基与维数的几种求法

1、线性空间基和维数的求法方法一 根据线性空间基和维数的定义求空间的基和维数，即：在线性空间v中，如果有n个向量/，0(n满足：%(，明线性无关。(2)v中任一向量口总可以由ot1, a2.otn线性表示。那么称v为n维(有限维)线性空间，n为v的维数，记为dimv = n ,并称 cclg，ctn为线性空间v的一组基。如果在v中可以找到任意多个线性无关的向量，那么就成v为无限维的。例1设丫 =x ax =0, a为数域p上mn矩阵，x为数域p上n维向量，求v 的维数和一组基。解 设矩阵a的秩为r,则齐次线性方程组 ax =0的任一基础解系都是 v的基，且v的维数为n -r 00 0 a)例2数域

2、p上全体形如的二阶方阵，对矩阵的加法及数与矩阵的乘法所组成i-a bj的线性空间，求此空间的维数和一组基。解易证0 1y0 0 0 八0 h为线性空间v=-aab;a,bp 的一组线性无关的向j量组，且对v中任兀奈-aab;00；00按定义为v的一组基,v的维数为2。方法二 在已知线性空间的维数为 n时，任意n个向量组成的线性无关向量组均作成线(1卜与复数域0力c作为实数域r上的线性空间性空间的基。例3假定r ixn是一切次数小于n的实系数多项式添上零多项式所形成的线性空间，2n 1证明：1,(x1 )(x1)/h,(x1)构成 rix1的基。n 1证明 考察 ki 1 +k2(x1)+川+k

3、n(x1) =0由xn的系数为0得kn = 0 ,并代入上式可得xnn的系数kn=0依此类推便有kn = kn1=| 11 = k1 = 0 ,n 1 .故 1,(x1 )|,(x1 )线性无关又rix】n的维数为n，于是1,(x1 )|,(x1为rxn的基。方法三利用定理：数域p上两个有限维线性空间同构的充分必要条件是它们有相同的 维数。,证明：由实数域上的矩阵a的全体实系数多项式f ( a)组成的v =q+bi| a,b wr同构，并非求它们的维数。证明 v中任一多项式可记为f ( a尸ae+ ba( a b r,建立v到v的如下映射二：二 1 =a1bli f1a =a1e b1a 2心

4、 r一、. 一 ._ . . .易证仃是v到v上的单射，满射即一一映射。再设 a2 =a2 +b2i, a2,b2 e r, k e r ,则有二: 1 . ：2 :尸一唯自 ab1 b2 i = a1 . a2 e . h - b2 a =。l,受二 k - 1 -；ka1 kb|i =kae ka1a = k。故仃是v到v的同构映射，所以v到v同构另外，易证v的一个基为1, i ,故dimv =2vvvdimv =2方法四 利用以下结论确定空间的基：设%02,11,%与日1,%11,是n维线性空间v中两组向量,已知3,丹川，0n可由 巴户2,川，线性表出：1 =ai1?1 - a21?2

5、hi - an1：n：2 =a121 , a22：-2 hl an21 n-n =a1n1 , a2n：2 , hi - hnn)na11 a12 iii a1n令a =如 a22川a2 n;an1 an 2 川 ann )如果尸2,川，、为v的一组基，那么当且仅当a可逆时，目1,久,111,4也是v的一组基。例5已知1,x,x2, x3是p 1x14的一组基，证明1,1 + x,(1 + x )2 ,(1 +x;也是p x4的一 组基。证明因为231 =1 1 0 x 0 x 0 x2 31 x = 1 1 1 x 0 x 0 x(1 +x 2 =1 1 +2 x +1 x2 +0 x33

6、231 x = 1 1 3 x 3 x 1 x二01111 0 12 3 0 0 12 0 0 0 123所以 1,1+x,（1+x）,（1+x）也为 px的一组基。方法五 如果空间v中一向量组与 v中一组基等价，则此向量组一定为此空间的一组基。例6设r lx 1表示次数不超过2的一切实系数一元多项式添上零多项式所构成的线性空间的一组基，证明 x2+x,x2x, x+1为这空间的一组基。 22证明 k1 x x k2 x -xk3 x 1 =0则 k1 k2 =0k1 -k2 k3 =0k3 =0解得 k3 = k2 = k1 =0于是x2 +x,x2 -x,x+1线性无关，它们皆可由x2,x

7、,1线性表示，因此x2+x, x2x, x+1与x2,x,1等价，从而 rx】2中任意多项式皆可由x2+x, x2x,x + 1线性表示，故x2+x,x2x,x+1为r fx】2的基。方法六利用下面两个定理：定理一：对矩阵施行行初等变换和列变换，不改变矩阵列向量间的线性关系。定理二：任何一个 mn矩阵a,总可以通过行初等变换和列变换它为标准阶梯矩阵:,其中ir表示r阶单位矩阵。0 0j依据这两个定理，我们可以很方便地求出vlp|v2的一个基，从而确定了维数。例7设v1 =l(a,a2 ),v2 =l(p1,p2 )是数域f上四维线性空间的子空间，且%=(1,2,1,0 ),% =(1,1,1,

