特殊曲面及其方程--柱面、锥面、旋转面

1、引言空间解析几何所研究的曲面主要是二次曲面。但是也可以研究一些非二次 特殊曲面。本论文中将利用直线或曲线适合某几何特征来建立一些曲面的方程。 主要讨论由直线产生的柱面和锥面，曲线产生的旋转曲面这三大类。1. 柱面定义1 :一直线平行于一个定方向且与一条定曲线 相交而移动时所产生的曲面叫做柱面（图1），曲线 作叫做准线。构成柱面的每一条直线叫做母线。显然，柱面的准线不是唯一的，任何一条与柱面所有母 线都相交的曲线都可以取做柱面的准线，通常取一条平面曲 线作为准线。特别地，若取准线 为一条直线，则柱面为一 平面，可见平面是柱面的特例。下面分几种情形讨论柱面的方程。1.1母线平行于坐标轴的柱面方程选

2、取合适的坐标系，研究对象的方程可以大为化简。设柱面的母线平行于z轴，准线为Oxy面上的一条曲线，其方程为：图2f x, y 0z 0又设P x, y,z为柱面上一动点（图2），则过点P与z 轴平行的直线是柱面的一条母线，该母线与准线的交点记为M x, y,0，因点M在准线上，故其坐标应满足准线方程，这表明柱面上任一点P x,y,z的坐标满足方程f x, y 0反过来，若一点P x, y,z的坐标满足方程f x, y 0，过P作z轴的平行线Oxy面于点M ,则点M的坐标x, y,0满足准线 的方程f x, y 0, z 0 ,这表明点M在准线 上，因此直线MP是柱面的母线（因为直线MP的方向向量

3、 为0, 0, z | 0,0,1 ），所以点P在柱面上综上所述，我们有如下结论：母线平行上于z轴，且与Oxy面的交线为f x,y 0, z 0的柱面方程为：f x,y 0（ 1）它表示一个无限柱面。若加上限制条件 a z b，变得它的一平截段面。同理，母线平行于x轴，且与Oyz面的交线为g y,z 0, x 0的柱面方程 为g y,z 0 ；母线平行于y轴，且与Ozx面的交线为h x,z 0, y 0的柱面方 程为h x, z 0。定理1:凡三元方程不含坐标x,y,z中任何一个时必表示一个柱面，它的母 线平行于方程中不含那个坐标的坐标轴。应该注意，如果母线不平行于坐标，柱面方程就要包含所有的

4、坐标。2 2 2 2例1：以Oxy面上的椭圆 笃笃1, z 0，双曲线 笃 每1, z 0和抛a ba b物线y2 2Px, z 0为准线，母线平行于z轴的柱面方程分别为2 x2 a1,2x2 a2y2 2Px它们分别叫做椭圆柱面、双曲柱面、抛物柱面，由于它们的准线是二次曲线，故 又统称为二次柱面，其图形见（图 3）。图3例2:证明，若柱面的准线为(2)f X, y 0z 0母线方向为Vl,m,n n 0，则柱面方程为rlm门f x z, y z 0nn证：设P xi，yi,0为准线 上一点，则过此点的柱面母线的参数方程为:x Xi l , y yi m , z n (为叁数)当点R遍历准线上

5、的所有点，那么母线就推出柱面，消去参数，由式中最后一个式子得-，代入其余两个式子，有nx-1x llX -z,nyiy m y因点R在准线上，代入f若柱面的准线为f x, z y 0母线方向为l, m, n m则柱面方程为:i： f x 丄 y,mz -y 0m(3)若柱面的准线为:f y,z 2 : x 0母线方向为l,m,n l则柱面方程为2 : f y m x,z -x 0l(4)1.2柱面的一般方程设柱面的准线 是一条空间曲线,其方程为Fi x, y,z0F2 x, y, z0母线方向为l,m, n，在准线 上任取一点R为，,乙，则过点R的母线方程是:x xi l , y yi m ,

