、chbsdhg = t sdhc+ s、chd ) = x36 = 18；而sh

7、b + s18hp + shg =彩 +saebf =lxbexbf =lx（lxab）x（lx bc） = 1x36 = 4.5.皿 22 228所以阴影部分的面积是：=18-8=18-4.5 = 13.5可得：s立于解法二s特殊点法.找h的特殊点.把h点与d点重合.那么图形就可变成右图：d(h)，影=sqcd - sued - abef - s、cfd这样阴影部分的面积就是adef的面积.根据鸟头定理.则有:= 36- x x 36- - x x x 36- x x 36 = 13.5.【巩固】在边长为6厘米的正方形abcd内任取一点p,将正方形的一组对边二等分，另 一组对边三等分，分别与

8、p点连接,求阴影部分面积.【解析】（法1）特殊点法.由于p是正方形内部任意一点，可采用特殊点法.假设p点 与a点重合.则阴影部分变为如上中图所示.图中的两个阴影三角形的面积分别 占正方形面积的！和1 ,所以阴影部分的面积为6晨（1+ 1） = 15平方厘米.464 6（法2）连接pa、pc .由于apad与apbc的面积之和等于正方形abcd面积的一半，所以上、下两个阴影三角形的面积之和等于正方形abcd面积的同理可知左、右两个阴影三角 4形的面积之和等于正方形abcd面积的l 所以阴影部分的面积为62x（2 + 3 = 15 64 6平方厘米.【例31如所示，长方形abcd内的阴影部分的面积

9、之和为70, ab = 8, ad = 15,四边形efgo的面积为【解析】利用图形中的包含关系可以先求出三角形aoe、dog和四边形efgo的面积之和，以及三角形aoe和dog的面积之和.进而求出四边形efgo的面积.由于长方形abcd的面积为15x8 = 120 .所以三角形boc的面积为120x1 = 30.所以三角形aoe和dog的面积之和为120x3-70 = 20;4又三角形aoe、dog和四边形efgo的面积之和为120x(99 = 30,所以四边形 efgo的面积为30-20 = 10.另解：从整体上来看.四边形efgo的面积=三角形afc面积+三角形bfd面积- 白色部分的面

10、积，而三角形afc面积+三角形bfd面积为长方形面积的一半，即 60.白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积.b|j 120-70 = 50 ,所以 四边形的面积为60-50 = 10.【巩固】如图，长方形abcd的面积是36, e是ad的三等分点，ae = 2ed,则阴影部分 的面积为【解析】如图.连接oe.根据蝶形定理.(：皿=5乂00-scae - sacde =1:1.所以 s0hx = sa0ed om : ma.= sbqe : sraf = srhf : s1hae = 1:4 .所以 oem = t oea 又soed =二乂=$形阳9 =3 saoea = 2saoe

11、d = 6 ,所以阴影部分面积为: 3 43xl + 6xl = 2.7.25【例4】已知abc为等边三角形，面积为400, d、e、f分别为三边的中点，已知甲、 乙、丙面积和为143,求阴影五边形的面积.(丙是三角形hbc)【解析】因为d、e、f分别为三边的中点，所以de、df、ef是三角形abc的中位线, 也就与对应的边平行.根据面积比例模型.三角形abn和三角形amc的面积都 等于三角形abc的一半，即为200.根据图形的容斥关系，有 $内=+ sajc -,b|j400-s1m= 200+ 200sq1hx,所以 $丙=1hn .所以又圣i 彩 + s1adf = s甲 + s乙 +

12、sq1hx %影=s” + s乙 + s内一 sxadf = 143 x 400 = 43 .【例5】如图，已知cd = 5, de = 7, ef=15, fg = 6,线段ab将图形分成两部分，左 边部分面积是38,右边部分面积是65,那么三角形adg的面积是._ 7，aadg 9 aaed = aadg，zo于是:21287 g 12 ckbf=65； 8+ scbf = 38.可得sudg=40.故三角形adg的面积是40.【例6】如图在瓯 中，d、e分别是ab、ac上的点，且ad ab = 2：5 ,ae： ac=4:7 ,=16平方j?米，求abc的面积.【解析】连接af bd.根

