数列的通用公式与求和的常用方法精讲

1、精品资源数列的通项公式与求和的常用方法精练1 .设 zn=( -_- )n, (n c n ),记 sn= i z2 zi | + i z3 z2 i + + i zn+1 一 zn | ,则 2lim $=.j 二2 .作边长为a的正三角形的内切圆，在这个圆内作新的内接正三角形，在新的正三角 形内再作内切圆，如此继续下去，所有这些圆的周长之和及面积之和分别为 .3.数列an满足ai=2,对于任意的ncn *都有an 0,且(n+1)an2+an an+i 也用2=0,又 知数列bn的通项为bn=2nt+1.(1)求数列an的通项an及它的前n项和sn；(2)求数列bn的前n项和tn；(3)猜

2、想sn与tn的大小关系，并说明理由.4.数列an中，a=8,a4=2 且满足 an+2=2an+1 an,(nc n ).(1)求数列an的通项公式；(2)设 sn= i a1 i + i a2 i + i an i ,求 &;1(3)设bn=(ne n ),tn=b1+b2+bn(nc n，是否存在最大的整数 m,使得对n(12-an)任意n n均有tn m成立？若存在，求出 m的值；若不存在，说明理由325 .设数歹u an的前n项和为sn,且sn=(m+1)man.对任意正整数n都成立，其中m为 常数，且mv 1.(1)求证：an是等比数列；(2)设数列an的公比 q=f(m),数列bn

3、满足：b1= 1 a1,bn=f(bn 1)(n2,n n ).试问当 m3为何值时,lim (bn lgan) =m 3&也+b2b3十十0工以)成立？ n ，n ：-6 .已知数列bn是等差数列，b1=1,b1+b2+ - +b10=145.(1)求数列bn的通项bn；(2)设数列an的通项an=loga(1+)(其中a0且aw 1),记sn是数列an的前n项和， bn试比较sn与1 logabn+1的大小，并证明你的结论.7 .设数列an的首项 a=1,前n项和sn满足关系式：3t& (2t+3)& 1=3t(t0,n=2,3,4 ).求证：数列an是等比数列；(2)设数列an的公比为

4、f(t),作数列bn,使 b1 = 1,bn=f( )(n=2,3,4 - ),求数列bn bn的通项bn；(3)求和：blb2b2b3+b3b4+b2n lb2nb2nb2n+1.参考答案：1.解析：设cn =|zn书zn |=|(l-2l)n* _(sn clc2111月力c -22121-j、n 2 n 1t) 口二)221 tn=2一 2-2lim sn =nt 二二2 -，2二1 二2答案：1+ 22 .解析：由题意所有正三角形的边长构成等比数列an,可得2口=合，正三角形的内切3 1圆构成等比数列rn,可得=231 a,6 2n，这些圆的周长之和 c= lim 2兀（门+2+rn）

5、=n :，3,3r:2a2,面积之和 s= lim 兀（/+22+n?）= a?,3 3答案：周长之和u兀2一一、一 2 a,面积之和一a3 .解：（1）可解得an 1 nann 1，从而 an=2n,sn= n2+ n,(2)tn=2n+n1.tnsn=2nn21 ,验证可知,n=1 时，ti=si, n=2 时 t2vs2； n=3 时，丁30门=4 时,t4vs4； n=5 时，t5s5； 猜想当n5时，tnsn, 可用数学归纳法证明4 .解：（1）由 an+2=2an+1n=6 时 t6s6.即 2n n2+1(略).an= an+2 an+1 = an+1 an可知an成等数圳，a4

6、 一 a1d= a4a1 = -2,.-.an=10-2n.4 -1(2)由 an=102n0 可得 n5时,sn=n2 9n+40,2 一n n -n +9n前c sn= 2. 一、n 9n+401 nm q心、32成立，需-mt1= 1成立，即m2)m 1bn11111=1 +,即=1 , bnbn 3bnbn 1 为等差数列.1 =3+(n-1)=n+2, bnbnbn =(ne n*). n 2 m njn -1 mm an =() ,lim(bn lgan) =lim 。lg j =lg /m 1 n .：n .= ： n 2 m 1 m 11111.1. 11而lim3(b1b2

7、b2b3ih hr) =lim3g-一 一- w -nn : 3 4 4 5 n 1 n 2由题意知 lg m = 1, m =10, m = -10 .m 1 m 196.解：（1）设数列bn的公差为d,由题意得b1 =1.10(10-1) .10b sd d =1452解得 bi=1,d=3, . bn=3n 2.(2)由 bn=3n2,知 sn = loga(1+1)+log a(1+ -)+ - +loga(1+ 1) 43n -2=loga (1+1)(1+ 1 ) - (1+ 1-) , 1 logabn+1=logav3n-+1.4 3n - 23因此要比较sn与1 logabn

8、+1的大小，3可先比较(1+1)(1+ 1 )(1+ 1)与厮 +1的大小，4 3n -2取 n=1 时，有(1+1) 池 1 +1取 n=2 时，有(1+1)(1+ 1) 33 2+1 4由此推测(1+1)(1+ 1) - (1+ 1)3/3n +14 3n -2若式成立，则由对数函数性质可判定：1_当 a 1时，sn log abn+1,1 一当 0 va1),式成立，即(1 +1)(1+1)(1+一)3k+1 .那么当n=k+1时， 4 3k -2111313 3k 1(1 1)(1)111(1 )(1 ) 3 3k 1(1) =(3k 2).；k(3k 2)2 一33k434 3k -

9、23(k 1)-23k 1 3k 1(3k 2)2 -(3k 4)(3k 1)2(3k 1)29k 4(3k 1)20,3 3k 13k 1(3k 2) 3 3k 4 =3 3(k 1) 1因而(1 1)(11 . .1 )ih(1)(14 3k -23k 1)33(k 1)1欢下载这就是说式当n=k+1时也成立.由(i ) (ii)可知式对任何正整数n都成立.11由此证得当 a1 时，sn - logabn+1 ；当 0vav 1 时，& 一 logabn+1.337.解：(1)由 s1=a1=1,s2=1 + a2,得 3t(1+a2)(2t+3)=3t.2t 3 a23t ，a12t 33t又 3tsn(2t+3)sn 1=3t, 3tsn 1 (2t+3)sn 2=3t一得 3tan(2t+3)an 1=0.2t 33t尸2,3,4，所以an是一个首项为1公比为2二些的等比数列;3t一 2t 3 2 1 - 12(2)由 f(t)= = _ +_，付 bn=f()= +bn-1.3t 3 tbn3可见bn是一一个首项为1 ,公差为-的等差数列.32 2n 1于是 bn=1+ 3-1)=-, 2n 1 一，由bn=，可知3b2n-1和b2n是首项