6、 z n (为叁数)这里x, y,z是母线上点的流动坐标。因点 P1的坐标应满足:Fi Xi，yi，z0,F2 Xi，yi，z0F1 xl, ym, zn0F2 xl, ym, zn0从上面这两组式子中消去参数，最后得一个三元方程F x, y, z 0(5)这就是以 为准线，母线的方向数为l ,m, n的柱面方程例3：柱面的准线是球面x2 y2z21与平面x y z0的交线，母线方333向是1,1,1，求柱面的方向解：设X1,%,Z1是准线上任一点，则过这点的母线方程为x1xy1yZ1z由此得代入准线方程，得消去参数，得xx1yy1zZ1展开，化简后得2 2 22 x y z xy yz zx

7、 3这就是所求的柱面方程。1.3柱面的参数方程xf t设柱面的准线的参数方程为：yg ta t bzh t母线方向为l,m, n又设R f ti , g ti ,h ti是准线上的一点，则过R的母线方程为x f til , y g tim, zh tin （为参数）令R在准线 上移动，即让ti取所有可能的值，并让取所有可能的值，则由上式决定的点x,y,z的轨迹就是所求的柱面。因此，柱面的参数方程是：x f t ly g tma tb（6）z h tnxa cos例4:设柱面的准线为：ybsi n0 2z0母线方向为o,i,i，求柱面的方程。xa cos解：由（6）式，柱面得参数方程为:yn s

8、i n02z从上式中消去参数和，得住面的般方程2x22y z 1 .2 1ab1.4由生成规律给出柱面的方程有时不给出柱面的准线，只给出生成规律下面举一例。例5:求以直线q为轴，半径为r的圆柱nz Z)面方程，其中直线q通过点Fo Xo,yo,Zo ,方向向量为V l,m, n。解：设P x,y,z为所求柱面上的一点(图4),按题意P到q的距离为PMr，设PPoM，按向量的定义有RPi V sin两端平方即得所求柱面的向量是方程：2写成坐标式，即n y yoZoZo2XoXoyo若利用公式22V22 n则式又可写成2XXoyozZol X XoyoZo2XXo2y yoz2zol X Xol2

9、m y yo n z zX2y2r2。特别地，若取直线q为z轴，令Xo yo Zo 0,则比时柱面方程为1.5曲线的射影柱面定义2:设是一条空间曲线,为一平面，经过 上每一点作平面的垂线,由这些垂线构成的柱面叫做从到 的射影柱面（图5）显然，在上的射影就是从到的射影柱 面与 的交线。通常我们将平面 取为坐标平面。给定空间曲线Fi x, y,z0F2 x, y,z0那么怎样求曲线到Oxy平面上的射影柱面方程？因为这个柱面的母线平行于z轴，因此它的方 程中不应含变量z，这样只要消去z即从 的某一 个方程中解出z来，把它代入另一个方程中，就得 到从 向Oxy面的射影柱面方程：f x,y 0同理，曲线

10、 在另外两个坐标平面上的射影柱面方程分别为:g y,z 0, h x,z 0因为射影柱面方程比一般三元方程简单，所以常用两个射影柱面方程来表示空间曲线。具体做法是：从曲线的方程中轮流消去变量x,y与z，就分别得到 它在Oyz面，Ozx面和Oxy面上的射影柱面方程，然后于这三个柱面方程中选取两个形式简单的联立起来，那么就得到了原曲线的形式较简单的方程且便于作 图。例6：求曲线:x2 y2 x21, x2 y 1 $ z 1 $1在Oxy面上的射影。解：欲求曲线在Oxy面上的射影，需先求出曲线到Oxy面上的射影柱面，这又须从曲线方程消去z，由的第一个方程减去第二个方程并化简得将z 1 y代入曲线的

