2010年中考数学试题(150套)分类汇编18 二次函数的图象和性质2(含答案)

1、28（2010广东中山）如图（1），（2）所示，矩形abcd的边长ab=6，bc=4，点f在dc上，df=2动点m、n分别从点d、b同时出发，沿射线da、线段ba向点a的方向运动（点m可运动到da的延长线上），当动点n运动到点a时，m、n两点同时停止运动连接fm、mn、fn，当f、n、m不在同一直线时，可得fmn，过fmn三边的中点作pqw设动点m、n的速度都是1个单位/秒，m、n运动的时间为x秒试解答下列问题：（1）说明fmnqwp；（2）设0x4（即m从d到a运动的时间段）试问x为何值时，pqw为直角三角形？当x在何范围时，pqw不为直角三角形？（

2、3）问当x为何值时，线段mn最短？求此时mn的值【答案】解：（1）由题意可知p、w、q分别是fmn三边的中点，pw是fmn的中位线，即pwmnfmnqwp（2）由题意可得 dm=bn=x，an=6-x，am=4-x，由勾股定理分别得 =，=+=+当=+时，+=+解得 当=+时，+=+此方程无实数根=+时，=+解得 （不合题意，舍去），综上，当或时，pqw为直角三角形；当0x或x4时，pqw不为直角三角形（3）当0x4，即m从d到a运动时，只有当x=4时，mn的值最小，等于2；当4x6时，=+=+=当x=5时，取得最小值2，当x=5时，线段mn最短，mn=29（2010湖南常德）如图9, 已知抛

3、物线与轴交于a (4，0) 和b(1，0)两点，与轴交于c点（1）求此抛物线的解析式；（2）设e是线段ab上的动点，作ef/ac交bc于f，连接ce，当cef的面积是bef面积的2倍时，求e点的坐标;（3）若p为抛物线上a、c两点间的一个动点，过p作轴的平行线，交ac于q，当p点运动到什么位置时，线段pq的值最大，并求此时p点的坐标xyobca图9【答案】解：（1）由二次函数与轴交于、两点可得：解得：故所求二次函数的解析式为（2）scef=2 sbef, ef/ac, , befbac, 得故e点的坐标为(,0).（3）解法一：由抛物线与轴的交点为，则点的坐标为（0，2）若设直线的解析式为，则

4、有解得： 故直线的解析式为若设点的坐标为，又点是过点所作轴的平行线与直线的交点，则点的坐标为（则有：即当时，线段取大值，此时点的坐标为（2，3）解法二：延长交轴于点，则要使线段最长，则只须的面积取大值时即可.设点坐标为（，则有: 即时，的面积取大值，此时线段最长，则点坐标为（2，3）30 （2010湖南郴州）如图（1），抛物线与y轴交于点a，e（0，b）为y轴上一动点，过点e的直线与抛物线交于点b、c.（1）求点a的坐标；（2)当b=0时（如图（2），与的面积大小关系如何？当时，上述关系还成立吗，为什么？（3）是否存在这样的b，使得是以bc为斜边的直角三角形，若存在，求出b；若不存在，说明理由

5、. 第26题图（1）图（2）【答案】（1）将x=0，代入抛物线解析式，得点a的坐标为（0，4）（2）当b0时，直线为，由解得， 所以b、c的坐标分别为（2，2），（2，2） ，所以（利用同底等高说明面积相等亦可） 当时，仍有成立. 理由如下由，解得， 所以b、c的坐标分别为（，+b），（，+b），作轴，轴，垂足分别为f、g，则，而和是同底的两个三角形，所以. （3）存在这样的b.因为所以所以，即e为bc的中点所以当oe=ce时，为直角三角形 因为所以 ，而所以，解得，所以当b4或2时，obc为直角三角形. 31（2010湖南怀化）图9是二次函数的图象，其顶点坐标为m(1,-4).（1）求出图象

6、与轴的交点a,b的坐标； （2）在二次函数的图象上是否存在点p，使,若存在，求出p点的坐标；若不存在，请说明理由；（3）将二次函数的图象在轴下方的部分沿轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线与此图象有两个公共点时，的取值范围.图9【答案】解;(1) 因为m(1,-4) 是二次函数的顶点坐标，所以 令解之得.a，b两点的坐标分别为a（-1，0），b（3,0）(2) 在二次函数的图象上存在点p，使设则，又,图1二次函数的最小值为-4，.当时，.故p点坐标为（-2，5）或（4，5）7分（3）如图1，当直线经过a点时，可得8分 当直线经过b点时，可得由图可知