13、据题意可知，cf =5+7 + 15 = 27; dg = 7 + 15 + 6 = 28 ;所以，sbef s3cbp , s1hs3chl: , s3g = s【解析】连接 be , saade :saabe = ad : ab=2：5 = (2x4):(5x4),saabe；saabc = ae：ac = 4:7 = (4x5)：(7x5) 所 以 sa2sde ： saabc = (2x4):(7x5) 设 $皿=8份则s皿=35份.s.qe=16平方厘米,所以1份是2平方厘米.35份 就是70平方厘米.4阳。的面积是70平方厘米.由此我们得到一个重要的定理. 共角定理：共角三角形的面

14、积比等于对应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之 比.【巩固】如图，三角形abc中，ab是ad的5倍，ac是ae的3倍，如果三角形ade的 面积等于l那么三角形abc的面积是多少？ab 【解析】连接be.ec = 3ae ，s皿=3s曲又；ab = 5ad s ge = s abe - 5 = +15*aabc =15$皿=15【巩固】如图,三角形，力被分成了甲(阴影部分)、乙两部分，bd = dc = 4,be = 3, ae = 6, 乙部分面积是甲部分面积的几倍？【解析】连接ad.;be = 3 , ae = 6, * ab = 3be s abr) = 3s bde又 bd = dc=4

15、, s 诋=2业) s 必=6bde $乙=5s i .【例7】如图在瓯中，d在ba的延长线上，e在ac上9且ab：ad = 5:2,ae:ec = 3:2,【解析】连接 be g saade :saabe = ad: ab = 2:5 = (2x3)：(5x3)sz.abe：saabc =ae：ac = 3：(3 + 2) = (3x5):(3 + 2)x5,所以 s皿：s4e =(3x2):5x(3 + 2) = 6:25 设 sr =6 份，则 s的=25 份,s皿=12 平方厘米.所以1份是2平方厘米.25份就是50平方厘米.aabc的面积是50平 方厘米.由此我们得到一个重要的定理.

16、共角定理：共角三角形的面积比等于对 应角(相等角或互补角)两夹边的乘积之比【例8】 如图，平行四边形abcd, be = ab , cf = 2cb , gd = 3dc, ha=4ad ,平行 四边形abcd的面积是2,求平行四边形abcd与四边形efgh的面积比.【解析】连接ac、bd.根据共角定理在 abc 和 abfe 中,zabc 与 zfbe 互补. saabc _ ab bc _ 1x1 _ 1,* safbe -bebf -173-3 ,又 s皿=1 所以 safbe = 3 .同理可得sadho=15, s回=8.所以降gh = s何 + sacrg + sadhg + sa

17、bef + s皿p =8 + 8+15+3+2 = 36 .所以上=2=_l.sefgh 36 18【例9如图所示的四边形的面积等于多少?【解析】题目中要求的四边形既不是正方形也不是长方形.难以运用公式直接求面积.我们可以利用旋转的方法对图形实施变换：把三角形oab绕顶点o逆时针旋转.使长为13的两条边重合.此时三角形oab将 旋转到三角形ocd的位置.这样.通过旋转后所得到的新图形是一个边长为12的 正方形，且这个正方形的面积就是原来匹边形的面积.因此.原来四边形的面积为12x12 = 144.（也可以用勾股定理）【例10如图所示，aabc中，zabc = 90 , ab = 3 , bc

18、= 5 ,以ac为一边向aabc外作 正方形acde,中心为o,求aobc的面积.【解析】如图.将aoab沿着o点顺时针旋转90。，到达aocf的位置.由于 nabc = 90 zaoc = 90 . 所以 noab +/ocb = 180 , 而 nocf = noab 所以nocf+nocb = 180。,那么b、c、f三点在一条直线上.由于ob = of , zbof = zaoc = 90。，所以abof是等腰直角三角形，且斜边bf为 5 + 3 = 8,所以它的面积为殷=16.4根据面积比例模型.aobc的面积为16x2 = 10.8【例11如图，以正方形的边ab为斜边在正方形内作直