11、方程中的任何一个，得曲线 到Oxy面的射影柱面:x2 2y2 2y 02故两球面交线在Oxy面的射影曲线方程是x 2y 2y 0这是一椭圆. z 02. 锥面定义3:通过一定点Po且与一条曲线 相交的一切直线所构成的曲面叫做锥面（图6），定点R叫做锥面的顶点，定曲线 叫做锥面的准 线，构成锥面的直线叫做锥面的母线。由定义3,可见，锥面有个显著的特点：顶点与曲面上 任意其它点的联线全在曲面上。显然，锥面的准线不是唯一的，任何一条与所有母线相 交的曲线都可以作为锥面的准线。通常取一条平面曲线作为 准线。下面分几种情形讨论锥面的方程：2.1顶点在原点，准线为平面曲线的锥面方程设锥面的准线 在平面z

12、h上，其方程为y图7f x,y 0x hxy hyx1 , y1zz由于Xi, y应满足f Xi,yi0,可见x, y,z应满足方程:上hhf x, yzz反过来，若一点P的坐标x,y,z满足方程(1)，则将上式逆推可知，点P在过点O与R的直线上，因而在锥面的母线上,P是锥面上的点。因此，以原点为锥顶，准线为 g y,z0, xx,y0, y m的锥面方程分别为:kg y,xkz0; h mx, Tzxy y例7：采用上式易知,以原点为锥顶，准线为椭圆2 x-2az2y_ 1b21双曲线h2 x2 az2y_b2 h和抛物线2Px h的锥面方程分别是:1fl1,1 hb2 zyh-yz2P-x

13、 0 z2 y b2z22 y b2和hy22Pxz 0这三个二次方程都是关于x、y、z的二次齐次方程，因此统称为二次锥面（图8）22yb2h2x2y2z2a2 b2h22hy 2Pxz 0从以上一组方程中消去可得 F x, y,z o2.2锥面的一般方程F1 x, y, z 0 设锥面的准线为一空间曲线：:F2 x, y,z 0顶点P0的坐标为xo, yo,zo又设p %,%,乙为准线上一点，则过点P的母线方程为:xXoxixo, yyoyiyo , zzozizo因为R在准线上，故应有Fi捲，如，乙oF2为，儿乙oZ Zo 1(7)y y。1z Zo 1这就是以 为准线P0为顶点的锥面方程

14、例8:锥面的顶点在原点，且准线为2 2x y_ i2 . 2a bz c求锥面的方程。解：设M! x1,y1,z1为准线上的任意点，那么过 Mi的母线为xyzy2X1y1z1且有由、得X1y1代入得所求的锥面方程为22x y22a b2 z2c这个锥面叫做二次锥面。定理2:关于x, y,z的齐次方程表示以坐标原点为顶点的锥面。证：设F x, y,z 0是关于x, y,z的n次齐次方程，点R为，力，乙是方程所表示的曲面 上的任意一点（但不是原点），那么F为，,乙 0连结or，在此直线上任取一点p x,y,z，因为，故有x|X1, y.ty1, zl.tz把点P的坐标代入曲面 的方程，利用F是n次

15、齐次函数，有F tx1,ty1,tz1tnF 冷,乙 0这表示直线OR上任何点都在曲面E上，因而另是由过原点的动直线构成的，这 就证明了它是一个以原点为顶点的锥面。推论：关于x.x, y.y,的齐次方程表示以 x0,y0,z0为顶点的锥面证：平移坐标轴，以Xo,yo,zo为新原点，利用定理 即得证明r22:$笃二1, y二0的锥面方程 c a解：设P x,y,z是锥面上一动点，则母线F0P的方程为X .X，y.bb0, z.zip（为叁数）其中P Xi,0,z为母线PoP与准线的交点，从上式可解得交点R的坐标XiX0 二 y - b - bp由此可解得卩业，将点P的坐标代入准线方程中，得b此即

16、z2 X2或2 zyb2b2z2X2a2 这就是所求的锥面方程。2.3锥面的参数方程设锥面的准线的参数方程为顶点为P X0，y,z0，又设P f tiX. f t：y 二 gta（tbz. h t,g ti , h ti为准线上一点，则母线RP的参数方程为x X0t1 X0y 二 y0 亠 g tiy。z 二 z0 一 h ti z0当点R在准线T上移动时，母线PoR的轨迹就是锥面，因此锥面的参数方程是从(8)式可见，锥面有两叶,x 二“ y 二 1 -P z 二 1-p卩0是一叶,at b厂 iKP+oc”0是另一叶。(8)例10：已知锥面的顶点为0,0,0，准线为x 二 a cosy 二b

