数学物理方法期末考试答案

1、学院装订线专业班满分3042208总分复 核题目一一二四得分评阅人特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息，若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题，请认真核对后做答，若有疑问请与监考教师联系。装订线学号满分30得分填空题（每题3分，共10小题）天津工业大学 （20092010学年第一学期）数学物理方法（a） 试卷解答（2009.12理学院）数学物理方法（a卷解答）第5页共8页1 .复数e1 +的指数式为：eei ;装订线姓名三角形式为：e（cos1 isinl）.2 .以复数z0为圆心，以任意小正实数名为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为z。点的邻域.3 .函数在一点可导与

2、解析是不等价的中吆关系-?-）-4 .给出矢量场旋度的散度值，即节m f =05 . 一股说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属于该区域的点，这样的区域称为复通区域.6 .若函数f(z)在某点4不可导，而在z0的任意小邻域内除z0外处处可导，则称zo为f(z)的孤立奇点.7 . 6 函数的挑选性为。“7)6 -to)dt = f(to).8 .在数学上，定解条件是指边界条件 和初始条件.9 .常见的三种类型的数学物理方程分别为波动方程 、输运方程和稳定场方程.-22d。d e10.写出 l 阶勒让德方程：(1-x2) j-2xd- + l(l +1)。=0 .dxdx满分i 42得

3、分计算题(每小题7分，共6小题)1.已知解析函数f (z)的实部u(x, y) = x2 - y2 + xy ,求该解析函数 (f(0) =0).解： ux=2x+y, uy=-2y+x, uxx=2, uyy = -2.uxx+uyy=0, u(x, y)是调和函数.2分利用柯西-黎曼条件ux =vy, vx =uy,即，vx =2y x, vy =2x + y ,2 分于是，(x,y)v = (2y -x)dx (2x y)dy c(x,0)(x,y)二 (2y -x)dx (2x y)dy - i (2y -x)dx (2x y)dy c (0,0)(x,0)22= 2xy 十匕-二十c

4、.2分22所以，f(z)=z2(1-l).1分22 .给出如图所示弦振动问题在x0点处的衔接条件.解：u(x0 -0,t) = u(x0 +0,t),2 分f(t) -tsin% -tsin2 =0 ,2 分又因为sin % 由tg% = ux(x00,t), sin 2 电tga? =ux(x0 + 0,t),2 分所以，tux(x 十0,t) tux(x0 -0,t) = -f(t).1 分3 .由三维输运方程推导出亥姆霍兹方程(1解：三维输运方程为ut -a2 ：u =0(1分离时间变数t和空间变数r,以u(r,t) =t(t)v(r)(2上式代入方程，得t a2t 令上式等于同一常数-

5、k2,t a2t 则得骇姆霍兹方程为分)分)分)分)分)(2lv k2 v 0 0(1 4.在20 =0邻域把f (z) =(1 +2)田展开(m不是整数).解：先计算展开系数:f(z)=(1+z)m,m mf (z)=m(1+z)f(z)；1 zmf(0)=1 ;f (0) =m1m;f (0) = m(m -1)1m ;f (z) = m(m -1)(1 z)mm(m 1)(1 z)2f(z),所以，(1+2广在2。=0邻域上的泰勒级数为(1 z)m =1m m1mz m1mz21!2!小二* m , m(m -1) 2=1 /1+ z+-z + 上工 1!2!，5.zdz2 _一sin

6、z一、.jt .。解:因为zt nn （n为整数，包括苓），有（1/ 2 - sn z） t 0 ,因4此,zott= nn：是极点.但是，在z =2it圆内的极点只有士工.又由于4所以,冗 则（十1 2 -sin2 zlim (z )二i 4 1 2 -sinz )-7：4-zzdziz =21 2 -sin 2 z2.=2二ire sf(-) resfy)- - 二 i6.求拉氏变换lcost产为常数.解:coscct = l(eigt +e*),lest = 12p - slcos 切t = l (ei +e，6)l_2=：”叱=112 _p -i re p 02 分2分2分1分满分20

7、得分计算题求解两端固定均匀弦的定解问题utt -a uxx = 0tm = 9(x),解：设此问题的解为u(x,t) =x(x)t(t)代入方程和初始条件，得xt -a2x t =0 ,x(0)t(t)=0, x(l)t(t) =0,可得，t x-2-，a t xx(0) = 0, x(l)=0,令，所以,ta2t,x 十块=0、x(0) =0,x(l) =0,(本征值问题)ta2t =0卜面先求解本征信问题：当儿 0 时，x (x) = c1co 薪x + c2 s i n/tx ,由初始条件，得c1 = 0 , c2 sin 仄l =0 ,所以，sinm =0,即，而 =nn (n为正整数

8、)，2 _ 2因此本征值为：，=n厂n =1,2,3,本征函数为：x(x) = c2 sinc2为任意常数.10分方程t”+九a2t =0的解为:t (t) = acosn 二 atn 二 at+ bsin,l因此,un(x,t)a|n 二 atn 二 atn cos-i-bn sin -i- sin此问题的通解为:qooou(x,t) = un(x,t)八 n 1n tan cosn 二 atn 二 atbn sin sin数学物理方法(a卷解答)第7页共8页代入初始条件得8a. an sin n 1(x),oo,、bn n 1=v(x)，ia 以 所10分n”.匚2 l, . e二-)s i nd - ,bn =