19、角三角形abe, naeb = 90。，ac.bd交于o.已知ae、be的长分别为3cm、5cm ,求三角形obe的面积.【解析】如图.连接de.以a点为中心.将aade顺时针旋转90。到aabf的位置.那么neaf = neab+zbaf =neab+ndae = 90。 而/aeb也是90。 所以四边形 afbe是直角梯形.且af=ae = 3,所以梯形afbe的面积为：(3 + 5)x3xl = 12 (cnr).又因为aabe是直角三角形，根据勾股定理，ab: = ae 11s + be2 = 32 +52 = 34 ,所以 sabd =；砥2 =17 (cm2).那么 s皿=s皿一(

20、s* + s1aoe) = s =17-12 = 5 (cm2),所以 sobe = _ sppe = 2.5 (cm:).【例12如下图,六边形abcdef中，ab=ed, af=cd, bc = ef ,且有ab平行于ed , af平行于cd, bc平行于ef ,对角线fd垂直于bd,已知fd = 24厘米，bd = 18厘米，请问六边形abcdef的面积是多少平方厘米?【解析】如图，我们将abcd平移使得cd与af重合，将adef平移使得ed与ab重合.这样ef、bc都重合到图中的人6了.这样就组成了一个长方形bgfd,它的面积与 原六边形的面积相等.显然长方形bgfd的面积为24x18

21、 = 432平方厘米.所以六 边形abcdef的面积为432平方厘米.【例13如图，三角形abc的面积是1, e是ac的中点,点d在bc上，且bd:dc = 1:2, ad与be交于点f则四边形dfec的面积等于【解析】方法一：连接cf 根据燕尾定理，由=黑;baacf dc -sabf 阳sbf ec 图所标设 abdf = 1 份，则 ,dcf = 2 份 9= 3 份，s但=s4efc = 3 份，如方法二：连接de.由题目条件可得到回=-s2.abc1 71bfadc=-xjs=- 所以荏=：.abdzade1-311111 1-x-x-xsabc =77,长方形abcd的面积是2平方

22、米，ec = 2de , f是dg的中点.阴影部分的面积是多少平方厘米?【解析】设sadef米.tc 5 g5=1份.则根据燕尾定理其他面积如图所示+影=丘sabcd =平方厘【例1。四边形abcd的对角线ac与bd交于点0 （如图所示）.如果三角形abd的面积等于三角形bcd的面积的;，且ao = 2, do = 3 ,那么co的长度是do的长度的倍.adbc bcad【解析】在本题中.四边形abcd为任意四边形.对于这种“不良四边形无外乎两种处 理方法：利用已知条件.向己有模型靠拢，从而快速解决；通过画辅助线来 改造不良四边形.看到题目中给出条件s皿：$ - =1:3 .这可以向模型一蝶形

23、定 理靠拢.于是得出一种解法.又观察题目中给出的已知条件是面积的关系，转化 为边的关系，可以得到第二种解法.但是第二种解法需要一个中介来改造这个” 不良四边形”.于是可以作ah垂直bd于h-cg垂直bd于g面积比转化为高 之比.再应用结论：三角形高相同.则面积之比等于底边之比.得出结果.请老 师注意比较两种解法.使学生体会到蝶形定理的优势，从而主观上愿意掌握并使 用蝶形定理解决问题.解法一：ao:oc = s3：s皿=1:3 , /. oc = 2x3 = 6 , /. oc :od = 6: 3 = 2:1 .解法二：作ahj.bd于h. cglbd于g.,*= abcd ah = -cg

24、s_0d =3，ao = ko ，oc = 2x3 = 6 oc :od = 6:3【巩固】如图，四边形被两条对角线分成4个三角形, 求t二角形bgc的面积,ag:gc = ?jd n【解析】根据蝶形定理，sb0cxi = 2x3.那么s改根据蝶形定理，ag:gc = (l + 2):(3 + 6) = l:3 .【例15如图，平行四边形abcd的对角线交于。点lsadoc，3 = 2:1 .其中三个三角形的面积己知，jc = 6 ；cef、aoef、aodf、aboe 的面积依次是2、4、4和6.求求ocf的面积；求gce的面积adbe c【解析】根据题意可知，zxbcd的面积为2 + 4