17、sin#, z二c 002亍求它的方程。解:由(8)式，所求锥面的参数方程是x . ap cos y bp sinl(9)x2消去参数，和，就得所求锥面的一般方程，它是二次锥面(9)2.4由生成规律给出锥面的方程定义4:已知一定直线q上的一定点R，过空间一点P与P0作直线使与q所成锐角等于定角，则动点P的轨迹叫做(直)圆锥面，q叫做锥面的轴，锐角 叫做半锥项角，定点P0叫做锥顶例 11:求以q：x x0 y y0 z z0为 I m n轴，半锥角为：，的圆锥面方程。解：设P x,y,z为所求圆锥面上的一点，R冷孑么为锥顶(图9)。PP与q的夹角为的条件是:其中卄PP(10)ZI, m,n为直线

18、q的方向向量，F0P xx), y y, z-册。2 f 222222cos 卩 l -pm1 -_nx 一X-y-y一-z_ z-2l X-X -my_y。-_n z=-z二 0方程(10)即为所求圆锥面的向量式方程，写成坐标形式是:(10)Zo的二次齐次式，因而是二次锥面OX。，y.y, z|它是关于x|两个特例是1以原点0,0,0为锥项，且轴的方向为l,m, n的锥面方程为2COSI 222222II_mn x y z lx my+n z2=0( 11)若设I、2 cosn为方向余弦，则(11)式简化为2 2x_y2_z2 - lx-my*n0(11)2以原点0,0,0为锥顶，z轴为轴，

19、和为半锥项角的圆锥面方程是(此时l,m,n.0,0,1)：2 cos2亠-x _y _z:2 _ z2 二 0 或2 cosx2 y2 2 2z 1 一 cos2 2 z sin此即x2- y2 二 z2 tan2(其图形见图10zy直圆锥面：x2 y2 z2 tan2图10例12：求以原点为顶点且过三条坐标轴的 圆锥面方程。解：设将过原点且方向角为的直线q取作轴，因为所求圆锥面包含三条坐标轴，所以它的轴必与三条坐标轴交成等角，因而有coscoscos ， 但 cos2cos2cos21 ，故有 cos3 ，3coscosT。根据不同的符号,q的位置共有四种，且分别在八锥的半锥顶角满足 cos

20、213 (因为此时2 cos2 cos2 cos2 cos1设q位于第I、叫封限,则有coscos cos写出母线方向X,y,z与cos,cos,cos 成角为的条件:xcosy coszcos2 2 2 22y z 、cos cos cosx y zx2 y2 z23由此出锥面的方程为：xy yz zx 0此时轴的方程是：x y z2设q位于第U、毗封限内，同理得锥面的方程为：xy yz zx 0此时轴的方程是：x y z3设q位于第IHV圭寸限内，则锥面方程为：xy yz zx 0且轴的方程是：x y z4设q位于第W、切封限内，则锥面方程为：xy yz zx 0且轴的方程是:3. 旋转曲

21、面定义5: 一条曲线I绕一条定直线q纬线圆旋转而产生的曲面叫做旋转曲面（图 1旋转曲面q图111）,曲线T叫做旋转曲面的母线，直线q叫做旋转轴，厂上每一点在旋转过 程中生成的圆叫做纬线圆或平行圆。当I为直线时，若与轴平行，则旋转曲面是（直）圆柱面；若|与轴相交时, 旋转曲面是（直）圆锥面；若与轴垂直，则旋转曲面是平面（图12），因此圆 柱面、圆锥面，还有平面都可看作是旋转曲面的例子。F面分几种情形讨论旋转面的方程:qq图123.1旋转曲面的一般方程设旋转曲面的母线是一条空间曲线F1 x, y, z . 0F2 x, y, z 0旋转轴q是过点P0 x0,y0,z0，方向为l,m,n的直线又设R

