幂的乘方与积的乘方点拨

1、精品资源幕的乘方与积的乘方【学习目标】1 .经历探索哥的乘方与积的乘方的运算性质的过程，进一步体会哥的意义，发展推理 能力和有条理的表达能力.2 . 了解哥的乘方与积的乘方的运算性质，并能解决一些实际问题.【基础知识精讲】1 .哥的乘方的公式及法则(1)公式：(am) n=amn (m、n都是正整数)(am) n p=amnp (m、n、p 都是正整数)(2)法则哥的乘方，底数不变，指数相乘.2 .积的乘方的公式和法则(1)公式(ab) n=an - bn (n 是正整数)(abc) n = an - bn - cn (n 是正整数)(2)法则积的乘方等于每一个因数乘方的积.上述两个公式，在很

2、多情况下都会用到逆运算，即：amn= ( am) n= ( an) m ( m、n为正整数)an - bn= (ab) n (n 是正整数)如：912= ( 93) 4= ( 94) 3310x 510= ( 3x 5) 10= 15103 .球的体积与半径的倍数关系(1)如果一个球的半径扩大 n倍，则它的体积扩大 n3倍.(2)如果甲球的半径是乙球的 n倍，那么甲球的体积是乙球的n3倍.【学习方法指导】例 1计算：(1) (a4) 3+m(2) ( 4xy2) 2点拨：(1)用哥的乘方，(2)先用积的乘方的公式， 再利用哥的乘方的公式化简到最后.解：(1) (a4) 3+m=a4x (3+m

3、) =a12+4m别忘打括号！(2) ( 4xy2) 2= (4) 2x2 (y2) 2 = 16x2y4注意：哥的乘方的指数中若有多项式，指数相乘时要打括号.例2计算(1) (3x 104) 4(2) ( 3a3) 2 a3+ (a) 2 - a7- (5a3) 3点拨：(1)底数是用科学记数法表示，结果也可用科学记数法表示，注意格式.(2)是混合运算，先进行乘方运算，再进行乘法运算，最后进行加减运算，注意运算顺序.解：(1) (3x 104) 4= 34x ( 104) 4= 81 x 1016= 8.1 x 1017 (一定要注意科学记数法的写法)(2) (3a3) 2 a3+ ( a2

4、) - a7- ( 5a3) 3=(-3) 2 (a3) 2 a3+ (-a9) - 53 (a3) 3= 9a6 - a3- a9 125a9= 9a9-a9- 125a99=-117a9例 3计算：(x y) 3 (y x) 2 (x y) 4.点拨：此题中的哥的底数不是完全相同，所以不能完全利用同底数哥的乘法，但x-y与yx是互为相反数，若将x y化为(yx)的形式，或将yx化为(x-y)的形式， 再利用积的乘方及同底数哥的乘方公式即可计算.注意：计算过程中，始终将 x- y或yx看作整体进行计算.解：(x y) 3 (y x) 2 (x-y) 4=(x-y) 3 - (x-y) 4 (

5、 x-y)=(x-y) =(x-y) 或：(x-y) =(x-y)7 - (x-y)93 (y-x)7 - (y-x)2 - (x-y) 42欢下载=：-(y-x) 7 - (y-x) 2=(-1) 7 =-(y-x)(y-x)97 - (y-x)9虽然形式不同，但实质是一致的,说明：i .两种方法的结果(x-y) 9与一(y-x)这两种结果均可作为最后答案.n .当底数是多项式时，哥的形式可作为最后结果，不必展开.例4计算(1) ( 0.25) 11x 411(2) ( 0.125) 200x 8201点拨：将积的乘方公式逆用可有 an - bn= (ab) n,即若有指数相同的哥相乘，则可

6、将 底数相乘，相同的指数作为共同的指数.若有指数虽不相同，但相差较小，且底数相乘后可简化运算的情况，可利用同底数哥乘法公式逆运算am+n = am an,将指数作适当调整，再利用“积的乘方公式的逆计算”进行简化运算.解：(1) ( 0.25) 11x411= ( 0.25x4) 11= ( 1) 11=- 1(2) (0.125) 200x 8201= ( 0.125) 200x 8200+1= ( 0.125) 200x 8200x 8= ( 0.125 x 8 ) 200 x 8= ( 1) 200 x 8= 1 x 8 =8例 5已知：644x 83= 2x,求 x.点拨：由于x是方程右

7、边部分2的指数，只要将方程左边部分化为底数为2的哥的形式即可.解：644x 83= ( 26) 4x ( 23) 3 = 224x 29 = 233644x 83= 2x, 1- 233 = 2x,x=33.【拓展训练】迁移运用本节课所学知识解答下列题目.1 .由本节知识所得出的结论：若n为正整数，则(x-y) 2n= (y-x) 2n(x-y) 2n+1 = - ( y-x) 2n+12,若m为正整数，且x2m=3,求(3x3m) 2-13 (x2) 2m的值.点拨：将x2m看作一个整体，利用公式将题目化为关于x2m的形式，便于计算.解：(3x3m) 2- 13 (x2) 2m= 9x6m13x4m= 9 (x2m) 3- 13 ( x2m) 2 = 9 x 33 13 x 32= 1263.比较 3555, 4444, 5333 的大小.点拨：比较哥的大小，可将它们转化为底数相同的形式，比较指数，或将指数化为相同再比较底数.对于 3555, 4444, 5333的指数都是111的倍数，利用哥的乘方的逆运算，将指数 都变为111,比较底数的大小.底数大的，哥也大.解：: 3555= 3111x5= ( 35) 111= 2431114444 = 4111x4= ( 44) 111 = 2561115333 = 5111x3=(53)111= 125111又.