抛物线与切线问题

1、数学本质是试题之源由2014年浙江省高考数学（理科）试题21想到的嘉善高级中学钱卫红引言：任何事物的存在都不是孤立的，它必与其它事物有着内在的必然联系.课程标准指出，高中数学课程应返璞归真，努力揭示数学概念、法则、 结论的发展过程和本质.浙江高考考试说明也规定，高考要考查考生对数学 思想方法和数学本质的理解水平.2014年浙江省高考数学（理科）试题21正是命 自解析几何最本质的地方.2 22014年浙江省高考数学（理科）试题21:如图，设椭圆c：笃占=1 （ a 0，a bb aO ），动直线I与椭圆C只有一个公共点P，且点P在第一象限.（I）已知直线I的斜率为k，用a,b,k表示点P的坐标；

2、（n）若过原点o的直线i1与i垂直，证明：点P到直线i1的距离的最大值为a - b .据了解，很多考生走出考场时就直呼：做了这么多的圆锥曲线题算是白做 了.问其原因，说平时习惯圆锥曲线的题目，第一小题难度极低，求解曲线方程 之类的；第二小题联立方程、韦达定理之类的套路.而此题从头到尾几乎全是字 母，这是考生不曾料到的.很多考生一看题就心里发怵，不敢做.即使做了，也 没把握是否正确，解出第一小题便不敢尝试第二小题.一、试题分析本题主要考查椭圆的方程、点到直线距离、直线与椭圆的位置关系等基础知 识，同时考查解析几何的基本思想方法、基本不等式应用等综合解题能力.满分 15分.本题命题依据是课程标准对

3、直线和圆锥曲线的要求，能用坐标法解决一些与圆锥曲线有关的简单几何问题（直线与圆锥曲线的位置关系）和实际问题； 及对不等式的要求，会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.二、本题第（I）问的解法解法1:（命题组给出的解答）y = kx +m设直线I的方程为y =kx +m ( k cO )，由Jx2 y2，消去y得孑+厂12222 2 2 2222(b 亠a k )x 亠2a kmx 亠a kmx 亠a m a b 0 由于I与C只有一个公共点，故几=0，即b2_m2 a2k2=0 ,解得点P的坐标为(-2a km.2 2 2b a kb2mb2 a2k22. .2又点P在第一象限，故点P的坐

4、标为解法1是解析几何最本质的方法，用代数的方法联立方程，解方程组即可然 而因解题过程中字母多，较多考生有解题思路，知道设直线方程和椭圆方程联立 解方程组，却没信心解下去即便解出了答案，也不自信是否正确，于是很多学 生选择了放弃第(U)问.通性通法解题是根本，但对学有余力的学生可以更灵活地选择解题思路.如果把椭圆变为“圆”，过圆x2 y2 = r2上一点P(xo,yo)的切线方程是xox yoy =r2，学生大多很熟悉那么能否根据类比得出过椭圆上一点P(xo，y。)的切线方程就是2证法一、对椭圆方程求导 今-锣，得一专所以切线斜率 a ba yb2Xoa yo2 2证法二、设椭圆的方程为 令+占

5、=1 ( ao,bo )，点P(xo，y)。则经仿射变a brxx=换ry，得圆 C: X2+y2 =r 2 ( r no )，点 P (-rx ,-ry).因为圆 C上过任一点 ya bl. b p(竽)的切线方程是于晋逆用上仿射变换化为翠曽刊，正 是椭圆在对应点P(xo,yo)的切线.因此，过椭圆上一点 P(xo, yo)的切线方程就是有了上述结论，便可得解法2:由题意，点P是切点，设P（xo，yo），贝U切线I ：X0X 智=1 a b.2 2 2所以k 一聖，又 笃乌 J，且点P在第一象限，解方程组得 a y0a bP(-2k.b2 a2k2b2 b2a2k2-5 -不同的人对数学本质