25、+ 4 + 6 = 16 , 是16 + 2 = 8.所以ocf的面积为8-4 = 4;)那么bco和acdo的面积都由于bco的面积为8.boe的面积为6.所以oce的面积为8-6 = 2.根据蝶形定理.e :g =fc goa：es= c=2. 所以sag c a ? = g =p c1 c 2那么 sgce = scef =x 2 = j .【例16如图，长方形abcd中，be:ec = 2:3, df:fc = 1：2,三角形dfg的面积为2平 方厘米，求长方形abcd的面积.【解析】连接ae. fe.因为be:ec = 2:3df:fc = l:2.所以sdef=qx：x ；匕方也应

26、口 =1s长方行0c口.因为 s s 长方形, ag : gf = ；：w = 5：1.所以 s 而)=5s 8f = 10 平方厘米,/ jlu所以s afd =12平方厘米.因为s&dn;s泅e，所以长方形abcd的面积6是72平方厘米.【例17如图，正方形abcd面积为3平方厘米，m是ad边上的中点.求图中阴影部分的面积.【解析】因为m是ad边上的中点，所以am:bc=1：2,根据梯形蝶形定理可以知道asig :saabg :samcg :sabcg =1 :gx2):gx2):2 = 1:2:2:4 设 s4a g 豆 1 份,则 smcdi +2 =份，所以正方形的面积为1+2 +

27、2 + 4 + 3 = 12份.即影=2 + 2 = 4 份,所以，影：s正方形=1：3.所以s阴影=1平方厘米.【巩固】在下图的正方形abcd中，e是bc边的中点，ae与bd相交于f点，三角形bef 的面积为1平方厘米，那么正方形abcd面积是 平方厘米.ad【解析】连接de.根据题意可知be:ad = 1:2,根据蝶形定理得s梯形=（1 + 2下=9 （平方 厘米） secd=3 （平方厘米）.那么3cd= 12（平方厘米）.【例18】已知abcd是平行四边形，bc:ce = 3:2,三角形ode的面积为6平方厘米.则平方厘米.阴影部分的面积是【解析】连接ac.由于abcd是平行四边形.b

28、c:ce = 3：2,所以ce：ad = 2：3根据梯形蝶形定理.scoe：saod=22:2x3:2x3:32 =4:6:6:9 ,所以s aoc = 6（平方厘米），s/口=9（平方厘米），又5阳0 = 5 md = 6 + 9=15（平方 厘米），阴影部分面积为6 + 15 = 21（平方厘米）.【巩固】右图中abcd是梯形，abed是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位, 平方厘米），阴影部分的面积是 平方厘米.【分析】连接ae.由于ad与bc是平行的.所以aecd也是梯形，那么saocd = soae. 根据蝶形定理 saocd x saoae = saoce x saoad =

29、4x9 = 36,故 s、0cd =36. 所以工ocd=6（平方厘米）.【巩固】右图中abcd是梯形，abed是平行四边形，已知三角形面积如图所示（单位,平方厘米），阴影部分的面积是平方厘米.【解析】连接ae.由于ad与bc是平行的.所以aecd也是梯形，那么2.口 = sg . 根据蝶形定理. socd x= sa0ch x saoad=2x8 = 16 ,故原0cd=16,所以jd=4（平方厘米）.另解：在平行四边形abed中，se=：s abed =jx（16 + 8） = 12（平方厘米），所以 saaoe = saade -sd = 12-8 = 4 （平方厘米）根据蝶形定理.阴影