7、符合题意的的取值范围为32（2010湖北鄂州）如图，在直角坐标系中，a（-1，0），b（0，2），一动点p沿过b点且垂直于ab的射线bm运动，p点的运动速度为每秒1个单位长度，射线bm与x轴交与点c（1）求点c的坐标（2）求过点a、b、c三点的抛物线的解析式（3）若p点开始运动时，q点也同时从c出发，以p点相同的速度沿x轴负方向向点a运动，t秒后，以p、q、c为顶点的三角形为等腰三角形（点p到点c时停止运动，点q也同时停止运动）求t的值（4）在（2）（3）的条件下，当cq=cp时，求直线op与抛物线的交点坐标【答案】（1）点c的坐标是（4，0）；（2）设过点a、b、c三点的抛物线的解析式为y=

8、ax2+bx+c（a0），将点a、b、c三点的坐标代入得：解得，抛物线的解析式是：y= x2+x+2（3）设p、q的运动时间为t秒，则bp=t，cq=t以p、q、c为顶点的三角形为等腰三角形，可分三种情况讨论若cq=pc，如图所示，则pc= cq=bp=t有2t=bc=，t=若pq=qc，如图所示，过点q作dqbc交cb于点d，则有cd=pd由abcqdc，可得出pd=cd=，解得t=若pq=pc，如图所示，过点p作peac交ac于点e，则ec=qe=pc，t=（-t），解得t=（4）当cq=pc时，由（3）知t=，点p的坐标是（2，1），直线op的解析式是：y=x，因而有x =x2+x+2，

9、即x2-2x-4=0，解得x=1，直线op与抛物线的交点坐标为（1+，）和（1-，）33（2010湖北省咸宁）已知二次函数的图象与轴两交点的坐标分别为（，0），（，0）（）（1）证明；（2）若该函数图象的对称轴为直线，试求二次函数的最小值【答案】（1）证明：依题意，是一元二次方程的两根根据一元二次方程根与系数的关系，得， （2）解：依题意，由（1）得二次函数的最小值为34（2010湖北恩施自治州） 如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于a、b两点， a点在原点的左侧，b点的坐标为（3，0），与y轴交于c（0，-3）点，点p是直线bc下方的抛物线上一动点.（1）求这个二次函数的表达式

10、（2）连结po、pc，并把poc沿co翻折，得到四边形popc， 那么是否存在点p，使四边形popc为菱形？若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由（3）当点p运动到什么位置时，四边形 abpc的面积最大并求出此时p点的坐标和四边形abpc的最大面积.【答案】解：（1）将b、c两点的坐标代入得 解得： 所以二次函数的表达式为： （2）存在点p，使四边形popc为菱形设p点坐标为（x，），pp交co于e若四边形popc是菱形，则有pcpo连结pp 则peco于e，oe=ec= 解得=，=（不合题意，舍去）p点的坐标为（，）8分（3）过点p作轴的平行线与bc交于点q，与ob交于点f，设p

11、（x，），易得，直线bc的解析式为则q点的坐标为（x，x3）.= 当时，四边形abpc的面积最大此时p点的坐标为，四边形abpc的面积 35（2010北京）在平面直角坐标系xoy中，抛物线与x轴的交点分别为原点o和点a，点b（2，n）在这条抛物线上（1）求b点的坐标；（2）点p在线段oa上，从o点出发向a点运动，过p点作x轴的垂线，与直线ob交与点e，延长pe到点d，使得ed=pe，以pd为斜边，在pd右侧做等等腰直角三角形pcd（当p点运动时，c点、d点也随之运动）当等腰直角三角形pcd的顶点c落在此抛物线上时，求op的长；若p点从o点出发向a点作匀速运动，速度为每秒1个单位，同时线段oa上

12、另一个点q从a点出发向o点作匀速运动，速度为每秒2个单位（当q点到达o点时停止运动，p点也同时停止运动）过q点做x轴的垂线，与直线ab交与点f，延长qf到点m，使得fm=qf，以qm为斜边，在qm的左侧作等腰直角三角形qmn（当q点运动时，m点、n点也随之运动）若p点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，求此刻t的值【答案】解：（1）抛物线经过原点，1yxo（第24题）123424331234412m23m+2=0.解的m1=1，m2=2.由题意知m1.m=2，抛物线的解析式为点b（2，n）在抛物线，n=4.b点的坐标为（2，4）（2）设直线ob的解析式为y=k1x

