5.椭圆共轭直径的基本定理及应用

1、中国高考数学母题一千题(第0001号)愿与您共建真实的中国高考数学母题(杨培明椭圆共轭直径的基本定理及应用由椭圆共轭直径的基本定理生成的高考试题 连结椭圆上任意两点的线段叫弦,过椭圆中心的弦叫直径,如图,平行于直径cd的弦的中点的轨迹ab和直径cd叫互为共扼直径;由共扼直径的基本定理及其两个推论已生成一类高考试题.母题结构:(基本定理)己知ab、cd为椭圆g:+=1(ab0)的一对共扼直径,其斜率分别为kab、kcd,则kabkcd=-.母题解析:设efcd,e(x1,y1),f(x2,y2),ef的中点p(x0,y0),直线ef:y=kx+t,其中,k=kcd,将y

2、=kx+t代入椭圆g的方程得:(a2k2+b2)x2+2a2ktx+a2(t2-b2)=0x0=(x1+x2)=-y0=kx0+t=-+t=点p的轨迹为一条直线(记为ab):y=-xkab=-kabk=-kabkcd=-. 由基本定理可得如下两个推论: 推论(中点性质):若ab为椭圆g:+=1(ab0)的任意一条弦,p为ab的中点,o为椭圆g的中心,则kabkop=-(过点o且平行于ab的直径与op所在的直径是一对共扼直径); 推论(直径性质):若bc为椭圆g:+=1(ab0)的任意一条直径,a为椭圆g上的任意一点,则kabkac=-(取ab中点p,则opac,由kabkop=-kabkac=

3、-). 1.弦的中点轨迹 子题类型:(2005年上海春招试题)()求右焦点坐标是(2,0),且经过点(-2,-)的椭圆的标准方程;()已知椭圆c的方程是+=1(ab0).设斜率为k的直线l交椭圆c于a、b两点,ab的中点为m.证明:当直线l平行移动时,动点m在一条过原点的定直线上;()利用()所揭示的椭圆几何性质,用作图方法找出下面给定椭圆的中心,简要写出作图步骤,并在图中标出椭圆的中心.解析:()设椭圆的标准方程为+=1(ab0),由a2=b2+4,+=1a2=8,b2=4椭圆方程:+=1;()设a(x1,y1),b(x2,y2),m(x0,y0),直线l:y=kx+t, 代入+=1得:(a

4、2k2+b2)x2+2a2ktx+a2(t2-b2)=0x0=(x1+x2)=-y0=kx0+t=-+t=点m在过原点的定直线y=-x上;()如图,作两条平行直线分别交椭圆于a、b和c、d,并分别取ab、cd的中点m、n,连接直线mn;又作两条平行直线(与前两条直线不平行)分别交椭圆于a1、b1和c1、d1,并分别取a1b1、c1d1的中点m1、n1,连接直线m1n1,那么直线mn和m1n1的交点o即为椭圆中心.点评:实质上,共扼直径的定义建立在如下事实之上:椭圆平行弦的中点轨迹是过原点的直线;该结论在双曲线中也成立,所以,类似的可定义双曲线的共扼直径,并可得到其共扼直径的基本定理及其两个推论

5、. 2.弦的中点性质 子题类型:(2010年上海高考试题)已知椭圆的方程为+=1(ab0),点p的坐标为(-a,b).()若直角坐标平面上的点m、a(0,-b)、b(a,0)满足=(+),求点m的坐标;()设直线l1:y=k1x+p交椭圆于c、d两点,交直线l2:y=k2x于点e.若k1k2=-,证明:e为cd的中点;()对于椭圆上的点q(acos,bsin)(0),如果椭圆上存在不同的两个交点p1、p2满足+=,写出求作点p1、p2的步骤,并求出使p1、p2存在的的取值范围.解析:()由=(+)m是ab的中点m(,-);()设c(x1,y1)、d(x2,y2),cd的中点m(x0,y0),由

6、y=k1x+p与+=1得:(a2k12+b2)x2+2a2k1px+a2(p2-a2)=0x0=(x1+x2)=-y0=k1x0+p=-+p=点m在直线y=-x,即直线l2:y=k2x上e为cd的中点;()求作点p1、p2的步骤:求出pq的中点e(-,),并求出直线oe的斜率k2=-;由+=知e为cd的中点,根据()可得cd的斜率k1=-=直线cd:y-=(x+);将直线cd与椭圆的方程联立的解即为点p1、p2的坐标;欲使p1、p2存在点e在椭圆内(1-cos)2+(1+sin)24sin(-)b0)的左、右两个焦点.()若椭圆c上的点a(1,)到f1,f2两点的距离之和等于4,写出椭圆c的方