30、部分的面积为8x2 + 4 = 4（平方厘米）.平方厘米，那么余下的四边形。fbc的面积为平方厘米.【例19】如图，长方形abcd被ce、df分成四块，已知其中3块的面积分别为2、5、8【解析】连接de、cf .四边形edcf为梯形.所以“smsfoc，又根据蝶形定理.s“ od 所以 .ieod , s4 0c=sjof sod =2x8 = 16 所以 = 4（平方厘米）.s皿=4 + 8 = 12 （平方厘米）.那么长方形abcd的面积为12x2 = 24平方 厘米,四边形ofbc的面积为24-5-2-8 = 9（平方厘米）.【例20如图，aabc是等腰直角三角形，defg是正方形，线段

31、ab与cd相交于k点.已知正方形defg的面积48, ak:kb = 1:3,则abkd的面积是多少？【解析】由于defg是正方形,所以da与bc平行,那么四边形adbc是梯形.在梯形adbc + . abdk和aack的面积是相等的.而ak：kb = 1:3所以aack的面积是aabc 面积的一二1,那么abdk的面积也是aabc面积的2 .1 + 3 44由于aabc是等腰直角三角形.如果过a作bc的垂线,m为垂足.那么m是bc的 中点.而且am = de ,可见aabm和aacm的面积都等于正方形defg面积的一半. 所以aabc的面积与正方形defg的面积相等，为48.那么abdk的面

32、积为48x1 = 12 .4【例21下中，四边形abcd都是边长为1的正方形，e、f、g、h分别是ab, bc ,cd, da的中点，如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数已，那么，（m+n）的值等于11【解析】左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积.观察发现两个 图中的空白部分面积都比较好求，所以可以先求出空白部分的面积，再求阴影部 分的面积.如下图所示,在左图中连接eg.设ag与de的交点为m.左图中aegd为长方形.可知aamd的面积为长方形aegd面积的所以三角形 4amd的面积为f= l又左图中四个空白三角形的面积是相等的，所以左图2 4 8中阴影部

33、分的面积为1-葭4m.82bahde如上图所示，在右图中连接ac、ef ,没af、ec的交点为n.可知ef / ac且ac = 2ef.那么三角形bef的面积为三角形abc面积的l 所以 4三角形bef的面积为梯形aefc的面积为二二=3.2 4 82 8 8在梯形aefc中，由于ef:ac = 1:2 .根据梯形蝶形定理.其四部分的面积比为： 1x2:1x2:22=1:2:2:4.所以三角形efn的面积为,i=.那么四边 8 1 + 2 + 2 + 4 24形benf的面积为l = l而右图中四个空白四边形的面积是相等的.所以右 8 24 6图中阴影部分的面积为1-1x4 = l6 3那么左

34、图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为11 = 3:2.即上=?.2 3n 2那么 m+n = 3 + 2 = 5 .【例22如图，2瓯中，de, fg, bc互相平行，ad = df=fb, 9a aade ： jrtdegf ： %1fgcb =-【解析】设s八3=1份，根据面积比等于相似比的平方，所以 aade : af = 1 ： 4 g saade : s皿=ad,: ab- =1:9,因此.=4份，s瓯=9份g进而有spqwh.degf = 3份，、吗过彬fgcb = 份，所以s&qr . %t h degf s吗【巩固】如图,de 平行 bc,且 ad = 2, ab = 5

35、 ,ae = 4 ,求ac的长.a【解析】由金字塔模型得ad： ab= ae: ac = de:bc = 2:5 .所以ac =4 + 2x5 = 10【巩固】如图，瓯中，de, fg, mn, pq, bc互相平 行，ad = df =fm = n1p = pb,贝!)s/.ade ：，边乃de5 ： %边脂fgnm ：边形mnqp ： iipqcb =【解析】设 sa2e =1 份，saade:saafg = ad:af2=1:4 ,因此 aafg = 4份，进而有际边形degf = 3份，同理有 %边形f g n而5份9即边形mnqp = 7份，、q边形pqcb = 9份. 所以有ade