13、求得直线ob的解析式y=2xa点是抛物线与x轴的一个交点，可求得a点的坐标为（10，0），设p点的坐标为（a，0），则e点的坐标为（a，2a）根据题意做等腰直角三角形pcd，如图1. 可求得点c的坐标为（3a，2a），有c点在抛物线上，得2a=x（3a）2+x3a.即a2 a=0解得 a1=，a2=0（舍去）op= 依题意作等腰直角三角形qmn.设直线ab的解析式y=k2x+b由点a(10 ，0)，点b（2，4），求得直线ab的解析式为y=x+5当p点运动到t秒时，两个等腰直角三角形分别有一条边恰好落在同一条直线上，有以下三种情况：第一种情况：cd与nq在同一条直线上，如图2所示，可证dpq为

14、等腰直角三角形此时qp、op、aq的长可依次表示为t 、4t、 2t个单位pq = dp = 4tt+4t+2t=10t=第二种情况：pc与mn在同一条直线上，如图3所示可证pqm为等腰直角三角形此时op、aq的长依次表示为t、2t个单位，oq = 10 2tf点在直线ab上fq=tmq=2tpq=mq=cq=2tt+2t+2t=10t=2.第三种情况：点p、q重合时，pd、qm在同一条直线上，如图4所示，此时op、aq的长依次表示为t、2t个单位t+2t=10t=综上，符合题意的值分别为，2，36（2010云南红河哈尼族彝族自治州）二次函数的图像如图8所示，请将此图像向右平移1个单位，再向下

15、平移2个单位. （1）画出经过两次平移后所得到的图像，并写出函数的解析式. （2）求经过两次平移后的图像与x轴的交点坐标，指出当x满足什么条件时，函数值大于0？【答案】解：画图如图所示：依题意得： = =平移后图像的解析式为：（2）当y=0时，=0 平移后的图像与x轴交与两点，坐标分别为（，0）和（，0）由图可知，当x时，二次函数的函数值大于0.37（2010云南楚雄）已知：如图，抛物线与轴相交于两点a(1，0)，b(3，0).与轴相较于点c（0，3）（1）求抛物线的函数关系式；（2）若点d（）是抛物线上一点，请求出的值，并求处此时abd 的面积【答案】解：（1）由题意可知 解得所以抛物线的函

16、数关系式为（2）把d（）代人函数解析式中，得所以38（2010湖北随州）已知抛物线顶点为c（1，1）且过原点o.过抛物线上一点p（x，y）向直线作垂线，垂足为m，连fm（如图）.（1）求字母a，b，c的值；（2）在直线x1上有一点，求以pm为底边的等腰三角形pfm的p点的坐标，并证明此时pfm为正三角形；（3）对抛物线上任意一点p，是否总存在一点n（1，t），使pmpn恒成立，若存在请求出t值，若不存在请说明理由.【答案】（1）a1，b2，c0（2）过p作直线x=1的垂线，可求p的纵坐标为，横坐标为.此时，mpmfpf1，故mpf为正三角形.（3）不存在.因为当t，x1时，pm与pn不可能相等

17、，同理，当t，x1时，pm与pn不可能相等.39（2010河南）在平面直角坐标系中，已知抛物线经过a(4，0)，b(0，一4)，c(2，0)三点.(1)求抛物线的解析式；(2)若点m为第三象限内抛物线上一动点，点m的横坐标为m，amb的面积为s.求s关于m的函数关系式，并求出s的最大值； (3)若点p是抛物线上的动点，点q是直线y=x上的动点，判断有几个位置能使以点p、q、b、0为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的点q的坐标.【答案】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c(a0)，则有 解得 抛物线的解析式y=x2+x4 （2）过点m作mdx轴于点d.设m点的坐标为（m，n）. 则

