数学归纳法及其应用举例单元练习(一)

1、精品资源欢下载数学归纳法及其应用举例单元练习(一)一、选择题(本大题共6小题，每小题3分，共18分)1111.若 f(n)=1+ 一+(ne n*),则当 n=1 时，f(n)为2 3 2n 11 八11a.1 b. c.1+ d.非以上答案32 3n 22.用数学归纳法证明1+a+a2+an+1=-(aw1, ncn*),在验证n=1成1 - a立时，左边计算所得的项是a.1b.1+ ac.1 + a+a2d.1 + a+a2+a33 .某个命题与自然数n有关，如果当n=k(kcn*)时，该命题成立，那么可推得当n=k+1时命题也成立.现在已知当n=5时，该命题不成立，那么可推得 a.当n=

2、6时该命题不成立；b.当n=6时该命题成立c.当n=4时该命题不成立；d.当n=4时该命题成立4 .如果命题 rn)对n=k成立，则对n=k+2也成立，又若 p (n)对n=2成立，则 下列结论正确的是a.p (n)对所有自然数n成立；b. p (n)对所有正偶数 n成立c.p (n)对所有正奇数n成立；d. p (n)对所有大于1的自然数n成立5 .已知数列an中，a1=1,a2=2, an+1=2an+an 1( nc n*),用数学归纳法证明a4n能被4整除，假设a4k能被4整除，应证a. a4k+1能被4整除；b. a4k+2能被4整除；c. a4k+3能被4整除；d.a4k+4能被4

3、整除6.用数学归纳法证明，“当n为正奇数时，xn+yn能被x+y整除”时，第2步归纳 假设应写成a.假设n=2k+1(kc n*)时正确，再推证 n=2k+3时正确b.假设n=2k1(kcn*)时正确，再推论 n=2k+1时正确c.假设n=k(k1)时正确，再推论 n=k+2时正确d.假设nwk(k1)时正确，再推论 n=k+2时正确 二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)7 .连续两个自然数之积一定能被2整除，连续三个自然数之积一定能被 整除；连续四个自然数之积一定能被 整除.8 . a1= , an+1=3an,猜想9.已知数列2 an 3，计算得 s= , s2= , s3=

4、,由 n(n 1)234此可猜测：&=.10 .用数学归纳法证明“对一切正整数n,都有2n+2n2”这一命题时，证明过程中的第（1）步，n应该验证.11 .用数学归纳法证明命题：当 ncn时，11n+2+122n+1能被133整除，假设nck, kc n*时命题成立，推论n=k+1时命题也成立，应添加的辅助项为. 三、解答题（本大题共 3小题，每小题9分，共27分）12 .用数学归纳法证明（3n+1） - 7n 1能被9整除（ncn*）.2an +n 对+-(2n -1)(2n 1) bn 2-，、122213 .是否存在常数 a、b使等式 +1 3 3 5一切nc n*都成立.114 .已知

5、正数数列a (ncn*)中，前n项和为 s,且2s=an+ an纳法证明：an=n - , n -1 .参考答案：一、1.c 2.c 3.c 4.b 5.d 6.b二、7.6 24 8.3 9. n 5 n 110. n=1,2,3 时命题成立 11.11 122k+111 122k+1 或 144 11k+2144 11k+2三、12.证明：(1) n=1时，4x71=27能被9整除.(2)假设 n=k(kew),(3 k+1) 7k1 能被 9 整除.那么，当 n=k+1 时，3 (k+1)+1 7k+11= (3 k+1)+3 (1+6) - 7k- 1=(3k+1) - 7k- 1+(

6、3k+1) - 6 - 7k+21 - 7k=(3k+1) 7k 1 +(3k 6 力 + (6+21) 7k以上三式均能被 9整除，则n=k+1时，命题成立.据(1) (2)可知，命题对一切正整数n都成立.13.证明：令n=1, 2,得3ab = 1 在“曰 a=1解得j0a-3b = -2jb = 4现用数学归纳法证明对new,都有2c2221 2n _ n n1 3 3 5(2n -1)(2n 1) - 4n 2证明：(1)当n=1时，由上可知等式成立(2)假设n=k时，(kcn*),等式成立2 _ 222即1+2 + k =k 成立1 3 3 5(2k -1)(2k 1) k 2业 ,

7、 g12 22k2(k 1)2k2 k (k d2n=k+11 3 35(2k-1)(2k 1) (2k 1)(2k 3 4k 2 (2k 1)(2k 3)(k2+k)(2k+3) ,2(k+1)2=(k + 1)k(2k+3)+2(k + 1)2(2k 1)(2k 3) 2(2k 1)(2k 3)2(2k 1)(2k 3)2 2=(k + 1) (2k2 + 5k +2) = (k+1)(2k+1)(k + 2) = (k+1)2 +(k+1) 2(2k 1)(2k 3)2(2k 1)(2k 3) -4(k 1) 2n=k+1时，等式成立，由(1) (2)知对一切ne nr,等式都成立.14.证明：(1)当n=1时.1 1、23i=si= (a1 + ) , 1. 31 =1 (an0),，a1=1，又 j1j0=1,2 a1n=1时，结论成立.(2)假设 n=k 时，(kcn*),结论成立，即 ak= 7k - vki1111、当 n=k+1 时，ak+尸&+1 &= (ak+ +) - (ak + )2ak 12 ak111-1、 11.= (ak 1)(. k - :冰 -