36、 : 4川边杉degf : q边形fgnm : 可边形mnqp :、四边形pqcb = 1 ： 3 ： 5 ： 7 ： 9【例23如图，已知正方形abcd的边长为4, f是bc边的中点，e是dc边上的点，且 de：ec = 1:3, af与be相交于点g,求s皿【解析】方法一：连接ae.延长afdc两条线交于点m.构造出两个沙漏.所以有ab cm = bf :fc = 1:1 ,因此cm = 4.根据题意有ce = 3.再根据另一个沙漏有4432gb ge= ab em=4:7,所以 s 皿=s _ =_x(4x4 + 2) =.4+7 -迎 1111方法二：连接 ae,ef ,分别求 =4x

37、2-2 = 4 .saaef =4x4-4x1 + 2-3x24-2-4 = 7， 根 据蝶 形 定理4432s4a :氏 sf 声 p 所以 sabg=yyx (4x4 + 2)=打.【例24如图所示，已知平行四边形abcd的面积是1. e、f是ab、ad的中点，bf 交ec于m,求abmg的面积.fd bc fhad的中点$得ef /bd ,而eb:cd=bg:gd = 1:2所以ch:cf=gh:ef=2：3 并得g、h是bd的三等分点$所以bg = gh,所以bg:ef=bm:mf=2:3,所以 bz = bf, = - sxabd = - x - s=-；522 24,1212 11

38、乂因为 bg = - bd 所以 s1hme = -x x s1h池=txx - = 33 53 5 4 30解法二:延长ce交da于i,如右图，可得，ai：bc = ae:eb = 1:1 ,从而可以确定m的点的位置.2i5,2 12 11可得 s1g =x；sabdf =7x7x7s5 35 3 4bm :mf =bc:if =2:3 bm = -bf , bg = bd (鸟头定理)cm ,请问四边形pqrs【例 25如图，abcd为正方形，am = nb=de = fc = lcm且mn = 2的面积为多少?mn dcmq = qc = 1mc,所以 pq = lmc -1mc = 1

39、mc 9 所以 sspqr 占 sq讣的 l 22366i2所以 sspqr = - x1xq + 1 + 2) =二(cm2). 63(法2)如图，连结ae9则s的=1x4x4 = 8(cm).2k rb er而一=,ab efr-r- k| rb ab2216 / _ 2 所以= 2 9 s1abr = s2kam = - x3 = (cm*).tst c c 11/ 2 m 兴mn nipro sq1so = x 3x4x = 3 (cm) 内内=,22dc pc所以mp=1mc.则iz=、2x4x1 = 3(cm2),阴影部分面积等于 3a 23 3o c o c 1642 z 2sg

40、br 5qr - 5八做 + 5amsp = 3 3+ = vcm ).【例26】如右图，三角形abc中9 bd:dc = 4:9, ce：ea=4:3,求af:fb.【解析】根据燕尾定理得7/8：$4必=bd:cd = 4:9 = 12:27aob - $八30c = ae * ce = 3:4 = 12:16（都有aaob的面积要统一，所以找最小公倍数）所以 s在：s=27:16=af:fb【点评】本题关键是把aob的面积统一，这种找最小公倍数的方法.在我们用比例解题中屡见不鲜.如果能掌握它的转化本质.我们就能达到解奥数题四两拨千斤 的巨大力量！【巩1如右图，三角形abc中,bd:dc =

41、 3:4 , ae:ce = 5:6, 求 af:fb.【解析】根据燕尾定理得sa*b：s皿=bd:cd = 3:4 = 15:20 aob - *aboc = ae :ce = 5:6 = 15:18 （都有aaob的面积要统一，所以找最小公倍数） 所以 2在：sab0c =20:18 = 10:9= af ：fb【巩固】如右图，三角形abc中，bd dc = 2:3 , ea:ce = 5:4,求affb.【解析】根据燕尾定理得sa0b : sab0c = ae :ce = 5:4 = 10:8（都有aaob的面积要统一,所以找最小公倍数）所以 saaoc : s.boc =15:8= a