18、ad=m+4，md=n，n=m2m4 . s = samd+s梯形dmbosabo = ( m+4) (n)(n4) (m) 44 = 2n-2m-8 = 2(m2m4) -2m-8 = m2-4m (4 m 0)s最大值 = 4 （3）满足题意的q点的坐标有四个，分别是：（-4 ，4 ），（4 ，-4），（-2+，2），（-2，2）40（2010四川乐山）如图(13.1)，抛物线yx2+bx+c与x轴交于a，b两点，与y轴交于点c(0，2)，连接ac，若tanoac2(1)求抛物线对应的二次函数的解析式；(2)在抛物线的对称轴l上是否存在点p，使apc90，若存在，求出点p的坐标；若不存在，

19、请说明理由；(3)如图(13.2)所示，连接bc，m是线段bc上(不与b、c重合)的一个动点，过点m作直线ll，交抛物线于点n，连接cn、bn，设点m的横坐标为t当t为何值时，bcn的面积最大？最大面积为多少？【答案】解：（1）抛物线y=x2bxc过点c(0,2). x=2又tanoac=2, oa=1,即a(1,0).又点a在抛物线y=x2bx2上. 0=12b12,b=3抛物线对应的二次函数的解析式为y=x23x2（2）存在过点c作对称轴l的垂线,垂足为d,如图所示,x=.ae=oe-oa=-1=,apc=90,tanpae= tancpd,即，解得pe=或pe=，点p的坐标为（，）或（，

20、）。（备注：可以用勾股定理或相似解答）（3）如图，易得直线bc的解析式为：y=-x2，点m是直线l和线段bc的交点，m点的坐标为（t，-t+2）(0t2)mn=-t+2-(t23t2)=- t22tsbcm= smnc+smnb=mnt+mn(2-t)=mn(t+2-t)=mn=- t22t(0t2),sbcn=- t22t=-(t-1)2+1当t=1时，sbcn的最大值为1。41（2010江苏徐州）如图，已知二次函数y=的图象与y轴交于点a，与x轴 交于b、c两点，其对称轴与x轴交于点d，连接ac 全品中考网 (1)点a的坐标为_ ，点c的坐标为_ ； (2)线段ac上是否存在点e，使得ed

21、c为等腰三角形?若存在，求出所有符合条件的点e的坐标；若不存在，请说明理由； (3)点p为x轴上方的抛物线上的一个动点，连接pa、pc，若所得pac的面积为s，则s取何值时，相应的点p有且只有2个?【答案】42（2010云南昆明）在平面直角坐标系中，抛物线经过o（0，0）、a（4，0）、b（3，）三点.（1）求此抛物线的解析式；（2）以oa的中点m为圆心，om长为半径作m，在（1）中的抛物线上是否存在这样的点p，过点p作m的切线l ，且l与x轴的夹角为30，若存在，请求出此时点p的坐标；若不存在，请说明理由.（注意：本题中的结果可保留根号） 【答案】解：（1）设抛物线的解析式为： 由题意得：

22、解得： 抛物线的解析式为： （2）存在 l抛物线的顶点坐标是，作抛物线和m（如图），设满足条件的切线 l 与 x 轴交于点b，与m相切于点c连接mc，过c作cd x 轴于d mc = om = 2, cbm = 30, cmbcbcm = 90 ，bmc = 60 ，bm = 2cm = 4 , b (-2, 0) 在rtcdm中，dcm = cdm - cmd = 30dm = 1, cd = = c (1, )设切线 l 的解析式为:，点b、c在 l 上，可得： 解得： 切线bc的解析式为：点p为抛物线与切线的交点由 解得： 点p的坐标为：， 抛物线的对称轴是直线此抛物线、m都与直线成轴对

23、称图形于是作切线 l 关于直线的对称直线 l(如图)得到b、c关于直线的对称点b1、c1l满足题中要求，由对称性，得到p1、p2关于直线的对称点： ，即为所求的点.这样的点p共有4个：，43（2010陕西西安）如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过a（1，0），b（3，0），c（0，1）三点。 （1）求该抛物线的表达式； （2）点q在y轴上，点p在抛物线上，要使以点q、p、a、b为顶点的四边形是平行四边形，求所有满足条件的点p的坐标。【答案】解：（1）设该抛物线的表达式为。根据题意，得、解之，得所求抛物线的表达式为 （2）当ab为边时，只要pq/ab，且pq=ab=4即可，又知点q在y轴上，点p