6、的理解不同. 笔者对数学本质的理解是，数学知识的内 在联系、数学规律的形成过程、数学思想方法的提炼、数学理性精神的体验等.通 性通法解题是根本，对学有余力的学生还可以适当涉入高等代数， 开阔学生解题 思路.三、本题第（U）问的解法由于直线li过原点0且与I垂直，故直线h的方程为x k0，所以点P到直a2k2 2 2线li的距离d = b a kb2k, 1 k2a2k2I，整理得d二2 .2a b2 ，b2 a2 a2k22k2因为a2k2a2 -b2a2 b22ab，所以a b兰=:=a b .i.2. 2 . 2. 2 .b2*b2 +a2 +2abb a a k 2k2当且仅当k2b时等

7、号成立.a所以，点P到直线li的距离的最大值为a -b .事实上，第（U）问涉及到的考点也不难.（1）互相垂直的两直线斜率的关 系；（2）点到直线的距离公式；（3）基本不等式.四、本题评分细则（1） 第一小题中只要有直线方程与椭圆联立方程的意识就给2分，P点横纵 坐标各2分，第一小题6分；（2）第二小题中只要设I1直线方程就给2分，至于直线方程有没有设对无所谓； 看见点到直线的距离公式也给 2分，至于公式中有没有写错或加不加绝对值无所谓；把点的坐标代入正确给3分，有没有把表达式整理都没关系；最后有 k ba的结果或等价形式都给2分评分标准原则之一是：“多余废话，视而不见”！ 从评分标准可以看出

8、：本题注重的是解题思路，是考生的思维第二小题有7分的公式分，第一小题如果能解出 P点坐标，顺势写出P到li的距离，拿13分 是轻而易举的.遗憾的是，也许是平时阅卷老师评分过于严格，很多学生不敢亦 或不屑在试卷上写思路、想法及联想到的公式等.笔者08年去参加高考阅卷时，一位阅卷组长的话对我很有启发，以至于今 天还印象深刻.他说：应当鼓励考生有思想！在高考两个小时内他的想法没有解 决这个问题，也许再给两个小时他就能解出来了呢就如从杭州到上海，如果我 买错了票坐到了金华，不是还可以再从金华到上海吗？五、从直线 Xox yo y = r 2和圆x2 + y2 =r2 (r 0)的关系想开去1 切线我们

9、知道，当点Po(xo, yo)为圆x2 y r2 (r 0)上的一点，则直线 xox yoy =r2是该圆过点Po的切线.上文也已证得，若点Po(x,yo)为椭圆2 2笃再=1上的一点，则该椭圆过点Po的切线方程是彎欝=1 .更进一步，若 a ba b2 2点Po(xo,yo)为双曲线 笃-笃1上的一点，则该双曲线过点Po的切线方程是a b弩一马1 若点Po (xo, yo)为抛物线x2 =2py(p o)上一点，则该抛物线过点Po的 a b切线方程是xox二p(yo y).2.切点弦所在的直线我们还知道，若点Po(xo,yo)为圆x2 y r2 (r o)外一点，则该圆过点Po有两条切线，x

10、ox，yoy=r2就是这两条切线的切点所在的直线方程类比圆的这条性质，我们一样可以证得：2 2(1)若点Po(xo, yo)为椭圆笃 笃=1外一点，则该椭圆过点Fo的两条切线的 a b切点所在直线方程就是xo2x yo2y =1.a b2(2)若点Po(xo,yo)为双曲线与a2告=1两支外一点，且该双曲线过点bP)有两条切线，则两切点所在直线方程就是 答一豊=1 a b(3)若点P0(xo，y。)为抛物线x2=2py(p .0)外一点，则该抛物线过点P。的两条切线的切点弦所在直线方程就是x0x二p(y0 y).3若点Po(xo,yo)为圆x2 y2 =r 2 (r . 0)内一点(F0不与圆心重合)呢？过点P(X0，y。)作圆x2 yr2 (r .0)的动弦AB，设过点A、B的两切线交于 点E(m,n) 由圆的切点弦方程知 AB : mx ny = r2，因为弦AB过点P0(x0, y0)，所以 有mx0 ny0 =r2，即两切线的交点在直线xx *。丫=2上.可以证明，这个结论在 椭圆、双曲