42、f :fb【点评】本题关键是把aob的面积统一，这种找最小公倍数的方法.在我们用比例解 题中屡见不鲜，如果能掌握它的转化木质，我们就能达到解奥数题四两拨千斤 的巨大力量！【例27】如右图，三角形abc中，af :fb=bd :dc = ce：ae = 3:2,且三角形abc的面积 是1,则三角形abe的面积为，三角形age的面积为，三角形ghi 的面积为.【分析】连接ah、bi、cg.22、由于 ce:ae = 3：2 所以 ae = ：ac,故 s皿= s1abe =-所以根据燕尾定理.swg ：s皿=cd:bd = 2:3, scg:s:bq=ce:ea=3i2 ,sjacg : sbg

43、: s2bc0 = 4 ： 6 ： 9 tg 一历s1bcg919那么 swe =s、agc =2 48x = ；5 19 95同样分析可得 sw, =2 ,则 ghi s= 1h 期 , eg:eb=smg：s3：b=4：19 , 91 jbl d-x/vvj所以 eg:gh :hb = 4 510 .同样分析可得 ag :gi : id = 10:5:4 .5g 521g 5g 5 11明 以 ssrtf = sabae = x - = - s、ghi = s = x - = 皿 10 . 10 5 5 1ghi 19 皿 19 5 19【巩固】如右图，三角形abc中，af：fb = bd

44、 :dc=ce : ae=3：2,且三角形ghi的面积是1,求三角形abc的面积.【解析】连接8g, s谢=6份根据燕尾定理，saa3c :sabgc = af:fb = 3:2 = 6:4, saabg :saagc = bd:dc = 3:2 = 9 6得sabgc=4（份），s皿=9（份）.则s必=19（份）,因此声纹=,同理连接月八一得星码 = ,9淳=所以匡幽9-6-6-6=j_ abc 19 saabc 19s瓯1919三角形 附的面积是1.所以三角形4%的面积是19【巩固】如图， aadc 中 bd = 2da, ce _ 2eb ,at2fc,那么aadc的面积是阴影三角形面积

45、的倍.【分析】如图.连接ai.根据燕尾定理.s 皿1shi =bd:ad = 2:1 sabci:saabi=cf:af=1:2.22所以，=1：2：4 那么，=- -= 1+2+47同理可知aacg和aabh的面积也都等于aabc面积的：，所以阴影三角形的面积等于aabc面积的1-2x3 =，所以aabc的面积是阴影三角形面积的7倍.7 7【巩固】如图在abc中dc_ea_fb_1 . ghi的面积砧拈db ec fa_ 2 1 aabcwo!【解析】连接5g设1份.根据燕尾定理xjc :sb0c =4:fb =2:1, saabg :s必=bd:dc = 2:1,得s雄=2 （份）s皿=4

46、（份），则s皿=7（份），因此沁=）同埋连接月八ch得 saabc szabh _ sbjc _ 所以 sghi _ 2- 2-2 _ 1s血 7 saabc 7 saabc 77【点评】如果任意一个三角形各边被分成的比是相同的，那么在同样的位置上的图形.虽然形状千变万化，但面积是相等的，这在这讲里面很多题目都是用“同理得 至r的.即再重复一次解题思路.因此我们有对称法作辅助线.【例28】如图，三角形abc的面积是1, bd = de = ec , cf=fg = ga,三角形abc被分成9部分，请写出这9部分的面积各是多少?问理，sabpm= =五，所以*边形pqmn2 397-35-70【

47、解析】设bg与ad交于点凡bg与ae交于点q. bf与ad交于点、m. bf与ae交于点、n.连 接 cp. cq. cm. cn.根据燕尾定理，szabp:sacbp=ag:gc = 1:2 , sz:sa7ci=bd:cd = 1:2 ,设 $=1（份），则 s而=l + 2 + 2 = 5 （份）.所以 s3hp =：问理可得，sa bq = , s诋j = l,而8g =l,所以 sapq = - l 1 21=_ 1 _ 3 _ 9 _ 5斗wgned 一丁行一记一石 7 21m功形nfce二,一弓一至二不，、边花gfnq二一五一% =不【巩固】如图，aabc的面积为1,点d、e是b