24、的横坐标为4或-4，这时，将合条件的点p有两个，分别记为p1，p2。而当x=4时，此时当ab为对角线时，只要线段pq与线段ab互相平分即可，又知点q在y轴上，且线段ab中点的横坐标为1，点p的横坐标为2，这时，符合条件的点p只有一个，记为p3，而当x=2时，y=-1，此时p3（2，-1）综上，满足条件的点44（2010四川内江）如图，抛物线ymx22mx3m(m0)与x轴交于a、b两点， 与y轴交于c点.（1）请求抛物线顶点m的坐标（用含m的代数式表示），a，b两点的坐标；（2）经探究可知，bcm与abc的面积比不变，试求出这个比值；（3）是否存在使bcm为直角三角形的抛物线？若存在，请求出；

25、如果不存在，请说明理由.xmabcyo【答案】解：（1）ymx22mx3mm(x22x3)m(x1)24m,抛物线顶点m的坐标为（1，4m）2分抛物线ymx22mx3m(m0)与x轴交于a、b两点，当y0时，mx22mx3m0，m0，x22x30，解得x11，x,23，a，b两点的坐标为（1,0）、（3,0）.4分（2）当x0时，y3m，点c的坐标为（0，3m）,sabc|3(1)|3m|6|m|6m，5分过点m作mdx轴于d，则od1，bdobod2，md|4m |4m.xmabcyodnsbcmsbdm s梯形ocmdsobcbddm(ocdm)odoboc24m(3m4m)133m3m，

26、7分 sbcm：sabc12.8分（3）存在使bcm为直角三角形的抛物线. 过点c作cndm于点n，则cmn为rt，cnod1，dnoc3m,mndmdnm,cm2cn2mn21m2， 在rtobc中，bc2ob2oc299m2，在rtbdm中，bm2bd2dm2416m2.如果bcm是rt，且bmc90时，cm2bm2bc2,即1m2416m299m2，解得m,m0，m.存在抛物线yx2x使得bcm是rt;10分如果bcm是rt，且bcm90时，bc2cm2bm2.即99m21m2416m2，解得m1,m0，m1.存在抛物线yx22x3使得bcm是rt; 如果bcm是rt，且cbm90时，b

27、c2bm2cm2.即99m2416m21m2，整理得m2，此方程无解,以cbm为直角的直角三角形不存在.（或99m21m2，416m21m2，以cbm为直角的直角三角形不存在.）综上的所述，存在抛物线yx2x和yx22x3使得bcm是rt.45（2010广东东莞）已知二次函数的图象如图所示，它与轴的一个交点坐标为（1，0），与轴的交点坐标为（0，3）求出b,c的值，并写出此时二次函数的解析式；根据图象，写出函数值y为正数时，自变量x的取值范围xy31o【答案】根据题意，得：，解得，所以抛物线的解析式为令，解得；根据图象可得当函数值y为正数时，自变量x的取值范围是1346（2010 福建三明）已

28、知抛物线经过点b（2，0）和点c（0，8），且它的对称轴是直线。 （1）求抛物线与轴的另一交点a坐标；（2分） （2）求此抛物线的解析式；（3分） （3）连结ac、bc，若点e是线段ab上的一个动点（与点a、点b）不重合，过点e作efac交bc于点f，连结ce，设ae的长为m，cef的面积为s，求s与m之间的函数关系式；（4）在（3）的基础上试说明s是否存在最大值，若存在，请求出s的最大值，并求出此时点e的坐标，判断此时bce的形状；若不存在，请说明理由。【答案】（1）抛物线的对称轴是直线由对称性可得a点的坐标为（-6，0）2分 （2）点c（0，8）在抛物线的图象上将a（-6，0）、b（2，0

29、）代入表达式得解得 所求解析式为也可用5分 （3）依题意，ae=m，则be=8-moa=6，oc=8，ac=10ef/ac 过点f作fgab，垂足为g，则10分 （4）存在.理由如下：当m=4时，s有最大值，s最大值=812分m=4点e的坐标为（-2，0）为等腰三角形14分47（2010湖北襄樊）如图7，四边形abcd是平行四边形，ab=4，ob=2，抛物线过a、b、c三点，与x轴交于另一点d一动点p以每秒1个单位长度的速度从b点出发沿ba向点a运动，运动到点a停止，同时一动点q从点d出发，以每秒3个单位长度的速度沿dc向点c运动，与点p同时停止（1）求抛物线的解析式；（2）若抛物线的对称轴与

