正四面体外接球和内切球球心_第1页
正四面体外接球和内切球球心_第2页
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文档简介

1、设正四面体为A-BCD. 作三角形BCD中,CD边的中线BE, BC边的中线DF. BE,DF相交于G,连接AG. 以下讨论AG的性质. 连接AE,AF.由于BC垂直于AEBC垂直于AF, 故BC垂直于平面ADF,（垂直于平面上的两相交直线，就垂直于这平面） 从而BC垂直于AG.（垂直于平面，就垂直于平面上的任何直线） 同理”CD垂直于AG, 即知AG垂直于平面BCD.即AG是过三角形BCD的外心且垂直这三角形所在平 面的直线. 故其上任何一点到三点BCD等距离. 再者，平面ABE是二面角平面C-AB-D的平分面.即:二面角C-AB-E = E-AB-D 山此知，平面ABE上任何点到平面ABC

2、和平面ABD的距离相等. 同理:平面ADF是二面角平面C-AD-B的平分面. 知:平面ADF上任何点到平面ABD和平面ACD的距离相等. 而AG在是上述两平面的交线 故AG上的任何点到，此到三平面ABC,ABD,ACD的距离相等（2） 同理，设三角形ADC的中心为H,连接BH,则BH有相应的性质： （la）其上任意点到三点ADC的距离相等； （2a）其上任意一点到三平面:BCD,BCA,BAD距离相等. AG, BH都在同一平面ABE中”设它们相交于0,则0点到四点:A,B,C,D距离相等， 且0点到四面ABC,ABD, BCD,ACD距离相等. 即0点既是外接球的中心，乂是内切球的中心. 求证:空间中两条异面直线有且只有一条公垂线！ 即已知:直线a和直线b为异面直线 求证:它们有且只有一条公垂线 我问过很多同学和老师他们都写不出来注意证明公垂线的存在性和唯一性! 存在性证明 过直线b作平面A平行于a,将a向A投影得交b于点p 过点p作直线c垂直于A c丄A c丄b且c丄a1 Va a且 cna=p ca=p 则c即为6b公垂线 唯一性证明 假设公垂线不唯一，过b上任一点m作公垂线交a于n Vm n 丄a a a1 mn丄 乂 *.* mn 丄 b mn 丄 A VmnCa=n且mn丄 Am nd二n 过平面外一点有且只有一条直线垂直于平面 m=n=p（三点重合） 得过点p有两

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