48、c边的三等分点，点f、g是ac边的三 等分点，那么四边形jkih的面积是多少？【解析】连接ck、ci、cj .l s 1+2+4 7 的根据燕尾定理.s :s.=cd:bd = 1:2 , s所以sk：s叩：sj必=1:2:4，那么s皿k =类似分析可得xs-：s-=af：cf=2：h swsqbdd 可得。三那么，scgkj=l 810 4 21 84根据对称性.可知四边形cehj的面积也为那么四边形jkih周围的图形的面 84积之和为scgkj x2+si+saabe= x2 + + - = 所以四边形jkih的面积为cgkj2gi aabe 酷 小 370,6191 70 7(【例29】

49、右图，瓯中，g是ac的中点，d、e、f是bc边上的四等分点，ad与bg 交于m, af与bg交于n,已知abm的面积比四边形fcgn的面积大7.2平方 厘米，则 abc的回积是多少平方厘米？【解析】连接cm、cn.根据燕尾定理.sa:sacb,vi = ag:gc = 1:1, saabm:saacm=bd:cd = 1:3,所以s/.abm =s必；再根据燕尾定理,s码;：s4cbn =，所以 sabx ： sapbj； = scbn ： spbj = 4 ： 3 ,所以an：nf=4:3.那么昆空_ = 1x?-=三，所以s“c 2 4+3 7“fcg_ 5 1_ 5saafc = - x

50、-saabc =saabc /乙。根据题意,有为八次-s次=7.2.可得s诋=336 （平方厘米） 528【例30如图，面积为1的三角形加c中，d、氏尸、6乂/分别是加、bc、ca的三 等分点,求阴影部分面积.【解析】三角形在开会.那么就好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令bi与cd的交点、为m. af与cd的交点、为nbi与af的交点为p, bi与ce的交 点为q,连接,bn、cp求。叱心!：在瓯中根据燕尾定理.1abm :sacbs1 = ai:ci = 1:2 saa：m :sacbm = ad:bd = 1:2设 shm=1（份）则=2 （份），saacm =1（）, s际=4

51、（份），所以 s.d1abm = - s皿所以 sqm = 3=立 s处,= saabc ,所以鼠边 f adnh = （ + r）s皿= a abc 1z 12o同理可得另外两个顶点的四边形面积也分别是abc面积的16求s,地孙d0qe：在 abc中-根据燕尾定理s心：s4=bf -cf =1:2 sabcn = ad:bd = 1:2,所以 saadn =saabx = - xs皿=saabc.问理 sabeq在 瓯中，根据燕尾定理 s加：saqubficfnln, saabp ： sacbp = ai ci = 1:2a n s ba p同理另外两个五边形面积是zsabc面积的看所以10

52、570【例31如图，面积为1的三角形抽。中，d、氏尺6从/分别是必bc. ca的三 等分点,求中心六边形面积.did【解析】设深黑色六个三角形的顶点分别为m r、p、s、m 0.连接以 在瓯中根据燕尾定理，s：s“r = bg：cg. = 2:1, saabr : acbr. = n ： ci = 1 ： 2所以s题=尹abc 向理s心=-saak sacqb =s曲所以a=一泻_湾,同理s,根据容斥原理.和上题结果sasn =亍1 1 131已知4def的面积为7平方厘米，be = ce,ad = 2bd,cf=3af ,求abc的面积.【解析】s.皿e ：s必= (bdxbe):(baxbc) = (lxl);(2x3) = l：6,s.cef =(cexcf):(cbxca) = (lx3):(2x4) = 3:8sa/of : sqbc =(adx af):(abx ac) = (2xl)：(3x4) = l：6设 s迎=24 份，贝份.s皿=4 份.s3=9 份，s回=24-4-4-9 = 7 份，恰好是7平方厘米，所以s皿=24平方厘米练习2.如图，四边形efgh的面积是66平方米，ea= ab , cb=bf, dc=cg, hd = da,求四边形abcd的面积.【解析】连接bd.由共角定理得头即：smgf 问理s.1abd - s般=1:2,即s般=