30、ab交于点e，与x轴交于点f，当点p运动时间t为何值时，四边形poqe是等腰梯形？（3）当t为何值时，以p、b、o为顶点的三角形与以点q、b、o为顶点的三角形相似？图7【答案】解：（1）四边形abcd是平行四边形，oc=ab=4a（4，2），b（0，2），c（4，0）抛物线y=ax2+bx+c过点b，c=2由题意，有 解得所求抛物线的解析式为（2）将抛物线的解析式配方，得抛物线的对称轴为x=2d（8，0），e（2，2），f（2，0）欲使四边形poqe为等腰梯形，则有op=qe即bp=fqt=63t，即t= （3）欲使以p、b、o为顶点的三角形与以点q、b、o为顶点的三角形相似，pbo=boq=

31、90，有或，即pb=oq或ob2=pbqo若p、q在y轴的同侧当pb=oq时，t=83t，t=2当ob2=pbqo时，t(83t)=4，即3t28t+4=0解得若p、q在y轴的异侧当pb=oq时，3t8=t，t=4当ob2=pbqo时，t(3t8)=4，即3t28t4=0解得t=0故舍去，t=当t=2或t=或t=4或t=秒时，以p、b、o为顶点的三角形与以点q、b、o为顶点的三角形相似48（2010 山东东营） 如图，已知二次函数的图象与坐标轴交于点a（-1， 0）和点b（0，-5）（1）求该二次函数的解析式；（2）已知该函数图象的对称轴上存在一点p，使得abp的周长最小请求出点p的坐标xoa

32、（第23题图）by【答案】解：（1）根据题意，得2分解得 3分xoa（第23题图）bycpx=2二次函数的表达式为4分（2）令y=0，得二次函数的图象与x轴 的另一个交点坐标c（5, 0）.5分由于p是对称轴上一点，连结ab，由于，要使abp的周长最小，只要最小.6分由于点a与点c关于对称轴对称，连结bc交对称轴于点p，则= bp+pc =bc，根据两点之间，线段最短，可得的最小值为bc.因而bc与对称轴的交点p就是所求的点.8分设直线bc的解析式为，根据题意，可得解得所以直线bc的解析式为.9分因此直线bc与对称轴的交点坐标是方程组的解，解得所求的点p的坐标为（2，-3）.10分49（201

33、0 四川绵阳）如图，抛物线y = ax2 + bx + 4与x轴的两个交点分别为a（4，0）、b（2，0），与y轴交于点c，顶点为de（1，2）为线段bc的中点，bc的垂直平分线与x轴、y轴分别交于f、g（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点d的坐标；（2）在直线ef上求一点h，使cdh的周长最小，并求出最小周长；（3）若点k在x轴上方的抛物线上运动，当k运动到什么位置时，efk的面积最大？并求出最大面积cedgaxyobf【答案】（1）由题意，得 解得，b =1所以抛物线的解析式为，顶点d的坐标为（1，）（2）设抛物线的对称轴与x轴交于点m因为ef垂直平分bc，即c关于直线eg的对称点为b，

34、连结bd交于ef于一点，则这一点为所求点h，使dh + ch最小，即最小为dh + ch = dh + hb = bd = 而 cdh的周长最小值为cd + dr + ch =设直线bd的解析式为y = k1x + b，则 解得 ，b1 = 3所以直线bd的解析式为y =x + 3由于bc = 2，ce = bc2 =，rtcegcob，得 ce : co = cg : cb，所以 cg = 2.5，go = 1.5g（0，1.5）同理可求得直线ef的解析式为y =x +联立直线bd与ef的方程，解得使cdh的周长最小的点h（，）（3）设k（t，），xftxe过k作x轴的垂线交ef于n则 kn

35、 = ykyn =（t +）=所以 sefk = skfn + skne =kn（t + 3）+kn（1t）= 2kn = t23t + 5 =（t +）2 +即当t =时，efk的面积最大，最大面积为，此时k（，）50（2010 湖北孝感） 如图，已知二次函数图像的顶点坐标为（2，0），直线与二次函数的图像交于a、b两点，其中点a在y轴上。 （1）二次函数的解析式为y= ；（3分） （2）证明点不在（1）中所求的二次函数的图像上；（3分） （3）若c为线段ab的中点，过c点作轴于e点，ce与二次函数的图像交于d点。 y轴上存在点k，使以k、a、d、c为顶点的四边形是平行四边形，则k点的坐标是