22、心,乙是母线上任意一点，P x,y,z是过R的纬线圆（它的圆心是q上的一点）上的任意一点（图13），则CP , q 丄 CR 且 CP .CRRP丄q, F0P二P0R，所以有l x 一咅m y_% 一n z_z2yy。2Z z0y图13_ 2 2二为一Xq y2乙一 Zq式表示以F0为中心，以F0R为半径的球面，而式表示通过点R且垂直于轴q的平面。所以和联立表示通过 F的纬线圆。又因点Pi在母线1上，故有Fi %,%,乙.0, F2 Xi,%,Zi .0由三式、消去xi,yi,zi，即得旋转曲面方程：F x,y,z 0（i3）例i 3：求直线油-yZ绕直线q：xyz旋转所得的旋转曲面方程。2

23、 2解：设F x,y,z是旋转曲面上的任意一点，过F作轴xyz的垂直平面，交母线 细丫兰i 2 2P Xi,y,Zi （图i4），因为旋转轴通过点，不妨取原点为Po，于是由上述，过点Pi的纬线圆方程是: 2 2 , , X 一一y _Xi -yi Zi占八、Pix , y , zx, y, zPo0,0,0y2g : x y z由于点P在母线上，故图i4代入因此xll-y-z 或2 2y 2 x i , z 2 x iyiz 二洛2x 一22x 一 2二 5x厂 4二1x_y_z+4522 x i x5一 _ 2-2 x - ixy 一 zii 5y z_i上式代入，得x2 y22 zx252

24、_ 8x2z_25*zx图15这就是所求的旋转曲面方程。在实际运用中，我们常把旋转轴取为坐标轴。特别地，若母线是一条平面曲 线，我们又常把母线所在的平面取作一坐标面， 旋转轴取作该平面内的某一坐标 轴，这时旋转曲面的方程具有较简形式。3.2平面曲线绕坐标轴旋转生成的旋转曲面设I是坐标平面Oxy上的曲线（图15）,它的方程是r g y, z . o：x：0旋转轴为z轴：X - z，如果P1 O, y1,z1为0 0 1母线上的一点，那么过R的纬线圆方程为：zz,.O222 22冋x y z y _-乙且有 g y1, z10 从上面两组式子消去参数y乙，具体做法是：将代入，得2一2y1 -x T

25、y2， % 二士Jx将y1x2 y2及乙z代入即得(14)g、x2 y2 ,z0同样，把曲线 绕y轴旋转所得的旋转曲面的方程是：g y, x2 z2 0（ 15）同理可知，坐标平面 Ozx上的曲线：h x, z 0, y 0绕x轴或z轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为：h x,y2 z20和 h . x2 y2, z 0绕x轴或y轴旋转所生成的旋转曲面方程分别为:f x, y2 z20 和 f . x2z2, y 0因此，我们有如下结论：定理3：当坐标平面上的曲线 绕此坐标平面内的一个坐标轴旋转时，只要 将曲线在坐标平面里的方程保留和旋转同名的坐标，而以其余两个变量的平方 和的平方根去替换方程中

26、的另一坐标，即得旋转曲面的方程。例14：将Oxy面上的圆C : x a0 a r绕y轴旋转，求所得旋转曲面的方程。解：因为绕y轴旋转，所以方程中保留y不变，而x用,x2 z2代替，即得旋转曲面方程为:22ax2r2，即x2z2a2yO2z*x4a2 x22 x图16这样的曲面叫做圆环面（图16）,它的形状象救生圈。3.3旋转二次曲面例15：圆C : x 2 2x z y272 a b y2 r2, z 0绕x轴旋转所得的曲面方程为:. 2x2、y2 z2 r2，即 x2它是以原点为中心，r为半径的球面。2 2例16：椭圆：笃当1,a bz 0分别绕长轴（即x轴）与短轴（即y轴）旋（(17)转二的的旋转曲面方程分别为:2