7、程;()设点k是()中所得椭圆上的动点,求线段f1k的中点的轨迹方程;()已知椭圆具有性质:若m、n是椭圆c上关于原点对称的两个点,点p是椭圆上任意一点,当直线pm、pn的斜率都存在,并记为kpm、kpn时,那么kpmkpn是与点p位置无关的定值,试对双曲线-=1,写出具有类似特性的性质,并加以证明.解析:()由2a=4a=2;又由点a在椭圆c上b2=3椭圆c:+=1;()由f1(-1,0),设线段f1k的中点p(x,y),则k(2x+1,2y)+=1,即为所求的轨迹方程;()类似的性质为:若m、n是双曲线:-=1上关于原点对称的两个点,点p是双曲线上任意一点,当直线pm、pn的斜率都存在,并

8、记为kpm、kpn时，那么kpmkpn是与点p位置无关的定值;证明如下:设点m(m,n),点p(x,y),则点n(-m,-n),其中,-=1,kpmkpn=;由y2=x2-b2,n2=m2-b2y2-n2=(x2-m2)kpmkpn=.点评:推论类似于圆的直径性质:圆上任一点与一直径两端点连线斜率之积=-1;本题指出双曲线中也存在“对偶”性质. 4.子题系列:1.(2000年上海高考试题)已知椭圆c的焦点分别为f1(-2,0)和f2(2,0),长轴长为6,设直y=x+2交椭圆c于a,b两点,求线段ab的中点坐标.2.(2001年上海春招试题)已知椭圆c的方程为x2+=1,点p(a,b)的坐标满

9、足a2+1.过点p的直线l与椭圆交于a、b两点,点q为线段ab的中点.求:()点q的轨迹方程; ()点q的轨迹与坐标轴的交点的个数.3.(2015年课标高考试题)已知椭圆c:+=1(ab0)的离心率为,点(2,)在c上.()求c的方程;()直线l不过原点o且不平行于坐标轴,l与c有两个交点a,b,线段ab的中点为m.证明:直线om的斜率与直线l的斜率的乘积为定值.4.(2013年课标高考试题)平面直角坐标系xoy中,过椭圆m:+=1(ab0)右焦点的直线x+y-=0交m于a,b两点,p为ab的中点,且op的斜率为.()求m的方程;()c,d为m上两点,若四边形acbd的对角线cdab,求四边形

10、acbd面积的最大值.5.(1986年广东高考试题)已知椭圆c的方程为+=1,试确定m的取值范围,使得对于直线y=4x+m,椭圆上有不同的两点关于该直线对称.6.(1992年全国高考试题)已知椭圆+=1(ab0),a、b是椭圆上的两点,线段ab的垂直平分线与x轴相交于点p(x0,0).证明:-x00,求证:papb. 5.子题详解:1.解:设椭圆c:+=1(ab0),则a=3,b2+8=9椭圆c:+y2=1;设线段ab的中点p(t,t+2),由kabkop=-=-t=-中点p(-,).2.解:()设q(x,y),则koqkpq=-2=-22x2+y2-2ax-by=0点q的轨迹方程:2x2+y

11、2-2ax-by=0;()当y=0时,由2x2+y2-2ax-by=0x=0,a;当x=0时,由2x2+y2-2ax-by=0y=0,b;当a=b=0点q的轨迹与坐标轴的交点的个数为1;当a=0,b0,或a0,b=0时,点q的轨迹与坐标轴的交点的个数为2;当ab0点q的轨迹与坐标轴的交点的个数为3.3.解:()由e=,+=1a2=8,b2=4c的方程:+=1;()设直线l:y=kx+m(km0),a(x1,y1),b(x2,y2);将y=kx+m代入+=1得:(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0x1+x2=-y1+y2=k(x1+x2)+2m=m(-,)kom=-kkom=-直线om的

12、斜率与直线l的斜率的乘积为定值=-.4.解:()由m的右焦点是直线x+y-=0与x轴的交点f2(,0)a2-b2=3;又由kabkop=-=a2=6,b2=3m的方程:+=1;()由x1+x2=,x1x2=0|ab|=;设直线cd:y=x+n(-n),c(x3,y3),d(x4,y4),把y=x+n代入+=1得:3x2+4nx+2n2-6=0x3+x4=,x3x4=|cd|=|x3-x4|=四边形acbd的面积s=|ab|cd|=当n=0时,s取得最大值=.5.解:设a、b是椭圆c上关于直线y=4x+m的对称点,且直线ab与直线y=4x+m交于点p(x0,y0),则p为ab的中点,由直线y=4x+m的斜率=4kab=-;由kabkop=-=3y0=3x0,又由y0=4x0+mx0=-m,y0=-3mp(-m,-3m);由点p在椭圆c内3(-m)2+4(-3m)212m(-,).6.解:设ab的中点q(x1,y1),则kpq=kab=-;由kabkoq=-=-x0=x1;由点q(x1,y1)在椭