36、 ；（2分） 二次函数的图像上是否存在点p，使得？若存在，求出p点坐标；若不存在，请说明理由。（4分）【答案】（1）解：3分 （2）证明：设点的图像上，则有：4分整理得原方程无解5分的图象上6分说明：由从而判断点不在二次函数图像上的同样给分。 （3）解：；8分二次函数的图象上存在点p，使得如图，过点b作轴于f，则bf/ce/ao，又c为ab中点，9分设，由题意有：10分解得11分 12分说明：在求出得到poe的边oe上的高为16，即点p的纵坐标为16，然后由可求出p点坐标。51（2010 江苏镇江）运算求解 已知二次函数的图象c1与x轴有且只有一个公共点. （1）求c1的顶点坐标； （2）将c

37、1向下平移若干个单位后，得抛物线c2，如果c2与x轴的一个交点为a（3，0），求c2的函数关系式，并求c2与x轴的另一个交点坐标； （3）若的取值范围.【答案】（1） （1分）轴有且只有一个公共点，顶点的纵坐标为0.c1的顶点坐标为（1，0） （2分） （2）设c2的函数关系式为把a（3，0）代入上式得c2的函数关系式为 （3分）抛物线的对称轴为轴的一个交点为a（3，0），由对称性可知，它与x轴的另一个交点坐标为（1，0）. （4分） （3）当的增大而增大，当 （5分）52(2010江苏苏州) (本题满分9分)如图，以a为顶点的抛物线与y轴交于点b已知a、b两点的坐标分别为(3，0)、(0，4

38、) (1)求抛物线的解析式； (2)设m(m，n)是抛物线上的一点(m、n为正整数)，且它位于对称轴的右侧若以m、b、o、a为顶点的四边形四条边的长度是四个连续的正整数，求点m的坐标； (3)在(2)的条件下，试问：对于抛物线对称轴上的任意一点p，pa2+pb2+pm228是否总成立?请说明理由【答案】53（2010广东广州，21，12分）已知抛物线yx22x2（1）该抛物线的对称轴是 ，顶点坐标 ；（2）选取适当的数据填入下表，并在图7的直角坐标系内描点画出该抛物线的图象；xy（3）若该抛物线上两点a（x1，y1），b（x2，y2）的横坐标满足x1x21，试比较y1与y2的大小【答案】解：（

39、1）x1；（1，3）（2）x10123y12321（3）因为在对称轴x1右侧，y随x的增大而减小，又x1x21，所以y1y254（10湖南益阳）如图，在平面直角坐标系中，已知a、b、c三点的坐标分别为a（2，0），b（6，0），c（0，3）.(1)求经过a、b、c三点的抛物线的解析式；(2)过点作cd平行于轴交抛物线于点d，写出d点的坐标，并求ad、bc的交点e的坐标；(3)若抛物线的顶点为，连结c、d，判断四边形cedp的形状，并说明理由.【答案】解： 由于抛物线经过点，可设抛物线的解析式为，则，解得抛物线的解析式为4分 的坐标为 5分直线的解析式为直线的解析式为由求得交点的坐标为 8分连结

40、交于，的坐标为又，且四边形是菱形12分55（2010江苏南京）（7分）已知点a（1，1）在二次函数图像上。（1）用含的代数式表示；（2）如果该二次函数的图像与轴只有一个交点，求这个二次函数的图像的顶点坐标。【答案】56（2010江苏盐城）（本题满分12分）已知：函数y=ax2+x+1的图象与x轴只有一个公共点（1）求这个函数关系式；（2）如图所示，设二次函数y=ax2+x+1图象的顶点为b，与y轴的交点为a，p为图象上的一点，若以线段pb为直径的圆与直线ab相切于点b，求p点的坐标；（3）在(2)中，若圆与x轴另一交点关于直线pb的对称点为m，试探索点m是否在抛物线y=ax2+x+1上，若在抛