8、1)出=0-1,0,1 )久=(1,137 1求vidv2 的一个基与维 数。解若 r w v1 |v2,则存在 x, x2, y1，一丫2 亡 f ,使r =x1 +x22 = y#1 y2p2(1)即有 x1四 + x2a2 十 y1 01 + y2 02 = 0 (2)若叫 p2, p1, 02线性无关，(2)仅当x = x2 = y1 = y2 = 0时成立那么v1civ2是零子空间，因而没有基，此时维数为 0, v +v2是直和若存在不全为零的数 x1，x2,y1,y2使(2)成立，则v1p1v2有可能是非零子空间若为非零子空间，由(1)便可得到基向量r o以巴,石书邛2为列向量作矩

9、阵 a,经行初等变换将 a化为标准阶才i1形矩阵 ao12 a =10-1211-1-110311710 0-10 104=a0 0 13、0 0 00, r =-o(1 +4a2 =-31 +打=(5,2,3,4 mv2 的一个基dim v1 hv2 =1同时知，31p2是v1的一个基，dimv1=2及2是v2的一个基，dim v2 =2%,%,九 久是m +v2的一个基，dim(m +v2 产秩(a)=3方法七 在线性空间v中任取一向量a ,将其表成线性空间 v 线性无关向量组的线 性组合的形式，必要的话需说明向量组是线性无关的。这一线性无关向量组就是我们要找的基。例8求vi=l(o(i,

10、%)与v2 = l(pi, p2)的交的基和维数。、几四=(1,2,1,0)=(2,-1。1)-2 =(-11,1,1)2 =(1,-1,3,7)解任取 v w v1 hv2，则 a w v1, a = x1a1 +x2a2，且 a w v2, a = y1 01 + y2p2,a =、% +x24 =丫1总+y2p (注：此时 a虽然已表成一线性组合的形式，但它仅仅是在v1、v2中的表示，并非本题所求，即要在空间v1v2中将a线性表出)，xm +x2% 一乂&一y2p =0,求 x1,x2, y1,y2x1 - x2 -2 y1 y2 =0j 2x1 +x2 -必 +y2 =0x1 x2-3

11、y2 = 0x2-y7 y2 =0解得(x1,x2, y1,y2) =(k, -4k, -3k,k)二=k(:1 -4： 2) -k(-3 :1-)=k(5,-2,3,4)故mv2是一维的，基是(5,2,3,4)易知(5, 2,3,4)是非零向量，是线性无关的。方法八 按维数公式求子空间的交与和的维数和基维数公式：如果vv 是有限维线性空间v的两个子空间，dimv1dimv2= dimv1v2dimv1qv2例 9 已知% =(3,-1,2,1 ),% =(0,1,0,2 )b1 =(1,0,1,3)b2=2,3,1,6)求由向量四，口2生成的p4的子空间v1 =1(%22 )与向量a,匡生成

12、的子空间 v2 = 13凡)的交与和空间的维数的一组基。解 因为v1 +v2 =l(u1,u2,p1,p25对以豆1,51, p2为列的矩阵施行行初等变换:3 0 12-110-32 0 111 2 3包0000-1 10-30 0-110003,秩人=秩8 =3,所以m +v2的维数是3且,32,21,3为极大线性无关组，故它们是 v +v2的一组基。又由巴，0(2线性无关知v1的维数为2,同理v2的维数也为2,由维数公式知v1v2的维数为(2 + 2 )3 = 1。从矩阵b易知.+12 =%2%,故b+也=(3,3,2,3)是公有的非零向量,所以它是交空间v1nv2的一组基。方法九 由替换

13、定理确定交空间的维数。替换定理：设向量组%,4,川fr线性无关，并且小产2川pr可由向量组k,葭川，a线性表出，那么1 r -s(2)必要时可适当对吃，久,川，久中的向量重新编号，使得用%,%川，巴替换 日1,葭111,4后所得到的向量组%,%,川,日.十,川，久与向量组曰1,葭111,久等价。特另l当r=s时，向量组,。2川,与向量组1凡,出上等价。例 10 已知向量组 %=(2,0,1,3),o(2 =(0,3,1,0)e3 =(1,2,0,2 ,a4 =(2,6,3,3),设它们是向量组 pl,隹邛3的线性组合，又设向量组1,2用1,口与向量组 团，鸟,比等价，试求1,2,| h/m生成的空间的交空间的基和维数。空01、2032611033、023)00110-43261102-1 1020001-73200100-v020显然口1,口