41、物线上，求出m点的坐标；若不在，请说明理由axyob【答案】解：（1）当a = 0时，y = x+1，图象与x轴只有一个公共点(1分)当a0时，=1- 4a=0，a = ，此时，图象与x轴只有一个公共点函数的解析式为：y=x+1 或y=x2+x+1（3分） （2）设p为二次函数图象上的一点，过点p作pcx 轴于点c是二次函数，由（1）知该函数关系式为：y=x2+x+1，则顶点为b（-2，0），图象与y轴的交点坐标为a（0，1）（4分）以pb为直径的圆与直线ab相切于点b pbab 则pbc=bao rtpcbrtboa ，故pc=2bc，（5分）设p点的坐标为(x，y)，abo是锐角，pba是

42、直角，pbo是钝角，x-2bc=-2-x，pc=-4-2x，即y=-4-2x， p点的坐标为(x，-4-2x)点p在二次函数y=x2+x+1的图象上，-4-2x=x2+x+1（6分）解之得：x1=-2，x2=-10x-2 x=-10，p点的坐标为：(-10，16)（7分）（3）点m不在抛物线上（8分）由（2）知：c为圆与x 轴的另一交点，连接cm，cm与直线pb的交点为q，过点m作x轴的垂线，垂足为d，取cd的中点e，连接qe，则cmpb，且cq=mq qemd，qe=md，qececmpb，qece pcx 轴 qce=eqb=cpbtanqce= taneqb= tancpb =ce=2q

43、e=22be=4be，又cb=8，故be=，qe=q点的坐标为(-，)可求得m点的坐标为(，)（11分）=c点关于直线pb的对称点m不在抛物线上（12分）(其它解法，仿此得分)1-21axyobpmcqed57（2010辽宁丹东市）如图，平面直角坐标系中有一直角梯形omnh，点h的坐标为（8，0），点n的坐标为（6，4）（1）画出直角梯形omnh绕点o旋转180的图形oabc，并写出顶点a，b，c的坐标（点m的对应点为a， 点n的对应点为b， 点h的对应点为c）；（2）求出过a，b，c三点的抛物线的表达式； （3）截取ce=of=ag=m，且e，f，g分别在线段co，oa，ab上，求四边形be

44、fg的面积s与m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；面积s是否存在最小值?若存在，请求出这个最小值；若不存在，请说明理由； （4）在（3）的情况下，四边形befg是否存在邻边相等的情况，若存在，请直接写出此时m的值，并指出相等的邻边；若不存在，说明理由第26题图 【答案】（1） 利用中心对称性质，画出梯形oabc 1分a，b，c三点与m，n，h分别关于点o中心对称，a（0，4），b（6，4），c（8，0） 3分（写错一个点的坐标扣1分）omnhacefdb8(6，4)xy（2）设过a，b，c三点的抛物线关系式为，抛物线过点a（0，4）， 则抛物线关系式为 4分将b（6，4）， c（8，

45、0）两点坐标代入关系式，得5分 解得6分所求抛物线关系式为：7分（3）oa=4，oc=8，af=4m，oe=8m 8分 oa（ab+oc）afagoeofceoa （ 04） 10分 当时，s的取最小值又0m4，不存在m值，使s的取得最小值 12分（4）当时，gb=gf，当时，be=bg14分58（2010山东济宁）如图，在平面直角坐标系中，顶点为（，）的抛物线交轴于点，交轴于，两点（点在点的左侧）. 已知点坐标为（，）.（1）求此抛物线的解析式；（2）过点作线段的垂线交抛物线于点， 如果以点为圆心的圆与直线相切，请判断抛物线的对称轴与有怎样的位置关系，并给出证明；（3）已知点是抛物线上的一个

46、动点，且位于，两点之间，问：当点运动到什么位置时，的面积最大？并求出此时点的坐标和的最大面积.(第23题)【答案】（1）解：设抛物线为.抛物线经过点（0，3），.抛物线为.3分 (2) 答：与相交. 4分证明：当时，. 为（2，0），为（6，0）.设与相切于点，连接，则.，.又，.6分抛物线的对称轴为，点到的距离为2.抛物线的对称轴与相交. 7分(3) 解：如图，过点作平行于轴的直线交于点.可求出的解析式为.8分设点的坐标为（，），则点的坐标为（，）. . , 当时，的面积最大为. 此时，点的坐标为（3，）. 10分(第23题)59（2010甘肃兰州）（本题满分11分）如图1，已知矩形abcd的顶点a与点o重合，ad、ab分别在x轴、y轴上，且ad=2，ab=3；抛物线经过坐